I AA'.MN = AM.A'N = AN.A'M
162. Les propriétés exposées aux n°' 157 et suivants fournissent immédiatement la solution du problème.
Construire les éléments unis de deux formes projectiles superposées et les éléments doubles d'une involution. ,
I. Soit 0 le centre commun de deux faisceaux projectifs, déterminés par trois couples de rayons correspondants [fig. i32). Décrivons un cercle qui passe par le point 0, il coupera les trois couples de rayons donnés en (A, A'), (B, B'), (C'C). Soient R le point commun aux droites AB',
( ') Baltzer, Planimétrie, p. 1^2.
ÉLÉMENTS UNIS ET ÉLÉMENTS DOUBLES. iSy
A'B, et Q le point commun à AC, A'C. Si la droite QR coupe le cercle en deux points M, N, OM, ON seront les rayons unis demandés.
II. Soient AA', BB', CC trois couples de points correspondants de deux ponctuelles projectives superposées [fig. i33) sur une droite o; proposons-nous de construire les points unis.
Fig. i33.
Qu'on décrive un cercle tangent à la droite o, et qu'on lui mène, par les points donnés, les tangentes ad , bh\ cd \ soient r la droite qui joint les points ah\ a' h, et ^Ja droite qui joint les points ac\ a'c. Si le point qr est extérieur au cercle, et si /«, n sont les tangentes menées de ce point
GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
au cercle, les points om, on seront les points unis des ponctuelles données. Autrement [fig. i33 bis) :
Fig. i33 bis.
D'un point 0 d'une circonférence tracée arbitrairement, projetons les points donnés en A^A',, B,B',, G, G', sur la circonférence ('). Soient R
Fi(T. 1,34.
le point commun à A, B', , A', B, ; Q le point commun à A, G',, A', G, (ou bien P le point commun à B, G';, B', G,). Si la droite PQR coupe le cercle en deux points M,, N, et si l'on projette du point 0 les points M,,N, en MN sur la droite donnée, M, N seront les points unis demandés (-).
III. Si les deux faisceaux 162, 1 sont en involution, deux couples de rayons conjugués suffisent pour les déterminer '(7%. i34). Goupons les rayons donnés par un cercle décrit par 0 aux points (A, A'), (B, B') ; soient R
(') Dans la ligure, les points de la droite donnée et leurs projections faites de O sur la corde sont désignés par les mêmes lettres» (-) Steiner, toc. cit., p. 68 et 174.
ÉLÉMENTS UNIS ET ÉLÉMENTS DOUBLES. l5g
le point commun à AB', A'B ; Q le point commun à AB, A'B'. Si la droite QR coupe le cercle en deux points M, N, les rayons doubles de l'involution seront OM, ON. La droite QR ne coupe pas le cercle quand le point S, commun à AA', BB', est intérieur au cercle.
IV. Soient AA', BB' deux couples de points conjugués d'une involution de points en ligne droite, dont on demande les'points doubles [Jig. i35).
Fig. i35.
Du point 0 d'une circonférence tracée arbitrairement projetons les points donnés en A, A',, B, B', sur la circonférence. Soient R le point commun à A,B',, A', B^; Q le point commun à A^B,, A', B',. Si la droite QR couple le cercle en M,, N, et si du point 0 on projette MjNj en MN sur la droite donnée, M, N seront les points doubles demandés.
Autrement : décrivons un cercle tangent à la droite AB. . . (y?^. i35 bis),
Fig. i35 bis.
et menons par AA', BB'les tangentes ««', bb' à ce cercle. Soient g la droite qui joint les points ab, a'b\ et r la droite qui joint les points ab', a'b.
l6o GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
Les tangentes m, n, menées par le point qr, couperont AB. . . aux points doubles demandés.
163. Dans le cas (162, III) de l'involution, si le point S commun aux droites AA', BB^ . . . est le centre du cercle (fig. t36), c'est-à-dire si AA^ BB', . . . sont autant de diamètres
du cercle, chaque rayon OA,OB,... sera perpendiculaire à son conjugué; cela veut dire que l'involution sera formée dans ce cas par tous les angles droits qui ont leur sommet en 0.
Mais si S n'est pas le centre du cercle, il ne passera qu'un seul diamètre par ce point, de manière qu'en nommant C, C les points d'intersection du cercle avec ce diamètre, les rayons OC, OC seront perpendiculaires entre eux et ce seront les seuls rayons conjugués qui jouissent de cette propriété ifig' 1^7 ). Ou bien :
Fig. ,37.
Une involutlon de rayons ou est entièrement formée d'angles droits, ou ne renferme qu'un seul angle droit dont les côtés soient des rayons conjugués,
164. Ce théorème n'est qu'un cas particulier du suivant : Supposons que l'on ait deux involutions distinctes de rayons
ÉLÉMENTS UNIS ET ÉLÉMENTS DOUBLES. l6l
qui concourent tous au point 0, et qu'un cercle décrit par 0 coupe les rayons conjugués de la première involution aux couples de points (AA'.BB'...) et ceux de la seconde en (GG'.HH'...). Soient S le point commun à AA', BB',. . . et T le point commun à GG', HH',. ... Si la droite ST coupe le cercle en deux points E, E' ces points seront conjugués dans les deux involutions, car ils sont alignés sur S aussi bien que sur T. Cherchons maintenant dans quels cas la droite ST coupera le cercle.
Cela arrivera d'abord si l'un des points S, T au moins est dans l'intérieur du cercle (160, VIII), c'est-à-dire si une des**^ involutions au moins n'a pas d'éléments doubles {fig. i38 et 139).
Si les points S, T sont tous les deux extérieurs au cercle,
c'est-à-dire si les deux involutions possèdent des éléments doubles et si ces éléments sont OM, ON pour la première et OU, OV pour la seconde, les rayons OE, OE' devront séparer harmoniquementle couple OM, ON aussi bien que le couple OU, OV; mais (55), pour qu'il existe un couple d'éléments OE, OE' qui forme un groupe harmonique avec chacun des couples OM et ON, OU et OV, il est nécessaire et suffisant que ces deux couples n'empiètent pas l'un sur l'autre; donc :
Deux involutions superposées ( ou contenues dans une même forme de première espèce) ont toujours en commun un couple d'éléments conjugués, excepté dans le cas où les deux involutions ont des éléments doubles et où les éléments doubles de l'une sont séparés par les éléments doubles de l'autre.
