XI. La môme méthode donne la solution du problème

Construire un polygone dont les côtés passent par des points donnés et dont les angles divisent des segments donnés suivant des rapports anharmoniques donnés (').

On obtient des cas particuliers de ce problème en supposant que chaque angle doive intercepter sur une droite donnée un segment donné de grandeur et de direction, ou un segment qui soit divisé par un point donné en deux parties ayant un rapport donné (^).

186. Il résulte des n"» 160, 161 que, si S est un point quelconque ifig. 128, i3i) du plan d'une conique, et si Ton mène

(•) C'est-à-dire los côtés d'un angle doivent rencontrer une droite donnée, sur laquelle il y a deux points fixes A, B, en deux autres points C, D, de manière que le rapport anharmonique (ABCD) soit un nombre donné.

(') Ces problèmes sont extraits de Chasles, Géom. sup., p. 219-223, et de TowNSEND, Chapter on the modem Geometrj (Dublin, i865), t. 11, p. 257-274.

par ce point autant de transversales qu'on voudra coupant la courbe aux couples de points (A, A'), (B, B'), (C, C'),..., les couples de tangentes {a, a'), (b, b'), {c,c'),... se coupent aux points d'une droite fixe 5, qui contient les points de contact des tangentes issues de S; en outre, les couples de droites AB' et A'B, AC et A'C,..., BC etB'C,..,, AB et A'B', AC etA'C',..., BCetB'C^... se coupent en des points de s. On peut remarquer une autre propriété de la droite a^ : considérons le quadrangie complet AA'BB'; les deux côtés opposés AA', BB' sont coupés harmoniquement par le point diagonal S et par la droite s qui joint les deux autres points diagonaux (i9); donc les points A et A' (de même que B et B', C et C, . . . ) sont séparés harmoniquement par S et s.

La droite s, ainsi déterminée par le point quelconque S, est dite polaire de S par rapport à la conique ; et réciproquement, S est dit pôle de la droite s.

Donc la droite polaire d'un point donné S est en même temps : 1° le lieu du point de concours des couples de tangentes dont les points de contact sont en ligne droite avec ^\i'' le lieu des points de concours des couples de côtés opposés de tout quadrangie inscrit dont les diagonales passent par S; 3"" le lieu d'un point séparé harmoniquement de S par deux points de la conique (').

187. Béciproquement, une droite s donnée arbitrairement détermine un point S, dont elle est la polaire. En effet, soient A, B deux points pris au hasard sur la conique; les droites a, 6, tangentes en A, B, couperont s en deux points d'où l'on peut mener les secondes tangentes a\ b'; soient A', B' leurs points de contact et S le point d'intersection de AA', BB'. Alors la polaire de S renfermera les points aa', bb' : elle coïncidera donc avec s. Donc, si d'un point quelconque de s on peut mener deux tangentes c, e' à la conique, la droite CC qui joint leurs points de contact passera par S.

I. Les droites a, a', h, b' forment un quadrilatère circonscrit

(«) Apollosics, loc. cit., liv. VIÏ, 37. — Desargues, loc. cit., p. 1G4 et suiv, Br LA. HiRE, loc. cit., liv. I et II.

190 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

dont s est une des diagonales; ses deux autres diagonales se coupent en S (135); donc, si d'un point quelconque de s on mène deux tangentes à la conique, elles sont séparées liarmoniquement par s et une droite qui passe toujours par S.

II. Le quadrangle complet AA'BB' et le quadrilatère complet aa'bh' ont le même triangle diagonal (132), dont les sommets sont S, le point commun à AB et A' B', et le point commun à AB', A'B; ses côtés sont 5, la droite qui joint les points ab, a'h', et la droite qui joint les points ab' , a'b. Donc, si de deux points de la droite s on mène les couples de tangentes [a, a'), {b, b')y les diagonales du quadrilatère circonscrit aba'b' passent par le point S. On peut se reporter, par exemple, à \2ijig. petf, en imaginant qu'on ait mis les lettres S, A', B', a', b' au lieu de E, D, C, d, c, ou bien les lettres S, A', B, B', a\ by b' au lieu de G, B, C, D, b, c, d,

188. Ainsi, une conique étant donnée^ tout point du plan a sa polaire, toute droite a son pôh{^). La conique donnée, par rapport à laquelle on considère les pôles et les polaires, s'appelle conique fondamentale.

I. Si l'on peut mener deux tangentes à la courbe par un point du plan d'une conique, ce point est dit extérieur à la courbe; il est intérieur si l'on ne peut mener aucune tangente. Donc :

Si le pôle est extérieur à la conique (160), la polaire coupe la courbe (aux points de contact des tangentes issues du pôle).

Si le pôle est intérieur à la courbe, la polaire ne coupe pas la conique.

II. Si l'on prend comme pôle un point de la conique et si l'on fait pivoter une transversale autour de ce point, un des points d'intersection se confond toujours avec le pôle, et, comme le point de concours des couples de tangentes en ces points doit engendrer la polaire et que la tangente au pôle est fixe, la polaire d'un point de la conique est la tangente en ce point; ou, si le pôle est un point de la conique, la polaire est la tangente en ce point.

) Desargues, loc. cit., p. 190.

III. Réciproquement, si tous les points de la polaire sont extérieurs à la conique, le pôle est un point intérieur; si la polaire est une sécante de la courbe, le pôle est le point commun aux tangentes aux deux points d'intersection; et si la polaire est une tangente, le pôle est le point de contact.

189. Soient E le pôle et F un point de la polaire [fig. io8). Si la droite EF coupe la conique, les deux intersections seront séparées harmoniquement par les points E, F (par suite, un de ces points sera intérieur, l'autre extérieur à la courbe), de sorte que, si nous considérons F comme pôle, E sera un point de la polaire.

Si la droite EF ne coupe pas la conique, la corde de contact des tangentes issues de E passera en F, car cette dernière corde est la polaire de E. Donc :

Si F est un point de la polaire de E, réciproquement E est un point de la polaire de F.

On peut exprimer le même théorème en disant :

Sif est une droite qui passe par le pôle d'une autre droite e, réciproquement e passera par le pôle de f.

En effet, soient E, F les pôles respectifs de e,/; comme, par hypothèse, E est situé sur la polaire de F, F sera aussi sur la polaire de E, c'est-à-dire que e passera par F, pôle de/.

Deux points, tels que E et F, dont l'un est sur la polaire de l'autre, sont dits conjugués pu réciproques par rapport à la conique. On appelle aussi conjuguées ou réciproques deux droites telles que e et /, dont l'une passe par le pôle de l'autre.

On peut donner cet autre énoncé du dernier théorème démontré :

Si deux points sont réciproques^ leurs polaires sont aussi réciproques, et vice versa.

190. Le même théorème peut encore se mettre sous cette autre forme :

Tout point de la polaire d'un point E a pour polaire une droite qui passe par E ;

GÉOMÈTRIE PUOJECïlVI'.

Toute droite qui passe par le pôle d'une droite donnée e a pour pôle un point de e (').

Cela revient à dire : Si nous imaginons qu'un pôle variable F parcourt une droite donnée e, la polaire de F passera toujours par un point fixe E, qui est le pôle de la droite donnée; et réciproquement, si une droite/tourne autour d'un point fixe E, le pôle de /décrira une ligne droite e, qui est la polaire du point donné E.

Ou encore : Le pôle d'une droite donnée e est le centre du faisceau des polaires de ses points, et la polaire d'un point donné E est le lieu des pôles des droites qui passent par E ( =).