RP.T.P, TP.R.P

est constant, quelle que soit la tangente p ; ou bien que :

Si un quadrilatère est circonscrit à une conique, le produit des distances de deux sommets opposés à une tangente quelconque est dans un rapport constant avec le produit des distances des deux autres sommets à la même tans^ente f M.

§ XVIIÏ. — Éléments unis et éléments doubles.

157. Supposons que l'on ait deux faisceaux projeciifs de rayons, concentriques ou non; par leur centre commun ou par leurs centres 0, 0' faisons passer une conique, ou un cercle qui coupe les rayons du premier faisceau en A, B, C,...

et les rayons du second faisceau en A', B', C, Projetons

ces deux séries de points de deux nouveaux points 0,, 0', ( ou d'un même point) de la conique : les deux faisceaux projetants 0. ( ABC . . . ), 0', ( A'B' C . . . ) seront ( 113) respectivement projectifs aux deux faisceaux donnés 0 (ABC...), 0' (A'B'C'...); par suite ils seront projectifs entre eux.

Les deux séries de points ABC. . ., A' B'C . . sont dites projectiles (2).

I. Projetons maintenant ces deux séries {fig. 1 24) de deux de leurs points correspondants, par exemple A', A. Les faisceaux projetants

seront projectifs; ils seront aussi perspectifs à cause du rayon uni AAM)onc(62) les couples de rayons correspondants se couperont sur une droite fixe, ou bien les points communs aux couples AB' et A'B, AC et A'C, AD' et A'D,... seront sur

C) Chasles, Sect. coniques, n° 26.

(*) Bellavitis, Saggio di Geometria derivata {Nuovl saggi deW Jccademia di Padova, vol. IV, i838, p. 270, note).

l48 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

une même droite s. En joignant un point quelconque de s aux points A', A, on aura deux droites qui couperont de nouveau

la conique en deux points correspondants des séries ABCD..., A'B'C'D'....

Si, au lieu de prendre A' et A comme centres de projection, on prenait deux autres points correspondants, B', B par exemple, on trouverait la même droite s. En effet, d'après le théorème de Pascal, AB'CA'BC étant un hexagone inscrit, le point commun à B'G, BC est sur la droite qui passe par le point commun à A'B, AB' et par le point commun à A'C, AC (117, à droite).

II. Tout point M commun à la conique et à la droite s est un point uni des deux séries ABC. . . , A'B'C .... En effet les droites MA', MA rencontrent la conique en un même point M, ou bien deux points correspondants des deux séries projectives sont réunis en M. Il résulte de là que les deux séries

Fi{j. 12.5.

Fier. iq6.

auront deux points unis, un ou aucun point uni, suivant que la droite s coupera la conique en deux points {Jig. 124) ou

ÉLÉMENTS UNIS ET ÉLÉMENTS DOUBLES. l^^

lui sera tangente {fig. 126) ou n'aura avec elle aucun point commun {Jig. ï2^).

Fig. 127.

III. De ce qui précède il résulte que deua: séries projectiles de points sur une conique sont déterminées par trois couples de points correspondants (A, A'), (B, B'), (C, C). Pour trouver d'autres couples de points correspondants et les points unis, s'il en existe, il suffira de construire la droite s qui passe par les trois points de concours des couples de côtés opposés de l'hexagone inscrit A B'C A' BC (/^. 90, 124 et i25). Les points unis sont ceux où s coupe la conique, et deux points correspondants quelconques D, D' sont tels que les droites A'D et AD' (ou B'D etBD', ou CD et CD') se coupent sur 5 (»).

158. Au lieu de séries projectives de points sur une conique, on peut aussi considérer des séries projectives de tangentes. Si o, o' sont deux droites ponctuelles projectives (distinctes ou superposées), décrivons une conique tangente à o et à o' , et de chaque couple de points correspondants A et A', B et B', C et C, . . . menons à la conique les tangentes a et «',

h et b\ c et c', Coupons ensuite ces deux séries de tangentes abc. . . ,

a'b'c'... respectivement par deux autres tangentes o,,o',, nous obtiendrons deux nouvelles ponctuelles respectivement projectives aux ponctuelles données (113), et par suite projectives entre elles.

On appelle projectives deux séries de tangentes à une conique qui jouissent de la propriété d'être coupées par une autre tangente quelconque à la même courbe suivant deux ponctuelles projectives.

C) Steiner, loc. cit., p. 174.

l5o GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

I. Supposons la première série coupée par la tangente «', et la seconde par la tangente a. Les deux ponctuelles projectives que donnent ces sections sont perspectives à cause du point uni aa'\ donc les autres couples de points correspondants a'b et ab'^ a! c et ac' . . . sont alignés sur un point fixe S. Ce point ne change pas si l'on prend comme transversales deux autres tangentes ^' et 6; en effet, en vertu du théorème de Brian- CHON, ab'ca' bc' étant un hexagone circonscrit, les droites qui joignent les couples de sommets opposés a' b et ab'^ a' c et ac\ b'c et bc' concourent en un même point (117, à gauche).

