PP'.AA'.BB

sont trois couples de points en involution.

C'est le théorème de Desargues ( ' ) :

Une transversale quelconque rencontre une conique et les côtés opposés d'un quadrangle inscrit en trois couples de points conjugués en involution.

144. Ce théorème peut servir, comme le théorème de Pascal ( n° 117, à droite), à construire par points la conique dont on donne cinq points PQRST [Jlg. ni). En effet, menons par P une transversale arbitraire s qui coupe QT, RS, QR, TS en A, A', B, B'; puis construisons le point P' conjugué de P dans l'involution déterminée par les couples de points AA', BB' (n" 102) et F sera un point de la conique à décrire.

145. Le couple CC des points où la transversale coupe les diagonales QS, RT du quadrangle inscrit appartient aussi (n° 101, à gauche) à l'involution déterminée par les points AA', BB'.

En outre, comme les points AA', BB' suffisent pour déterminer l'involution, les points PP' sont des points conjugués de cette involution , quelle que soit la conique circonscrite au quadrangle QRST ; donc :

PROJECTIVE.

à-dire que (n° 94)

pp' . aa! . bb'

sont trois couples de rayons en involution.

C'est le théorème corrélatif de celui de Desargues :

Les tangentes menées d'' un point quelconque à une conique et les droites menées du même point aux sommets opposés d'un quadrilatère circonscrit forment trois couples de rayons conjugués en involution.

Ce théorème peut servir, comme le théorème de Brianchon (n° 117, à gauche), à construire par tangentes la conique dont on donne cinq tangentes pqrst [fig. II 3). En effet, prenons sur/? un point arbitraire S et tirons de ce point les rayons «, rt', ^, b' aux points qt, rs, qr^ ts), puis construisons ( n° 102) le rayon // conjugué de p dans l'involution déterminée par les couples de rayons <7«', bb'] p' sera une tangente de la conique à construire.

Le couple ce' des rayons qui projettent de S les points qs^ rt de concours des côtés opposés du quadrilatère circonscrit appartient aussi (n^'lOl, à droite) à l'involution déterminée parles rayons ««', bb' .

En outre, comme les rayons ad , bb' suffisent pour déterminer l'involution, les rayons pp' sont conjugués dans cette involution, quelle que soit la conique inscrite dans le quadrilatère qrst ; donc :

(») Loc. cit. y p. 171, 176.

THÉORÈME DE DESAR(iUES.

Toutes les coniques circonscrites à un même quadrangle sont coupées par une transversale quelconque en couples de points en involution.

Si l'involulion a des points doubles, chacun d'eux tiendra lieu de deux intersections PP' coïncidentes (ou infiniment voisines), c'est-à-dire sera le point de contact entre la transversale et une conique circonscrite au quadrangle.

Donc il y a deux coniques qui passent par quatre points donnés QRST et sont tangentes à une droite donnée s (qui ne passe par aucun des points donnés) ou il n'y a aucune conique qui satisfasse à ces conditions.

146. De six points AA', BB', PP' formant trois couples en involution, si l'on en donne cinq, le sixième est déterminé (n° 102). Par suite, si, dans la y%. 112, nous supposons la conique donnée et le quadrangle variable de manière que les points AA'B soient fixes, le point B' est aussi invariable ; donc :

Si un quadrangle se déforme, sans cesser d'être inscrit clans une conique, mais de manière cjue trois de ses côtés tournent autour de trois points fixes en ligne droite^ le quatrième côté tournera aussi autour d'un quatrième point fixe de la même droite.

Les couples de tangentes menées dhin point cjuelconque aux coniques inscrites dans un même quadrilatère forment une involution.

Si l'involution a des rayons doubles, chacun d'eux tiendra lieu de deux tangentes p/?' coïncidentes (ou infiniment voisines) , c'est-à-dire sera tangent en S à une conique inscrite au quadrilatère.