,52 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
La fi^. i4o (de même que les /g'. i38 et iSg) nous présente les cas de
Fig. i4o.
tk
deux involutions ayant en commun un couple EE' d'éléments conjugués. La/^. i4i, au contraire, donne le cas où ce couple commun n'existe pas.
I Le problème qui précède, c'est-à-dire la recherche du couple d elé-l ments conjugués commun à deux involutions superposées, rentre dans celui qui consiste à déterminer [dans une ponctuelle, dans un faisceau ou sur une conique) deux éléments qui forment un système harraomque avec l'un et avec l'autre de deux couples donnés (55).
Qu'il s'agisse, par exemple, de points en ligne droite; projetons les couples donnés d'un point 0 sur un cercle passant par ce point. Soient MN UV ces projections (A- i4o). Les tangentes en MN au cercle concourront en S, l s tangentes en UV, en T. Si le couple MN n'est pas se-
ÉLÉMENTS UNIS ET ÉLÉMENTS DOUBLES. l63
paré par le couple UV, ST coupera le cercle en deux points EE', et ces points sont les points demandés.
II. Les points doubles de l'involution déterminée par les couples AA', BB' forment le couple d'éléments conjugués commun à deux autres involutions: l'une déterminée par les couples AB, A'B', l'autre par les couples AB', A'B (160, VII).
On déduit de là une manière de construire les points doubles de l'involution déterminée par les couples AA', BB' de points en ligne droite. Prenons un point G quelconque en dehors de la ligne et décrivons les cercles GAB, GA'B', ils auront un autre point commun H. Soit aussi K la seconde intersection des cercles GAB', GA'B. Tout cercle décrit par les points G, H rencontre la droite donnée en deux points conjugués de l'involution AB, A'B' (98); de même, tout cercle décrit par GK donne deux points conjugués de l'involution AB', A'B. Donc, si l'on décrit le cercle GHK et s'il rencontre la droite donnée, les deux points d'intersection seront les éléments doubles de l'involution AA'.BB' (').
165. Il résulte de ce qui précède 'que la recherche des points unis de deux séries projectives de points ABC. . ., A'B'C. . . d'une conique (et, par suite, des éléments unis de deux formes projectives superposées qu e conques) se réduit à la construction de la droite s sur laquelle se coupent
les couples de droites AB' et A'B, AC et A'C, BC et B'C, De même
aussi, la recherche des points doubles d'une involution AA', BB',... se réduit à la construction de la droite .v, sur laquelle se coupent les couples de droitesAB et A'B', AB' et A'B,. . . ou les couples de tangentes en A et A', B et B',....
Réciproquement, si l'on donne une droite quelconque s (non tangente à la conique), une involution de points sur la conique se trouve déterminée; car il suffit de mener par les différents points de s les couples de tangentes à la conique et les points de contact formeront les couples de points conjugués.
Au contraire, pour que deux séries projectives ABC..., A'B'C... soient déterminées, il faut donner, outre la droite s, un couple de points correspondants AA' ; chaque point de s joint à A et à A' donne deux droites qui rencontrent la conique en deux points correspondants B', B.
Deux séries projectives de points déterminent une involution; les deux séries donnent, en effet, la droite s qui détermine l'involution. Si les deux séries ont deux points unis, ces points sont aussi les points doubles de l'involution.
(') Chasles, Géométrie supérieure, n" 263.
GÉOMÉTRIE PROJECTIVE,
§ XIX. — Problèmes du second degré.
i66. Problème. — Étant donnés cinq points d'une conique 0, 0', A, B, C, trouver les intersections de la courbe et d'une droite donnée s.
Solution. — De 0 et de 0' projetons {fig. 142) les autres points A,
Étant données cinq tangentes o, o', a, b, c d'une conique, trouver les tangentes que l'on peut mener à la conique par un point donné S.
Si l'on coupe les tangentes a, b, (",. ..par les droites 0, o'(y?'g^. 143),
Fig. i4a.
Fig. i.VJ.
B, C de la conique; les faisceaux 0 (ABC. . .), 0' (ABC. . .) sont projectifs et coupent la transversale .v en des points qui forment deux ponctuelles projecti ves superposées.
Si M est un point uni de ces ponctuelles, M sera un point de la conique, car deux rayons correspondants des deux faisceaux se coupent en M. Donc les points communs à la conique et à la droite s ne sont autre chose que les points unis des deux ponctuelles projectives super-
les ponctuelles o [a, b, c ),
o' (rt, b, c,. . .) sont projectives, et si on les projette du centre S, on aura deux faisceaux projectifs concentriques. Si m est un rayon uni de ces faisceaux, /;/ sera une tangente à la conique, car deux points correspondants des deux ponctuelles tombent sur cette droite. Donc les tangentes de la conique qui passent par S ne sont autre chose que les rayons unis des deux faisceaux projectifs concentriques déterminés
PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ
posées, déterminées par la rencontre de .V avec les trois couples de rayons correspondants OA et O'A, OB et O'B, OC et O'C. Il peut y avoir deux points unis, ou un seuj, ou aucun; la droite s peut donc couper la conique en deux points, lui être tangente en un point, ou ne pas la rencontrer du tout. Pour la construction des points unis il faudra se reporter au n° 162.
Le problème se résout de la même manière si Ton donne quatre points 0, 0', A, B de la conique et la tangente o en 0 ; ou trois points 0, 0', A et les tangentes o, o' en 0, 0'. Dans le premier de ces cas, les faisceaux sont déterminés par les trois couples de rayons o et O'O, OA et O'A, OB et O'B ; dans le second, par les trois couples o et O'O, 00' et o', OA et O'A.
Si l'on donne, au contraire, cinq tangentes ou quatre tangentes et un de leurs points de contact, ou trois tangentes et deux de leurs points de contact, on peut commencer par construire (134, 140, 141) les autres points de contact :
alors le problème se ramène à un des cas précédents.
par les rayons qui projettent du centre S les trois couples de points correspondants oa et o'a, ub eio'b, oc et o'c. Il peut y avoir deux rayons unis, ou un seul, ou aucun :
du point S on peut donc mener deux tangentes : ou le point S est un point de la courbe, ou par S on ne peut mener aucune tangente. Pour la construction des rayons unis il faudra se reporter au n° 162.