II. Si l'on peut mener des tangentes à la conique du point S, chacune d'elles sera un rayon uni des deux séries projectives abc. . . , a' b'c'

III. Deux séries projectives abc. . .^d b' c' ... de tangentes à une conique sont déterminées par trois couples de droites correspondantes («, «'), [b, b'),[c, c'). Pour trouver un autre couple de droites correspondantes et pour obtenir les droites unies, s'il en existe, il suffira de construire le point S commun aux diagonales qui joignent les couples de sommets opposés de l'hexagone circonscrit nb'ca'bc'. Les droites unies seront les tangentes menées par S ; et deux droites correspondantes quelconques dd' seront telles que les points a'd, ad' {ou b'd et bd', ou c' d et cd') soient en ligne droite avec S.

IV. On dit qu'une série de points A, B, C, . . . d'une conique et une série de tangentes a, b, c,. .. de la même courbe sont projectives, si le faisceau des rayons qui projettent ABC. . . d'un point quelconque de la conique est projectif à la ponctuelle que les droites «, b^ c,. . . marquent sur une tangente quelconque de la même conique.

Une série de points A, B, C, . . . ou de tangentes «, ^, c,. . . d'une. conique est dite projectile à une ponctuelle ou à un faisceau j si cette ponctuelle ou ce faisceau est projectif au faisceau des rayons qui projettent ABC... d'un point quelconque de la conique, ou à la ponctuelle marquée par les droites «,^,c,...sur une tangente quelconque de la môme conique.

V. Ces définitions admises, comprenons sous la dénomination àQ forme de première espèce j non-seulement les ponctuelles et les faisceaux, mais aussi les séries de points ou de tangentes d'une conique (') ; nous pourrons alors énoncer la proposition générale : Deux formes de première espèce projectives à une troisième (de même espèce) sont projectives entre elles [voir n° 3S).

(' ) L'introduction de ces nouvelles formes de première espèce permet d'ajouter deux opérations à celles de couper par une droite et de projeter au moyen de rayons issus d'un point : elles consistent à couper un faisceau de rayons par une conique passant par le centre du faisceau et à projeter une droite ponctuelle au moyen des tangentes à une conique tangente à la ponctuelle.

ÉLÉMENTS UNIS ET ÉLÉMENTS DOUBLES. l5l

VI. Il résulte de ces mêmes définitions que le théorème du n" il3, III, peut s'énoncer de la manière suivante :

Une série quelconque de tangentes à une conique est projective à la série des points de contact.

YII. Soient donc ABC..., A'B'C... deux séries projectives de points de la conique, et abc. . . , a'b'c'. . . les tangentes en ces points. Les séries abc..., a'b'c'. . . de tangentes sont respectivement projectives aux séries des points de contact ABC..., A'B'C ..; elles sont donc projectives entre elles. Soient s la droite sur laquelle se coupent les couples de droites analogues à AB' et A'B, AC et A'C, BC et B'C,. . ., et S le point sur lequel sont alignés les couples de points analogues à ab' et a' b, ac' et a'c, bc' et b'c, Si .y coupe la conique en deux çoints M, N, ces points seront des points unis des séries ABC. . . , A'B'C'! . . ; les tangentes m, n en M, N seront, par suite, les rayons unis des séries abc. . ., a'b' c' . . . ; donc les droites m, n concourront en S.

VIII. Il résulte de ce qui précède que l'on peut toujours substituer à la considération d'une série de tangentes celle des -points de contact, et réciproquement.

159. Au lieu de considérer deux faisceaux projeclifs quelconques, comme au n° 157, considérons une involution de rayons issus d'un point 0, et supposons ces rayons coupés par une conique, décrite par 0, aux couples de points AA', BB',

ce, Projetons ces points d'un autre point 0, quelconque

de la conique; comme, par hypothèse (n°^ 93 et 94), les faisceaux 0 (A. A'. B.C.), 0 (A^A.B^C^..) sont projectifs, les faisceaux 0.( A. A'. B.C.), 0. (A'.A.B'.C. . .) le seront aussi (113); par suite, les rayons issus de 0, forment aussi des couples en involution. On dit, dans ce cas, que les deux séries projectwes de points ABC. .., A'B'C. . . de la conique constituent une involution, ou que : on a sur la conique une involution formée par les couples de points conjugués AA', BB', ce,.. . (').

I. De la même manière, si l'on a une involution de points sur une droite a et si l'on mène par les couples de points conjugués les couples de tangentes ««', bb', ce',. .. à une conique tangente à o, ces tangentes aa! , bb', . . . seront coupées par une autre tangente quelconque à la même co-

( ' ) Staudt, Beitràge, n^s 70 et

GÉOMÉTRIE PUOJECTIVE.

nique suivant des points en involution; on dira alors que aa', bb', ce',... est une involution de tangentes à la conique [voir n" 138).