Donc il y a deux coniques qui sont tangentes à quatre droites données cjrst et passent par un point donné S (non situé sur une des droites données), ou il n'y a aucune conique qui satisfasse à ces conditions.

De six rayons aa' , bb\ pp' formant trois couples en involution, si l'on en donne cinq, le sixième est déterminé (n° 102). Par suite, si, dans lafig. ii3, nous supposons la conique donnée et le quadrilatère variable, de manière que les rayons aa'b soient fixes, le rayon b' restera aussi invariable; donc :

Si un quadrilatère se déforme sans cesser d'être circonscrit à une conique, mais de manière que trois de ses sommets parcourent trois droites fixes issues dhin même point, le quatrième sommet parcourra aussi une c^uatrième droite fixe issue du même point.

Le même théorème (à gauche) subsiste pour un polygone quelconque inscrit, d'un nombre pair de côtés. Supposons que le polygone inscrit ait in côtés et qu'il se déforme de manière que ses 9.n — i premiers côtés passent respectivement par autant de points fixes situés sur une droite s

l38 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

{Jig. ii4)- Menons les diagonales du premier sommet au quatrième, au sixième, au huitième, . . , au 2 ( /i — i )''"'% le po-

Fig. 114.

lygone sera ainsi divisé qx\ n — i quadrangles simples. Dans le premier de ces quadrangles, les trois premiers côtés (qui sont les trois premiers côtés du polygone) passent par trois points fixes de s : donc le quatrième côté (qui est la première diagonale du polygone) passera par un point fixe de s. Dans le second quadrangle, les trois premiers côtés (la première diagonale, le quatrième et le cinquième côté du polygone) passent par trois points fixes de s ; donc le quatrième côté (deuxième diagonale du polygone) passera par un point fixe de s. En continuant de la même manière, on arrivera au dernier quadrangle et l'on trouvera que le quatrième côté de ce quadrangle, ou le 2 /i'^"'^ côté du polygone, passe aussi par un point fixe de s. Donc :

Si un polygone d'ordre pair in se déforme^ sans cesser d'être inscrit dans une conique et de manière que ses côtés, moins un, passent par autant de points fixes en ligne droite, le dernier côté passera aussi par un point de la même droite (').

Si Ton peut mener des tangentes à la conique du point fixe autour duquel tourne le dernier côté et si l'on considère chacune d'elles comme position du dernier côté, les deux sommets situés sur ce côté coïncideront, et le polygone n'aura plus que in — \ sommets. Le point de contact de cha-

(') PoNCELET, loc. cit.f n° 5i3.

THÉORÈME DE DESAttGUES,

iSo

cune des deux tangentes sera donc un sommet d'un polygone d'ordre un— i inscrit dans la conique dont les côtés passeront par les 2 tz — i points donnés.

L'élève pourra s'exercer à démontrer le théorème corrélatif:

Si un polygone d'ordre pair 2n se déforme, sans cesser d'être circonscrit à une conique donnée, de manière que ses sommets, moins un, parcourent autant de rayons fixes issus d'un même centre, le dernier sommet parcourra aussi un rayon fixe issu de ce centre {fig. ii5).

Fig. Il 5.

Si ce dernier rayon coupe qu'en chacun d'eux on mène d'un polygone d'ordre in — ayant ses sommets sur les -zn

147. Supposons les points S, T infiniment voisins sur la conique [fig. 116) ou la droite ST tangente en S ; le quadrangle QRST devient alors un triangle inscrit QRS et l'on conclut du théorème de Desargues que :

Si un triangle QRS est inscrit dans

la conique en deux points et la tangente, celle-ci sera le côté I circonscrit à la conique, et — I droites données.