Le problème se résout de la même manière si l'on donne quatre tangentes o, o', a, b de la conique et le point de contact 0 de o ; ou trois tangentes o, o', a et les points de contact 0, 0' de o, o'. Dans le premier cas, les ponctuelles sont déterminées par les trois couples de points 0 et o'o, oa et o'a, ob et o'b ; dans le second, par les trois couples 0 et o'o, oo' et 0', oa et o' a.
Si Ton donne, au contraire, cinq points ou quatre points et la tangente en un d'eux, ou trois points et les tangentes en deux d'entre eux, on peut commencer par construire (128, 134, 138) les tangentes aux autres points^^donnés : alors le problème se ramène à un des cas précédents.
167. Supposons, dans la construction du numéro précédent, à gauche, que la conique soit une hyperbole et la transversale s une asymptote (yfo-. i44) ; les ponctuelles projectives superposées marquées sur s par les faisceaux 0(A, B, G,. . .), 0'(A, B, C,. . .) auront, dans ce cas, un seul point uni et il sera à distance infinie (c'est le point de contact de l'hyperbole et de l'asymptote s); mais (77), dans deux ponctuelles projectives superposées dont les points unis se confondent en un seul à l'infini, le segment compris entre deux points correspondants quelconques a une longueur constante ; donc :
Si, autour de deux points fxcsO, 0' d'une hyperbole, on fait tourner
GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
deux rayons qui se coupent constamment sur la courbe, le segment PP intercepté par ces rayons sur une asymptote est de grandeur constante ( ' ).
Fig. i.i4.
168. Si l'on suppose, dans le n" 166 à gauche, que la droite .v soit à l'infini, le problème devient :
Étant donnés cinq points O; 0', A, B, C d'une conique, construire les points à l'infini [fg. i45).
Fig. i/,5.
Considérons encore les faisceaux projectifs 0 (A, B, G,. . .], 0' (A, B, C, . . .) qui marquent sur la droite s {à l'infini) deux ponctuelles projectives superposées dont les points unis sont les points demandés, et obser-
(•) Brianchon, loc. cit., p. 36.
PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. 167
vons que chacun de ces points unis doit être commun à la droite de l'infini ^ et à deux rayons correspondants des deux faisceaux : ces rayons seront donc parallèles; le problème se réduit à trouver les couples de rayons correspondants parallèles dans les deux faisceaux.
Pour le résoudre, menons par 0 les droites OA', OB', OC, respectivement parallèles à O'A, O'B, O'C; construisons (162) les rayons unis des deux faisceaux projectifs concentriques déterminés par les couples OA et OA', OB et OB', OC et OC. S'il y a deux rayons unis OM, ON, la conique déterminée par les cinq points donnés est une hyperbole dont les points à l'infini sont sur les directions OM, ON ou, ce qui revient au même, dont les asymptotes sont parallèles aux droites OM, ON.
S'il n'y a qu'un seul rayon uni OM,la conique déterminée par les cinq points donnés est une parabole dont le point à l'infini est dans la direction OM.
S'il n'y a aucun point uni, la conique déterminée par les cinq points donnés, n'ayant pas de points communs avec la droite à l'infini, est une ellipse.
Si, dans le premier cas [fig. i45), on veut construire les asymptotes de l'hyperbole, il suffira de considérer celle-ci comme déterminée par les deux points à l'infini et par trois autres points. A, B, G par exemple, c'est-à-dire (122) de la considérer comme engendrée par les deux faisceaux projectifs de rayons, parallèles les uns à OM, les autres à ON, et dont deux correspondants passent par A, deux autres correspondants par B, et enfin deux par G. Les rayons de ces faisceaux qui correspondent à la droite de l'infini (qui joint les centres des faisceaux) seront les asymptotes demandées.
Nommons donc [fig. i45) «, ^, c les rayons parallèles à OM, qui passent par A, B, G; a\ b\ c' les rayons parallèles à ON, qui passent par ces mêmes points; joignons le point ab' au point a'b et le point bc' au point b'c. Soit K le point d'intersection; les parallèles à ces droites OM, ON menées par le point K sont les asymptotes cherchées.
169. Le problème : « Mener par un point S les tangentes à la conique dont on donne cinq points A, B, G, D, E « peut aussi être rattaché au problème du n° 166, à gauche, en ayant recours aux propriétés de l'involution (160) que l'on obtient en coupant la conique par des transversales issues du point S.
Menons les droites SA, SB {fg. 146) qui couperont la conique en deux nouveaux points A', B', que l'on sait construire (au moyen de la règle seulement et sans tracer la courbe) en appliquant le théorème de Pascal (n'' 124, à droite). Les points A'B' sont construits, dans la figure, au moyen des hexagones ADGBEA', BEGADB'. Joignons le point commun à
GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
AB, A'B' au point commun à AB', A'B : cette droite s renfermera (160) les points de contact des tangentes issues de S. La question se réduit
Fig. i^G.
.i ainsi à trouver les intersections de la conique et de la droite s (n° 166, à gauche).
Nous laissons à l'élève le soin de faire la construction corrélative {,fig. 147) pour ramener au problème du n° 166, à droite, le problème :
Fijj. 147.
« Trouver les points communs à une droite donnée s et à la conique déterminée par cinq tangentes données » .
170. Problème. — Construire une conique qui passe par quatre points donnés Q, R, S, T et soit tangente à une droite donnée -v (qui ne passe par aucun des points donnés ).
Construire une conique tangente à quatre droites données 7, a-, s, t et qui passe par un point donné S (non situé sur une des droites données).
PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ
Solution. — Les côtés QT, RS, QR, ST du quadrilatère QRST coupent s en A, A', B, B' [fig. 148); construisons les points doubles de
Fig. i48.
-'^fc--,--.
i'involution déterminée par les couples AA', BB'.
S'il y a deux points doubles MN, chacun d'eux sera (n° 145, à gauche) un point de contact de s avec une des coniques circonscrites au quadrangle QRST; le problème sera donc résolu par chacune des coniques ORSTM, QRSTN, que l'on pourra construire, toutes les deux, par points en appliquant le théorème de Pascal (n° 124, à droite).
S'il n'y a pas de points doubles, il n'y a pas, non plus, de conique satisfaisant aux conditions proposées.
Solution. — Du centre S projetons les points qt^ rs, r/r, st du quadrilatère qrst, au moyen des rayons a, a', b, b' [fi^. 149), et construi-
Fig. 149.
sons les rayons doubles de I'involution déterminée par les couples «rt', bb' .