IL Si plusieurs couples de tangentes aa', bb\ ce', ... à une conique forment une involution, leurs points de contact AA',BB', CC/,. . . seront en involution et réciproquement (138, VI).

160. Des six points arbitraires A, B, C, A^ B', C considérés au n° 157, supposons que l'on prenne C infiniment voisin de A, et G infiniment voisin de A'. Alors les séries projeclives (ABA'...), (A'B' A...) forment l'involulion (AA'.BB'...) et l'hexagone inscrit devient la figure formée par le quadrangle inscrit AB' A'B et par les tangentes aux sommets opposés A, A' [Jig. io6, 128). Donc :

Deux couples de points (AA'), (BB') d'une conique déterminent une involution sur cette courbe.

I. Pour trouver d'autres points conjugués et les points doubles, il suffit de construire la droite s qui joint le point commun à AB', A'B au point commun à AB, A'B', c'est-à-dire la

droite qui joint les points de rencontre des couples de côtés opposés du quadrangle inscrit A B' A'B. Les points communs à 5 et à la conique sont les points doubles. Deux points con-

ÉLÉMENTS UNIS ET ÉLÉMENTS DOUBLES. l53

jugués C, C sont tels que les droites AC„A'C' (ou AC, A'C, ou BC, B'C, ou B'C, BC) se coupent sur 5.

II. Les tangentes en deux points conjugués, comme AA', BB', . . . se coupent aussi toujours sur la droite s (129).

III. Comme les couples de droites BC et B'C, CA et C'A', AB et A'B' se coupent en trois points d'une même droite s, les triangles (•) ABC, A'B'C sont homologiques (15); donc les droites AA', BB', CC concourent en un même point S. Les droites AA', BB' suffisent pour déterminer ce point; donc :

Deux points conjugués quelconques de l'involution sont alignés sur un point fixe S,

Ou autrement :

Toute droite passant par S et coupant 'la conique donne deux points conjugués de Vinvolution,

IV. Nous avons vu que, si 5 a deux points M, N communs avec la conique, ces points sont les points doubles de l'involution. Donc les tangentes en M, N concourent en S.

V. Réciproquement les couples de points où une conique est coupée par les rayons d'un faisceau dont le centre S n'est pas un point de la courbe forment une involution. En effet, si (AA'), (BB') sont les points d'intersection de la courbe et de deux rayons, ces deux couples AA', BB' déterminent une involution dans laquelle deux points correspondants sont toujours en ligne droite avec un point fixe, c'est-à-dire avec S. Si l'involution a des points doubles, ces points sont les intersections de la conique avec la droite s qui renferme le point commun à AB, A'B' et le point commun à AB', A'B.

VI. Si l'on mène des différents points d'une droite s les couples de tangentes aa\ hb\ cc\ ... à la conique,- ces droites forment une involution. En efTet, soient AA', BB', CC, ... les points de contact des droites na! , bh\ ce' , et S le point où concourent les cordes AA', BB': dans l'involution déterminée par les couples AA', BB' deux autres points conjugués quelconques seront alignés sur S. Le point C et son conjugué sont donc sur une droite passant par S, et les tangentes en ces points doivent concourir

(*) Les triangles A'BC et AB'C, AB'C et A'BC, ABC et A'B'C sont aussi homologiques.

GÉOMÉTRIE PROJECTIYE.

sur la droite qui passe par les intersections de ««', bb', c'est-à-dire sur 6-; donc le point conjugué à C est C. Cela revient à dire que AA', BB', CC| sont des couples de points en involution, et que, par suite, aa\ bb\ ce' sont des couples de tangentes en involution (lo9, II).

VII. Si M, N sont les points doubles d'une involution AA', BB',. . . de points d'une'conique, nous avons vu que AB, A'B', MN sont trois droites qui concourent en un point (il en est de même pour A'B, AB', MN ). Donc, en vertu du théorème du n° 160, V, nous concluons que :

Si A A', BB' sont deux couples d'éléments conjugués et MN les éléments doubles d'une involution, MN, AB, A'B' (ainsi que MN, AB', A'B) seront trois couples d'éléments conjugués d'une nouvelle involution.

VIII. La droite s coupe la conique si (188) le point S est extérieur {Jig. 128), c'est-à-dire si des deux couples AA', BB' l'un est tout intérieur ou tout extérieur à l'autre; si l'un des couples est séparé par l'autre (empiète sur l'autre), le point S est intérieur et la droite s ne rencontre pas la conique {/Ig. 129). Nous retrouvons donc de nouveau la propriété (98) :

FijT. V2Ç).

Une involution a deux éléments doubles si, de deux couples d'éléments conjugués, l'un est tout intérieur ou tout extérieur à Vautre. Une involution n'a pas d'éléments doubles si, dedeux couples d'éléments conjugués, l'un empiète sur Vautre.

Il ne peut jamais arriver qu'une involution proprement dite ait un seul élément double. En effet, si s est tangente à la conique, S est le point de contact, et dans chaque couple de