Supposons les tangentes s^ t infiniment voisines [fig. 117) ou s tangente à la conique au point st ; le quadrilatère (jrst devient un triangle circonscrit qrs et l'on conclut du théorème n" 144 (à droite) que ;

Si un triangle qrs est circonscrit

GÉOMÉTRIE PttOJECnVE.

une conique et si une transversale s rencontre la courhe en deux points PP', deux côtés du triangle aux

Fig. 1x6,

points A A', le ti'oisième côté et la tangente au sommet opposé aux points BB', ces trois couples de points sont en involution.

148. Ce théorème donne une construction de la tangente en S à la conique dont on donne cinq points PP'QRS. En effet, soient A, A', B les points où la droite PP' rencontre QS, RS, QR; construisons (n''i02) le point B' conjugué de B dans l'involution déterminée par les deux couples AA', PP'; B'S sera la tangente demandée.

149. Supposons maintenant que les points QR [fig. ii8) soient aussi infiniment voisins sur la conique, c'est-à-dire que QR soit tangente en Q; au lieu des côtés du quadrangle inscrit QRST, on aura

à une conique et si, d'un point S, on mène les tangentes pp' à la conique^ puis à deux sommets du

Fig. 11-7.

triangle les droites aa\ et enfin les droites W au troisième sommet et au point de contact du côté opposé, ces trois couples de droites sont en involution.

Ce théorème donne une construction du point de contact de la tangente s avec la conique dont on donne les tangentes pp'qrs. En eff'et, soient a, «', b les rayons qui, du point /y', projettent les points qs^ rs, qr; construisons (n° 102) le rayon b' conjugué de b dans l'involution déterminée par les couples aa', pp'; b' s sera le point de contact demandé.

Supposons maintenant que les tangentes q, r soient aussi infiniment voisines, c'est-à-dire que q soit tangente à la conique au point qr; au lieu des sommets du quadrilatère circonscrit qrst, on aura les

THÉORÈME DE DESARGUES.

les deux tangentes aux points Q, S et la corde de contact QS (*).

Comme les droites QT, RS se con-

Fig. Il 8.

fondent maintenant en une seule droite QS, les points A, A' se confondront aussi en un point unique, qui sera, par conséquent, un des éléments doubles de l'involution déterminée par les couples PP', BB'.

Le théorème de Desargues devient donc celui-ci :

Si une transversale coupe une conique en deux points PP', deux de ses tangentes en deux autres points BB' et la corde de contact en A, ce dernier point sera un point double de l'involution déterminée par les couples PP', BB'; ou :

Si une conique variable touche deux droites données et passe par deux points donnés PP', la corde de contact passe par un point fixe de PP'.

Si les tangentes QU, SU varient en même temps que la conique, les

points de contact des deux tangentes qs et le point qs de leur concours [fig, 119). Comme les

Fig. 119.

points qt, rs se confondent maintenant en un point unique qs, les rayons «, a' se confondront aussi en un rayon unique qui sera, par conséquent, un des éléments doubles de l'involution déterminée par les couples pp\ bb'. Nous concluons donc du théorème n» 144 (à droite) que :

Si d'un point S on mène les tangentes pp' à une conicfiej si du même point on projette deux points de la courbe et le point commun aux tangentes en ces points au moyen des rayons bb\ «, la droite a sera un rayon double de Vimolution déterminée par les couples pp\ bb' ; ou :

Si une conique variable touche deux droites données pp' et passe par deux points donnés, les tangentes en ces points concourront sur une droite fixe passant par pp'.

Si les points de contact de 7 et ^ varient en même temps que la co-

') C'est-à-dire la droite qui joint les points de contact des deux tangentes.

points PP'BB' restant fixes, la corde de contact passera encore par l'un ou par l'autre des points doubles de l'involution déterminée par les couples PP',BB'. Donc, étant donnés quatre points P, P', B, B' en ligne droite, si l'on trace une conique quelconque passant par PP' et les tangentes à cette courbe issues de B et de B' ; si ensuite on combine chaque tangente issue de B avec ch^une des tangentes issues de B', on obtient quatre cordes de coutact qui concourent, deux à deux, aux points doubles de l'involution PP'.BB' (').