S'il y a deux rayons doubles m. n, chacun d'eux (n'' 145, à droite) sera tangent en S à une conique inscrite au quadrilatère qrst\ le problème sera donc résolu par les deux coniques qrstm.^ qrstn., que l'on pourra construire, toutes les deux, par tangentes en appliquant le théorème de Brlvnchon (n° 124, à gauche).
S'il n'y a pas de rayons doubles, il n'existe aucune conique satisfaisant aux conditions proposées.
I. Si l'on suppose, à gauche, que la droite s soit à distance infinie, le problème devient : Construire une parabole qui passe par quatre points 0, R, S, T. D'un centre quelconque 0 [Jig. i5o) menons les rayons «, «', b, b' respectivement parallèles aux droites QT, RS, QR, ST et construisons les rayons doubles de I'involution déterminée par les couples aa\ bb'. S'il y a deux rayons doubles, chacun d'eux donnera la direction sur laquelle se trouve le point à l'infini d'une parabole qui passe par les
GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
quatre points donnés; le problème sera ainsi ramené au dernier problème du n° 128.
Ainsi, par quatre points donnés, il passe deux paraboles ou il n'en passe aucune; dans le premier cas, les autres coniques circonscrites sont des ellipses et des hyperboles ; dans le second cas, il n'y a que des hy-
perboles. Le premier cas se présente quand chacun des quatre points donnés est extérieur au triangle formé par les trois autres; on a le second cas quand un des quatre points est intérieur au triangle formé par les trois autres.
II. Si, dans l'énoncé de droite, une des droites qrst est à l'infini, le problème devient :
Construire une parabole tangente à trois droites données et qui passe par un point donné.
171. Problème. — Construire une conique qui passe par trois points donnés P, P', P" et qui soit tangente à deux droites données </, .V (ne passant pas par un des points donnés ) .
La solution est fondée sur le théorème du n" 149, à gauche. Imaéîinons que la conique et le couple de tangentes q, s soient coupés par la transversale PP' aux couples de points PP', BB' [fig. i5i). En vertu de ce théorème, si A, A, sont les points doubles de l'involution dé-
! Construire une conique tangente
I à trois droites données p, />', // et
■ qui passe par deux points donnés Q,
! S (dont aucun n'est sur une des
! droites données).
La solution est fondée sur le théorèrpe du n° 149, à droite. Imaginons que l'on ait mené du point pp' les tangentes p^ p' à la conique et les rayons ^, h' aux points Q, S [fig. i52). En vertu de ce théorème, si <7«, sont les rayons doubles de l'invo'lution déterminée par les deux
PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ
terminée par ces deux couples de points, la corde de contact de la conique et des tangentes qs passera par un do ces points. Faisons
couples pp\ bb', le point de concours des tangentes à la conique aux points Q, S se trouvera sur un de ces rayons. Faisons le même rai-
le même raisonnement pour la transversale PP", qui coupe q et s en D, D", c'est-à-dire construisons aussi les points doubles C, C, de l'involution déterminée par les couples PP", DD", la corde de contact passera par C ou par C,. Le problème admet donc quatre solutions; c'està-dire que, si les deux involutions (PP', BB'), (PP", DD") admettent les points doubles (A, A,), (G, C.), il y a quatre coniques qui satisfont aux conditions données ; et les cordes de contact de ces courbes avec les tangentes 7, s sont AG, A, G, AG,, A, G,. De chacune de ces coniques, de la première par exemple, on connaît cinq points P, P', P" et les intersections de AG avec '/ et s\ on pourra donc les construire par points au moyen du théorème de Pascal (n° 12i, à droite).
sonnement pour le point pp'\ d'où nous tirerons les rayons d^ d" aux points Q, S, c'est-à-dire construisons aussi les rayons doubles <?, c^ de l'involution déterminée par les couples pp\ dd" ; le point de concours ci-dessus tombera en c ou en c,. Le problème admet donc quatre solutions; c'est-à-dire que, si les deux involutions (/>//, bb'), [pp'\ dd") admettent les rayons doubles (rt, rt'J, (c, c, ), il y a quatre coniques qui satisfont aux conditions données ; et pour ces courbes les points de concours des tangentes en Q, S sont flc, «, c, (7c,, «,c,. De chacune de ces coniques, de la première, par exemple, on connaît cinq tangentes/^,/>', /;" et les droites qui joignent ac à Q et S; on pourra donc les construire par tangentes au moyen du théorème de BrianciioN (n° 124, à gauche).
1^2 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
172. Problème. — Construire un polygone dont les sommets tombent sur des droites données et dont les côtés passent par des points donnés (').
Solution, — Pour fixer les idées {^g. i53), supposons qu'il s'agisse de construire un quadrilatère simple, dont les sommets, que nous nomme-
rons I, 2, 3, 4, tombent respectivement sur lesdroites données .ç,, .v.^, s^, ^■^ et dont les côtés 12, 23, 34, 4 1 passent par les points donnés S, .^,S.^.,,S3i, S,,,. Du centre S,, projetons les points A,, B,, C,,. . . de .v, sur .v^ en A^, B^, Cj. . .; puis du centre S^. projetons la ponctuelle A,B,C,. . . sur ^3 en A3B3C3..., puis de S,, projetons A3B3C3... en A,B,C,... sur .v,^ ; et enfin de S^, projetons A^B^C^... en ABC... sur s\. De cette manière, les points S,,, S^3, 83,^, S^, sont les centres de quatre faisceaux projectifs, car le premier est perspectif au deuxième (section commune .?,), le deuxième au troisième (section commune ^3), le troisième au quatrième (section commune .vj. Il résulte de là (H4) que le lieu du point commun à deux rayons correspondants (comme A, A, et A^A) du premier et du quatrième faisceau, ou, en d'autres termes, le lieu du premier sommet du quadrilatère variable, dont le deuxième, le troisième et le quatrième sommet (A,, A3, AJ se meuvent sur trois droites données {s.,, s.^, s^) et dont les côtés (A,A2, A.^A3, A3A,., A^A) passent par quatre points donnés (S,, S,, 83,8^ est une conique (').
(') PONCELET, loc. cit., p. 345.
(-) Ce théorème (si un polygone simple se déforme de manière que ses côtés passent par des points donnés et que ses sommets, moins un, parcourent des droites données, le dernier sommet parcourt une conique) est dii à Maclaurin {Transactions de Londres, s 735, ou Jpercu historique, p. i5o).
