QA.RA'=QR.RR

et, par suite, si M est un point uni,

QM.RM= QR.RB',

d'où nous pouvons tirer les points unis; mais il sera toujours plus simple

(') En nommant u, u' les deux ponctuelles, si l'on se reporte à la construction du n° 67, à gauche, on voit que la ponctuelle auxiliaire u" est tout entière à l'infini. 11 s'ensuit qu'après avoir obtenu un couple de points correspondants D, D', pour trouver le point E' correspondant à un autre point E de PRs^ u, il suffit de joindre D'E, puis de tirer DE' parallèle à D'E.

l86 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

de recourir à la construction générale du n° 162, c'est-à-dire de mener, par un point 0 quelconque d'une circonférence, les droites OB, OB', OR, OQ et la parallèle à QR qui coupent de nouveau le cercle en B,, B', , R, , Q,, I (') ; puis joignons le point commun à B, Q,, B', I au point commun à B, I, B', R, ; si cette droite coupe le cercle en deux points, les droites qui les projettent du point 0 rencontreront QR aux points unis cherchés M, N, qui résolvent le problème.

VIII. Construire un polygone dont les côtés passent respectivement par autant de points donnés, et dont tous les sommets moins un sont sur autant de droites données, tandis que l'angle au dernier sommet est égal à un angle donné.

Qu'il s'agisse, par exemple, de construire un triangle LMN [fig. i6o), dont les trois côtés MN,NL, LM doivent passer respectivement par 0, V, U,

Fig. i6o.

et dont les deux sommets M, N doivent se trouver sur les droites «, v. Menons par 0 une droite quelconque qui coupe u en A, v en B, et par U la droite UX qui forme avec BV un angle égal à l'angle donné. Soit A' le point où u est coupé par UX, le problème serait résolu si les points A, A' coïncidaient. On obtiendra les solutions du problème en construisant les rayons unis des faisceaux projectifs engendrés par la variation simultanée des droites OA^A'. "X/A^ IX. Le problème suivant est compris dans le précédent : Un rayon de lumière part d'un point donné 0 et se réfléchit successivement sur n droites données u^^u^,...^ u„; déterminer la direction qu'il faut donner au rayon initial pour que le dernier rayon réfléchi le coupe sous un angle donné.

En effet, d'après la loi de la réflexion, si le rayon incident OA, {^g. i6i) rencontre u^ en A,, le rayon réfléchi et le rayon incident feront des angles égaux (opposés) avec n^ ; par suite, comme le rayon incident passe par le

(') De ces points I seul est représenté dans la figure.

PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. 187

point fixe 0, le rayon réfléchi passera constamment parle point 0, symétrique de 0 par rapport à z/, ('). De la môme manière, quand le premier

Fig. i6i.

rayon réfléchi aura rencontré u.^ en A^ , il se réfléchira suivant la même loi; par suite, le second rayon réfléchi passera par un point fixe O2 symétrique de 0, par rapport à w^, et ainsi de suite. Le rayon initial et les n rayons réfléchis successifs seront donc les côtés d'un polygone A, A^ A3. . ., dont n -+- 1 côtés doivent passer par autant de points donnés 0, 0,, O2, . . . , 0„, tandis que l'angle A doit être égal à un angle donné et que les sommets des n autres angles doivent tomber sur n droites données w,, u.^,..., «„.

X. Pro^/è/;?^. — Construire un polygone dont les sommets se trouvent sur des droites données et dont les côtés soient vus sous des angles donnés de points donnés.

Supposons qu'il s'agisse de construire un triangle dont les sommets i, 2, 3 doivent tomber sur des droites données w,, ^^2, u^ et dont les côtés 23, 3i, 12 soient vus sous des angles donnés w^, w^, W3 des points donnés S,, S^, S3. Prenons un point A quelconque sur u^ [fig. 162) ; menons AS3, faisons l'angle AS^B égal à W3. Le deuxième côté de cet angle coupe u.^ en B. Faisons l'angle BS,G égal à w,. Soit C le point commun au deuxième côté de cet angle et à ^^3, et faisons l'angle C^SA' égal à w.,. Le problème serait résolu si le deuxième côté S2A' coïncidait avec S, A. Si nous faisons pivoter S2 A autour de S2, les autres rayons S3 A, S3 B, S, B, S, C, S2 C, S2 A' varient en même temps et engendrent autant de faisceaux, tous projectifs entre eux. En effet, les faisceaux engendrés par S3 A, S2B sont projectifs (82), parce que l'angle AS3B est constant; les faisceaux engendrés par S3B, S,B sont projectifs, puisqu'ils sont perspectifs, et ainsi de suite. Les solutions du problème seront donc données par les

( ' ) C'est-à-dire un point O^ tel que 00^ soit perpendiculaire à u^ et divisé en deux parties égales par cette droite.

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

rayons unis des faisceaux projectifs concentriques engendrés par S, A, s, A'.

Le problème se résout de la môme manière si les angles en Sj, S,, au lieu d'être égaux à des angles donnés, doivent être divisés par des couples

Fig. 1G2.

de droites données, telles qu'en chacun de ces points on ait un faisceau de quatre rayons ayant un rapport anharmonique donné. Si, pour chacun des points donnés S,, S,,. . ., le faisceau doit ôtre harmonique, et si les rayons donnés sont orthogonaux, le problème peut s'énoncer ainsi (52) :

Construire un polygone dont les sommets tombent sur des droites données et dont les côtés soient vus de points donnés sous des angles ayant des bissectrices données.