ISO. Il résulte de là une ^construction de la tangente en S à une conique déterminée par quatre points P,P', Q, S et par la tangente en Q (/§•. ii8). En effet, soient A, B les points où PP' rencontre QS et la tangente donnée ; construisons B' conjugué de B dans l'involution déterminée par le couple PP' et le point double A. La droite SB' sera la tangente cherchée.

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

nique, les droites pp'bb' restant fixes, le point de concours qs tombera encore sur l'un ou sur l'autre des rayons doubles de l'involution déterminée par les couples /?/>' , bb'.

Donc, étant donnés quatre rayons p^p'yb, b' d'un faisceau, si l'on trace une conique quelconque tangente à p et k p' et les tangentes à cette courbe aux points où elle coupe les droites b et b' \ si l'on combine ensuite chaque tangente en un point de b avec chacune des tangentes relatives à ^', on obtient quatre points de concours qui se trouvent, deux à deux, sur les rayons doubles de l'involution pp' .bb'.

Il résulte de là une construction du point de contact de la tangente s avec la conique déterminée par quatre tangentes />»,/?', </, s et par le point de contact de 7 [fig. 119). En effet, soient «, h les rayons qui de/?/?' projettent respectivementle point qs et le point de contact donné; construisons le rayon b' conjugué de b dans l'involution déterminée par le couple pp' et par le rayon double a. Le point cherché sera sb'.

iSl. Supposons que la conique soit une hyperbole [Jlg. 120) dans le théorème qui précède (i49); si les tangentes données sont les asymptotes, la corde QS sera tout entière à l'infini.

L'involution (PP'.BB'.. .) a donc un point double à l'infini, et l'autre élément double (51) est le point milieu commun aux segments PP', BB', Donc:

Si Von coupe une hyperbole et ses asymptotes par une transversale, le segment intercepté par la courbe et le segment intercepté par les asymptotes ont le même point milieu.

(') BaiANCUON, loc. cit. y p. 20, 11.

THÉORÈME DE DESARGUES.

Il résulte de là que

PB = B'P' et PB'-=BP' {');

d'où une règle pour construire une hyperbole dont on donne les asymptotes et un point (^).

Fig. 120.

132. Supposons les points PP' infiniment voisins dans le théorème du n'' 149, c'est-à-dire supposons que la transversale soit tangente à la conique [fig. lai) ; le point de

Fig. 121.

contact P sera le second point double de l'involution déterminée par le couple BB' et par le point double A; donc les quatre points P, A, B, B' sont harmoniques (96) ; ou :

Supposons les tangentes pp' infiniment voisines dans le théorème du n° 149, c'est-à-dire supposons que le point S soit pris sur la conique [fig. 122) ; la tangente en S

Fig. 122.

sera le second rayon double de l'involution déterminée par le couple bh' et par le rayon double a\ donc les quatre rayons /?, ^, b^ b' sont harmoniques (96) ; ou :

(') Apollonius, loc. cit., II, 8, 16.

(^) Apollonius, loc. cit., II, 4-

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

Dans un triangle circonscrit [\]^^'), chaque côté (BB') est divisé harmoniquement par son point de contact (P) et par la droite qui Joint les points de contact (Q, S) des deux autres côtés.

Du point A on peut mener une autre tangente; soit 0 son point de contact. Les points harmoniques P, A, B, B' sont le point de contact de la tangente AB, et ceux où cette tangente est coupée par les trois autres tangentes OA, QB, SB'; donc (113) les quatre tangentes AB, OA, QB, SB' seront coupées par une autre tangente quelconque en quatre points harmoniques, ce qui revient à dire que ces tangentes sont harmoniques (111 ). Et comme la droite QS, qui joint les points de contact des tangentes conjuguées QB, SB' passe par le point A, nous avons :

Si la corde de contact de deux tangentes passe par le point de concours de deux autres tangentes, les premières sont séparées harmoniquement par les deux autres.