PROBLÊMES DU SECOND DEGRÉ. 178
Cette conique passe par les points S,,, S,,, centres des faisceaux qui l'engendrent; il suffira donc, pour la déterminer, de trois autres de ses points, c'est-à-dire des intersections de trois couples de rayons correspondants A. A, et A, A, B, B, et Q,B, C,C, et C,C. Il n'y aura plus alors qu'à construire (166) les intersections de la droite s^ avec la conique déterminée par ces cinq points, et chacune d'elles pourra être prise comme le sommet i du quadrilatère cherché.
La même construction peut être envisagée sous cet autre aspect. Les lignes brisées A, A^ A3 A, A, B, B2B3B,B, C, C, 036,0 peuvent être regardées comme des essais faits pour construire le quadrilatère cherché; ces essais donnent des polygones non fermés, car le point A ne se confond pas avec A,, ni B avec B,, ni G avec G,. Ges essais et tous les autres semblables que l'on peut imaginer, mais qu'il n'est pas nécessaire d'exécuter, donnent sur la droite .y, deux ponctuelles A,B,C, . . . , ABC. . . (décrites l'une par l'origine, l'autre par le dernier sommet de la ligne brisée ou polygone ouvert). Ces deux ponctuelles sont projectives, parce que la seconde se déduit de la première au moyen de projections à partir des centres S,,, S^j, S3,, S^, et de sections par les transversales s^, s.^, s^, s\. Chacun des points unis de ces ponctuelles résout le problème; car, si l'on y plac3 l'origine de la ligne brisée, son extrémité y tombera aussi et le polygone sera fermé.
Dans ce problème et dans les suivants, la méthode reste la même, quel que soit le nombre des côtés du polygone à construire.
173. Problème. — Inscrire dans une conique donnée (') un polygone dont les côtés passent par des points donnés.
Solution. — Supposons qu'il s'agisse d'inscrire un triangle dont les côtés passent respectivement par trois points donnés S,, S„ S3 [fig. i54).
Faisons trois essais, c'est-à-dire du centre S, projetons trois points quel-
(') Entièrement décrite ou déterminée par cinq points donnés.
174 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
conques A, B, C de la courbe en A,, B,, C, sur la même courbe, puis A,, B,, C, du centre S^ en A^, B,, C„ puis A,, B,,.C, du centre S3 en A', B', C (toujours sur la même courbe). Comme le point d'arrivée A' ou B' ou C' ne coïncide pas avec le point de départ correspondant A ou B ou C, au lieu d'un triangle inscrit, tel qu'il est demandé dans l'énoncé du problème, nous aurons un polygone ouvert A A, A, A', BB,B,B', CC,C,C'; mais les projections successives faites des centres S,, S,, S3 déduisent de la série de points A, B, C,... les séries A,B,C,..., A,B,C,..., A'B'C'...; par suite ( 158, 160) la série ABC. . . des points de départ et la série des points d'arrivée i^', B', C',.-'- sont projectives (157). Le problème serait résolu si le point d'arrivée se confondait avec le point de départ; donc, si les deux séries projectives ABC..., A'B'C... ont des points unis, chacun d'eux pourra servir de premier sommet à un triangle satisfaisant aux conditions proposées. Il faut donc trouver (157, II) la droite sur laquelle se coupent les couples de côtés opposés de l'hexagone inscrit AB'C A'BC, et construire les intersections M, N de cette droite et de la conique (166) ; chacune d'elles donnera une solution au problème (').
174. Une méthode analogue permet de résoudre le problème corrélatif:
Circonscrire à une conique donnée [^) un polygone dont les sommets tombent sur des droites données.
Supposons qu'il s'agisse de circonscrire à la conique un triangle dont les sommets soient respectivement sur les droites .v,, s.^, s^ {fis- i55). Traçons la tangente n en un point quelconque A de la conique, du point où elle coupe ^,, menons une autre tangente a^ (point de contact A, ); du point où a^ rencontre s^^ menons la seconde tangente a.^ (point de contact AJ; et enfm du point où a^ coupe ^3 tirons de nouveau la tangente /?' et soit A' son point de contact. Le problème serai-t résolu si le point A' coïncidait avec A, c'est-à-dire si les tangentes a, a' se confondaient. Imaginons que nous ayons fait d'autres essais semblables en prenant pour points de départ les points quelconques B, C, . . . de laconique, nous aurons successivement les séries de points A, B, C, . . .; A,, B,, C,,. . .; A^, B.^, C2, . . . ; A', B', C, . • • 5 qui sont toutes projectives entre elles. En effet, la première et la seconde série sont projectives (160), parce que les tangentes en A et A,, B et B,, C et C,,.. . sfe coupent toujours sur ^, ; de même la deuxième et la troisième, la troisième et la quatrième, et par suite la première et la quatrième sont projectives entre elles pour la même raison (158). Et comme le problème serait résolu si A et A', ou B
C) PONCELET, loc. cit., p. 352.
(-) Entièrement décrite ou déterminée par cinq tangentes données.
PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ
et B', . . . se confondaient, chacun des points unis des séries projectives ABC. . ., A'B'C. . . pourra servir de point de contact au premier côté
Fig. i55.
d'un triangle satisfaisant aux conditions demandées. Il suffira donc (157) de faire trois essais, c'est-à-dire de déduire de trois points quelconques A, B, C, pris sur la conique, les points correspondants A', B', C, et de construire les points M, N communs à la conique et à la droite qui renferme les points d'intersection des côtés opposés de l'hexagone inscrit AB'CA'BC (M-
175. Le cas particulier où, dans le problème no 173, les points fixes S,, S.,,... sont tous sur une même droite s, doit être traité séparément. Si le' nombre des côtés du polygone cherché est pair, le théorème du n° 146 est applicable; et, dans ce cas, ou bien le problème n'aura aucune solution ou il en aura une infinité. Qu'il s'agisse, par exemple, d'inscrire dans la conique un octogone dont les sept premiers côtés passent par les points S„ S,,. . . , S„ le dernier côté passera alors, en vertu de ce théorème, par un point fixe S de s; mais le point S n'est pas quelconque, il est déterminé par les points S,, S,,. . . , S,. Donc, si le dernier point Sg coïncide avec S, il y a une infinité d'octogones qui satisfont aux conditions données. Si cette coïncidence n'a pas lieu, il n'y a aucune solution.
