AM = AM" = >A'M

Ce problème est du premier degré.

V. On donne deux ponctuelles projectives superposées ABC..., A'B'C'..., trouver un segment MM' qui ait pour point milieu un point donné 0.

Prenons les points A', B", C", de manière que 0 soit le point milieu des segments AA", BB", CC"; les points A", B", C",. . . déterminent une ponctuelle égale à ABC. . . et, par suite, projective à A'B'C Construisoftg

les points unis des ponctuelles projectives superposées A'B'C'..., A"B"C". . .; si M' ou M" est un des points unis, 0 sera le milieu du segment MxM'.

VL On donne un segment EF, trouver sur EF deux points M, M' tels, que le segment MM' soit égal à un segment, donné et que le rapport anharmonique (EFMM') soit égal à un nombre donné.

Prenons sur la droite donnée trois points quelconques A, B, C; puis déterminons les trois points A', B', C, de manière que les rapports anharmoniques (EFAA'), (EFBB'), (EFCC) soient tous égaux à celui qui est donné, et les trois points A", B", C", de manière que les segments AA", BB", CC" soient égaux au segment donné. Alors (61, 83) les ponctuelles ABC..., A'B'C... seront projectives, les ponctuelles ABC..., A"B"C"... le seront aussi (77); donc les ponctuelles A'B'C..., A"B"C"... seront projectives. Si elles ont des points unis, soit M' ou M" l'un d'eux, et soit M le point qui lui correspond dans la ponctuelle ABC. . ., le segment MM' et le rapport anharmonique (EF^LM') auront les valeurs données, et le problème sera résolu.

VIL Inscrire, dans un triangle donné PQR, un rectangle ayant une

aire donnée [fi^. iSg).

Fie- '"'O.

p tTI? u e ' Q

Soit MSTU le rectangle cherché; menons MS' parallèle à PR, nous au-

PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. î 85

rons le parallélogramme MSPS' équivalent au rectangle; nous pourrons donc transformer le problème en celui-ci :

Trouver sur QR un point M tel, qu'en tirant MS, MS' parallèles respectivement à PQ, PR, nous ayons PS. PS' égal à un carré donné Â^

Prenons un point A quelconque sur QR ; tirons AD parallèle à PQ, et prenons sur PQ le point D', tel que PD.PD'= P, puis menons D'A' parallèle à PR. Si les points A et A' coïncidaient, le problème serait résolu.

En faisant varier simultanément les points A, D, D', A', ils décriront autant de ponctuelles projectives. En effet, comme D est la projection de A faite du point à l'infini de PQ, et A' la projection de D' du point à l'infini de PR, la deuxième ponctuelle est perspective de la première, et la quatrième de la troisième. La deuxième et la troisième sont projectives, car la relation