Et vice versa :

Si quatre tangentes à une conique sont harmoniques, la corde de contact de deux tangentes conjuguées passe par le point de concours des deux autres.

153. Ces deux énoncés corrélatifs peuvent se fondre en un seul théorème, en vertu delà propriété déjà exposée (112 et 113) que, si quatre points d'une conique sont harmoniques, les quatre tangentes en ces points le sont aussi et réciproquement. Nous pourrons donc dire :

Si deux tangentes à une conique concourent en un point de la corde de contact de deux autres tangentes, réciproquement le point de concours de celles-ci sera sur la corde de contact de celles-là, et les quatre

Dans un triangle inscrit [ubb') charpie angle [bb') est divisé harmoniquement par la tangente p au sommet et la droite qui passe au point de concours des tangentes [q^ s) aux deux autres sommets.

La droite a rencontre la conique en un autre point ; soit o la tangente en ce point. Les droites harmoniques /?, ^, è, b' sont la tangente en S et les droites qui joignent S à trois autres points de la conique (points de contact de o, ^, s)\ donc (113 ) ces quatre points seront projetés d'un autre point quelconque de la conique par quatre rayons harmoniques, ce qui revient à dire que ces points sont des points harmoniques de la conique (109). Et comme le point de concours des tangentes q, s est sur la corde de contact des tangentes /?, o, nous avons :

Si le point de concours des tangentes en deux points est situé sur la droite qui joint deux autres points, les deux premiers points sont séparés harmoniquement par les deux autres.

Et vice versa :

Si ciuatre points cVune conique sont harmoniques, le point de concours des tangentes en deux points conjugués se trouve sur la droite c^ui joint les deux autres.

THÉORÈME DE DESARGUES. 1^5

tangentes ( ainsi que leurs points de contact ) forment un groupe harmonique (^).

Dans la Jig. 121, comme QS passe par A, OP passera aussi par U, point commun à QB, SB'; et comme les droites U (Q, S, P, A) sont harmoniques, les droites A (0, P, 0, U) le seront aussi.

Dans la Jig. 122, comme le point qs est sur <?, le point op sera aussi sur la droite u qui joint les points de contact de </ et ^; et comme les quatre points u [q, s, /?, a) sont harmoniques, les quatre points a [a, /?, </, m) le sont également.

154. Exemple. — Supposons que la conique soit une hyperbole [Jig. 123 ); les asymptotes sont deux tangentes dont la corde de contact

QS est la droite de l'infini. Par suite, deux tangentes parallèles auront leurs points de contact en ligne droite avec le point U de concours des asymptotes; et réciproquement, si l'on mène par le point U une transversale qui coupe la courbe en deux points P, 0, les tangentes en ces deux points seront parallèles. Le point milieu des points de contact P, 0 sera le point U, parce qu'en général {^g. i:ji ) le groupe UVPO est harmonique et qu'ici V est à l'infini.

Une tangente quelconque coupe les asymptotes en deux points BB' séparés harmoniquement par le point de contact P et par la corde de contact, qui est la droite de l'infini; donc P est le point milieu de BB', ou :

La partie d'une tangente à P hyperbole qui est comprise entî^e les asymptotes est divisée en deux segments égaux par le point de contact (^].

Cette proposition est un cas particulier de celle du n° iSl.

155. Comme, en vertu du théorème de Desargues (143), les couples de points PP', AA', BB' [fig. 112) sont en involution, nous avons l'égalité

(') Delahire, loc. cit., liv. I, p. 3o. — Steiner, loc. cit., p. lôg. (°) Apollonius, loc. cit., Il, 3 19.

1^6 GÉOMÉTRIE PROJECTIYE.

des rapports anharmoniques (PP'xVB) = (P'PÂ'B'), ou