(') POXCELET, loc. cit., p. 35/5-
176 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
Si le nombre des côtés du polygone demandé est impair, le problème est déterminé. Supposons qu'il s'agisse d'inscrire un heptagone [fig. 114) dont les côtés passent par les points donnés S,, S„, . . ., S,, tous en ligne droite. D'après le théorème (146), il y a une infinité d'octogones dont les sept premiers côtés passent par sept points donnés en ligne droite, et dont le huitième côté passe par un point fixe S de cette droite. Si, parmi ces octogones, il y en a un dont le huitième côté soit tangent à la conique, le problème sera résolu, car ce polygone ayant deux sommets infiniment voisins ou coïncidents se réduira à un heptagone inscrit dont les côtés passeront par sept points donnés. Donc, si l'on peut mener des tangentes à la conique par le point S, le point de contact de chacune d'elles donnera une solution (146). Donc, suivant la position du point S par rapporta la courbe, il y a deux solutions, une solution, ou il n'y en a aucune.
Ld^fig. 116 se rapporte au cas de ce problème oiî il s'agit d'inscrire un triangle (').
L'élève pourra s'exercer à résoudre le problème corrélatif: circonscrire à une conique un polygone dont les sommets tombent sur des rayons donnés d'un faisceau. Ce problème est aussi indéterminé ou sans solution si le polygone est d'ordre pair ; il est déterminé et du second degré si le polygone est d'ordre impair [Jig. ii5 et 1 17).
176. Lemme. — Si deux coniques se coupent aux points A, B, C, C, et si l'on mène par A, B respectivement deux droites qui coupent la pre-
Fig. i56.
mière conique en F, G et la seconde en F', G', les cordes FG, F' G' concourent en un point H de la droite CC [fig- i56).
(') Pappus, loc. cit. y liv. Vil, p. 117.
PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. iqrj
En effet, la transversale CC rencontre la première conique et les côtés opposés du quadrangle inscrit ABGF en six points formant trois couples en involution (n° 443, à gauche); la môme chose a Heu pour la seconde conique et le quadrangle inscrit ABG'F'; mais les deux involutions coïncident (98), car elles ont deux couples communs de points conjugués : le couple des points CC, oiî la transversale coupe l'une et l'autre conique et le couple des points où la transversale rencontre les côtés opposés AFF' BGG' qui appartiennent aux deux quadrangles. Donc tout autre couple de points conjugués sera commun aux deux involutions, c'est-à-dire que la transversaleCC rencontrera FG et F' G' en un môme point H conjugué à celui où elle coupe AB.
La proposition qui précède, simple corollaire du théorème de Desargues, donne immédiatement la solution des deux problèmes suivants l'un du premier, l'autre du second degré.
I. Problème. — Étant donnés sept points A, B, C, D, E, F, G, trouver le quatrième point commun aux deux coniques circonscrites l'une au pentagone ABCDE, l'autre à ABCFG [fn^. i56).
De deux des points communs menons les transversales AF, BG qui coupent la première conique en F', G', points que l'on sait construire {n°124, à droite). Les droites FG, F'G' concourent en un point H de la corde qui joint les deux autres points communs. Cette corde sera donc HC et il suffira de construire le point C où elle rencontre l'une et l'autre conique • le point C sera le point cherché. '
n. Problème. — Étant donnés huit points A, B, D, E, F, G, M, N, trouver les deux points d'intersection restants des deux coniques circonscrites l'une au pentagone ABDEN, l'autre à ABFGM [fg. i56).
Tirons AF, BG qui coupent la première conique en F', G'; le point H commun à FG et à F'G' appartiendra à la corde qui joint les deux points cherchés. De même, si AM coupe de nouveau la première conique en M' le point K commun à GM, G' M' sera situé sur la même corde. Donc les points cherchés sont sur HK, et le problème est ramené à la construction des intersections C, C (166) de l'une ou de l'autre conique avec HK (').
IIL La construction ne change pas si les points A, B sont infiniment voisins, c'est-à-dire si les coniques sont tangentes en un point donné à une même droite donnée (142).
Dans ce cas, étant données deux coniques tangentes entre elles en un point A, on obtient la droite HK qui joint les deux points C, C d'intersection. Si cette droite passait par A , un des points C, C coïnciderait avec A, car une conique ne peut avoir trois points en ligne droite. On peut
C) Gaskin, The geometrical construction of a conic section, etc. (Cambrid^re i852), p. 26, ^0. " '
1^8 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
dire alors que trois des quatre points communs aux deux coniques sont réunis en A (ou infiniment voisins) [voir n" 42) ; on dit encore que les •deux coniques s'oscidcnt au point A. La construction donne un point H de la droite qui joint le point A au quatrième point C d'intersection. Il peut arriver enfin que cette droite coïncide avec la tangente en A; on dit alors que A tient lieu de quatre points coïncidents (ou infiniment voisins) communs aux deux coniques.
IV. Appliquons maintenant le lemme à une conique donnée et à un cercle qui lui est tangent en A. De A tirons la normale (perpendiculaire à la tangente en A) : elle rencontre de nouveau la conique en F et le cercle en F' ; sur AF comme diamètre décrivons un cercle : ce cercle tangent à la conique en A et sécant en F coupera cette courbe en un autre point G, et l'angle AGF sera droit. Le premier cercle coupe AG en G' ; en vertu du lemme, FG, F' G' concourront sur la corde HK; mais FG, F'G' sont parallèles, parce que l'angle AG'F' est aussi droit; donc, pour tous les cercles tangents en A à la conique, la corde IIK a une direction constante, la direction FG.
Si la corde HK passe par A, le cercle sera osculateur à la conique en A. Par suite, menons par A la parallèle à FG : elle coupera la conique en C ; le cercle tangent en A et sécant en G sera le cercle osculateur en A (').
Ficc vcrsâ, on peut construire la conique qui passe par trois points donnés A, P, Q et qui a, en A, un cercle donné pour cercle osculateur. Les droites AP, AQ coupent le cercle donné en P', Q'; soit U le point de concours de PQ, P'Q'. Tirons AU, cette droite coupera de nouveau le cercle en C ; la conique cherchée passera par C : elle est donc déterminée par les quatre points A, P,Q, G et par la tangente en A (tangente au cercle).
V. La proposition corrélative du lemme précédent peut s'énoncer ainsi : Si fl, b sont deux tangentes communes à deux coniques et si, de deux
points pris respectivement sur «, b on mène les tangentes /, g à la première conique et les tangentes/', g' à la seconde, les points fg, f'g' seront en ligne droite avec le point de concours des deux autres tangentes communes aux conique? données.
