ÉLÉMENTS UNIS ET ÉLÉMENTS DOUBLES

points conjugués, il y en a un qui coïncide toujours avec S (voir n° 96).

161. Si (MNAB. . .), (MNA'B'. . .) sont deux séries projeclives de points sur une conique, les points unis seront M etN et la droite MN contiendra le point commun à AB', A'B (157). Supposons maintenant que, si B' devient infiniment voisin de A, B et A' deviennent aussi infiniment voisins, de manière que les positions limites des droites AB', A'B soient les tangentes en A, A' [Jîg. i3o); mais si MNAA^, MNA'A sont des groupes correspondants de deux séries projeclives, cela veut dire que, si l'on projette ces points d'un point quelconque 0 de la conique, les deux groupes de rayons projetants mnaa\ mna'a sont projectifs; donc le groupe mnaa est harmonique (65). Nous retrouvons donc le théorème du n° 152, II (à droite):

Si quatre points MNAA' d'une conique sont harmoniques, les tangentes en deux points conjugués, A et A' par exemple, concourent sur la droite qui joint les deux autres.

Ou (152, II, à gauche) :

Si quatre tangentes d'une conique sont harmoniques, deux tangentes conjuguées se coupent sur la droite qui joint les points de contact des deux autres.

Fig. i3i.

Il résulte de là que, si par le point S commun aux tangentes en M, N on mène des droites qui coupent la conique en (A, A'), (B, B'), (C, C), . . ., tous ces couples de points seront séparés harmoniquement par MN. Donc les couples de tan-

l56 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

génies en A et A', B ei B', C et C',. . . concourront sur la droite MN.

Ou, en d'autres termes :

Si d'un point on mène deux tangentes et une sécante à une conique, les deux points de contact et les deux points d'intersection forment un groupe harmonique.

Les points (AA'), (BB'), (CC),. . . forment une involution, dont les points doubles sont MN (IGO, III, IV). Nous arrivons donc de nouveau à cette propriété que, si une involution a deux éléments doubles, ils sont séparés harmoniquemenl par deux éléments conjugués quelconques (96).

Supposons que la conique soit un cercle [fis;. i3i ). Les triangles semblables SAM, SMA' donnent