Cette proposition s .m t à résoudre les problèmes corrélatifs des problèmes I et II : trouver les tangentes communes non données (une ou deux) à deux coniques, dont chacune est déterminée par cinq tangentes données, parmi lesquelles il y en a déjà trois ou deux communes aux deux courbes.
177. Problème. — On donne onze points A, B, C, D, E, A,, B,, C,, D,, E,, P ; construire par points la conique qui pa^se par P et par les quatre
C) Po:jCELET, lue. cit., n"s SSi-SS";
PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. I 79
points (non donnés) communs aux coniques (non tracées) ABCDE, A.B.C.D.E,(»).
Menons par P une transversale quelconque, et construisons (n" 166, à gauche) les points M, M' oii elle coupe la conique ABCDE et les points N, N' où elle coupe la conique A, B,C,D,E,. Comme ces deux coniques et la conique cherchée doivent être circonscrites à un même quadrangle, nous pourrons appliquer le théorème de Desargues. Donc, si Ton construit ( n° i02, à gauche) le point P' conjugué à P dans l'involution déterminée par les couples MM', NN', le point P' appartiendra à la conique cherchée. En faisant pivoter la transversale autour de P, on obtiendra d'autres points de la même conique.
178. Problême. — On donne dix points A, B, C, D, E, A,, B,, C,, D,, E,
et une droite ^, construire une conique tangente à ^ et qui passe par les quatre points (non donnés) communs aux coniques non décrites ABCDE, A.B.C.D.E,.
Construisons (n" 166, à gauche) les points M, M' communs à ,9 et à la conique ABCDE, et les points N, N' communs à 5- et à la conique A, B, C, D, E, , puis les points doubles de l'involution déterminée par les couples MM', NN'. Si Pest un de ces points doubles, P sera le point de contact (145) entre s et une conique circonscrite au quadrangle formé par les quatre points communs aux coniques ABCDE, A,B, C, D,E,. Le problème est donc ramené à celui du numéro précédent.
179. Les constructions corrélatives donnent les solutions des problèmes corrélatifs.
Construire une conique qui passe par un point donné, ou soit tangente à une droite donnée et soit inscrite au quadrilatère formé par les quatre tangentes (non données) communes à deux coniques (non tracées) dont chacune est déterminée par cinq tangentes.
180. Problème. — Par un point donné S, mener une droite qui soit coupée par quatre droites données a, b, c, d en quatre points ayant un rapport anharmonique donné.
Nous avons vu (115) que les droites qui sont coupées par quatre droites données «, ^, c, d en quatre points ayant un rapport anharmonique donné sont toutes tangentes à une même coijique tangente aux droites données, et que, si D est le point de contact de d, et si A, B, C sont les points où d coupe a, b, c, le rapport anharmonique ( ABCD) est égal à celui des quatre points où les droites <-/, b, c, d sont coupées par
C) PONCELET, loC. cit., 11° 389.
,go GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
une autre tangente quelconque de la conique. La solution du problème
sera donc la suivante : • / *
Construisons (53) le point D de la droite r/ qui, avec les points «f/= A, bd^B, c./h=C donne le rapport anharmonique (ABCD) égal au rapport donné- puis 1"° 160, à droite) construisons les droites qui passent par S et sont tangentes à la conique déterminée par les quatre tangentes a b, ,;, d et par le point de contact D sur d : chacune de ces droites résoudra le problème proposé. i • ,
Si une des droites «, b, c, d est à distance infinie, le problème devient
le suivant : , . • *
Par un point donné S tracer une droite telle, que les segments interceptés sur elle par trois droites données «, ù, c (entre a et b, a et c) aient entre eux un rapport donné.
Construisons sur a le point A qui, avec les points ab^B, «c = L, donne au rapport AB : AC la valeur donnée, et menons par S es tangentes à la parabole déterminée par les tangentes a, /;, c et par le point de contact A sur r/.
La construction corrélative donnera la solution du problème suivant : Sur une droite donnée s trouver un point d'où l'on puisse projeter quatre points donnés A, B, C, D au moyen de quatre rayons ayant (53) un rapport anharmonique donné.
181 Problème - On donne deux droites ponctuelles projectives «, u', trouver deux segments correspondants que l'on puisse voir de deux points donnés 0, 0' sous des angles donnés (')• Prenons sur u' deux points A , D'* de manière que l'angle A'O'D'seit égal au second des angles donnés; soient A, D les points de u qui correspondent à A', D' ; déterminons sur u le point A, tel que l'angle A.OD soit égal au premier des ang es donnés ; il est clair que le problème serait résolu si OA, se confondait avec OA, car alors les angles AOD, A'O'D' seraient tous les deux égaux aux angles donnés. Si l'on fait varier simultanément les rayons OA, 0 A 0 D i)D, 04 tous les faisceaux engendrés sont projectifs entre eux. En effet, les faisceaux engendrés par 0' A', O'D' sont projectifs, ainsi que ceux qui sont n endrés par OA.,OD, parce que les angles A' O'D', A. OD sont constants (82) ; les faisceaux engendrés par OA, O'A' et par OD, 0 D sont ;ussi projectifs à cause de la projectivité de . et .'. Donc les faisceaux engendrés par les rayons OA, OA. sont projectifs, et les rajons -.s résoudront le problème. Faisons trois essais -f S^^^ ^^P;;^^^ e\ OB obtiendrons trois couples de rayons corrcspondaiu3 OA etOA., OB et Ul5„
(^^ C'est-à-dire si MP, M'P' sont les segments deniandcs, de manière que le» ansles MOP, M'O'P' soient donnés de grandeur et de sens.
PROBLÈMES DU SECOND DEGllÉ. l8l
OC et OC, , et construisons les rayons unis des faisceaux projectifs concentriques déterminés par ces trois couples (162). Si un des rayons unis rencontre u en M et si l'on prend sur u le point P, tel que l'angle MOP soit égal au premier des angles donnés, et si ensuite on nomme M', P' les points de u' qui correspondent à M, P, l'angle M'O'P' sera égal au second des angles donnés : le problème sera donc résolu.
182. Problême. — On donne deux ponctuelles projeclives « ^ ABC. . . , ?/= A'B'C^ . ., trouver deux segments correspondants égaux (en grandeur et en direction) à deux segments donnés.
Prenons sur u' un segment A'D' égal au second segment donné, et sur a le segment AD correspondant à A'D'. Prenons sur a le point A,, tel que A, D soit égal au premier segment donné ; le problème serait résolu si les points A, A, coïncidaient. En faisant varier simultanément les points A, A', D', D, A,, ils engendrent autant de ponctuelles projectives : en effet, les ponctuelles engendrées par A et A' sont projectives, ainsi que celles engendrées par[D et D', à cause de [la projectivité de u et de a'; les ponctuelles décrites par A, et D, et celles décrites par A', D' sont aussi projectives comme engendrées par le mouvement de segments constants (77). Donc les ponctuelles engendrées par A, A, sont projectives, et leurs points unis résoudront lé problème. Il suffira donc d'obtenir trois couples de points correspondants A et A,, B et B,, C et C, au moyen de trois essais, et puis de construire les points unis (162).
183. L'élève aura certainement remarqué la constance de la méthode que nous avons employée pour résoudre les problèmes précédents. Elle est générale, uniforme et directe; on peut l'appliquer d'une manière plus ou moins simple à tous les problèmes du second degré, c'est-à-dire à toutes les questions qui, traitées algébriquement, dépendraient d'une équation du second degré, ou d'une équation de degré supérieur réductible au second. La méthode consiste à faire trois essais, qui donnent trois couples d'éléments correspondants de deux formes projectives superposées; et les éléments unis donnent les solutions du problème. C'est pour cela que cette manière de procéder a été considérée, à bon droit, comme une méthode géométrique -de fausse position (').
18i. Les problèmes du second degré (ou réductibles au second degré), comme tous ceux de la Géométrie élémentaire, se résolvent au moyen de la règle et du compas seulement, c'est-à-dire au moyen d'intersections de droites et de cercles ('). Mais, d'autre part, on peut faire dépendre cha-
(') ClIASLES, Géom. SUp.,J). '212.
(■) On appelle problème du premier degré ceux qui 2')euvcnt être résolus au
l82 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
cun de ces problèmes de la détermination des éléments unis de deux formes projectives superposées, détermination qui se réduit (162) à la construction des points unis de deux séries projectives (157) données sur un cercle tout à fait arbitraire. Il suit de là qu'un seul cercle, décrit une fois pour toutes, peut servir à résoudre tous les problèmes du second degré (') proposés relativement à des éléments donnés dans un plan fixe (le plan du dessin). Après avoir tracé ce cercle, la question se réduira à transporter sur sa circonférence, au moyen de projections et de sections, les trois couples de points qui déterminent les deux formes projectives, dont les éléments unis résolvent le problème; et puis à tracer la droite qui contient les points de rencontre des couples de côtés opposés de l'hexagone inscrit qui a pour sommets opposés les points des trois couples cidessus (1S7).
Il est superflu de faire remarquer que, au lieu de faire dépendre la solution du problème des éléments unis de deux formes projectives superposées, on peut toujours le réduire à la recherche des éléments doubles d'une involution (1C5).
Nous avons déjà donné, au n° 89, un exemple de la manière de résoudre un problème du second degré au moyen de la règle seulement, en supposant qu'un cercle auxiliaire soit tracé dans le plan du dessin, et que l'on connaisse le centre de ce cercle. Nous trouverons d'autres exemples de cela plus loin.
185. On résout les problèmes suivants d'une manière semblable :
I. On donne [J^g. i^-j) deux droites ponctuelles [projectives ?/, ii' et
deux autres droites ponctuelles projectives r, p'; on demande de mener par le point 0 deux droites s et s', qui coupent respectivement ii et u' en
moyen de la règle seulement, c'est-à-dire par des intersections de droites. Voir Lambeut, loc. cit., p. i6i ; Buianciion, Îoc. cit., p. 6 ; Poncelet, loc. cit., p. 76. (') PoNCELET, loc. cit., p. 187; Stei^^k, Die geometrischen Konstriictionen ausgefilhrt mittelst der geraden Linieii uiid eines festen Kreises (Berlin, i833), p. G;.
PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ
deux points correspondants, et en même temps (^ et i>' en deux points correspondants.
Par 0 menons une droite qui coupe u' et </ en A', P'; soient A le point de n qui correspond à A', et P le point de c qui correspond à P'. Le problème serait résolu si les droites OA, OP coïncidaient. En faisant varier simultanément ces droites, elles décrivent deux faisceaux projectifs concentriques (déterminés par trois essais analogues à celui que nous avons fait), dont les rayons unis donneront les solutions du problème.
II. On peut supposer, dans le problème qui précède, que les ponctuelles a et II' sont superposées ainsi que c et (^'. Si les quatre ponctuelles étaient sur une même droite, le problème pourrait s'énoncer ainsi :
Étant données sur une droite deux ponctuelles projectives u, u', et deux autres ponctuelles projectives p, p', trouver un couple de points qui soient correspondants tant dans u, u' que dans (>, p'.
III. Entre deux droites données «,!",, placer un segment qui soit vu de deux points 0 et S sous des angles donnés [Jig. i58).
Figr. i58.
Menons par S deux droites qui coupent m, m, en A, A,, de manière que l'angle ASA, soit égal au second des angles donnés; puis traçons par O une autre droite qui coupe u en A', de manière que l'angle A'OA, soit égal au premier des angles donnés. Le problème serait résolu si OA se confondait avec OA'. Trois essais, comme celui que nous venons de faire, donneront trois couples de rayons correspondants (OA et OA', OB et OB', OC et OC) des deux faisceaux projectifs qui seraient décrits si l'on faisait varier simultanément OA, OA' ; les rayons unis OM, ON de ces faisceaux donnent les solutions (MM,, NN,) du problème.
IV. On donne deux ponctuelles projectives «, u', trouver deux segments correspondants AM, A' M', comptés à partir de deux points correspondants donnés A, A', dont le rapport AM : A'M' = >. soit donné.
Soient A et A', B et B', C et C trois couples de points correspondants de M, u' ; prenons sur u deux nouveaux points B", C", tels que AB" ='kA'B',
l8{ GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
AC"= XA'C Les points A, B", C",..- déterminent une ponctuelle semblable à A'B'C... (73) et, par suite, projective à ABC Les ponctuelles projectives superposées AB"C"..., ABC... ont déjà un point uni A; l'autre point uni M résoudra le problème, car on aura
