Étant donné un pôle S, construire sa polaire
1. Si l'on connaît cinq points A,B, C, D, E de la conique, il suffira de tirer deux transversales SA, SB et de construire les points A', B', où elles coupent de nouveau la courbe.
La droite .s-, qui joint le point commun à AB', A'B au point commun à AB, A'B', sera la polaire du point donné (169) (/g-. i63).
II. Supposons la conique déterminée par cinq tangentes <?, h^ c, d^ e
(') Desargues, loc. cit., p. 191.
(*) PoNCELET, loc. cit., n" 195.
Étant donnée une droite ^, construire son pôle.
Si Ton connaît cinq tangentes a, b, c, <-/, e de la conique, il suffira de mener par les points sa^ sb les secondes tangentes a', b' (124, à gauche). Les diagonales du quadrilatère nba'b' se couperont en un point S qui est le pôle de la droite donnée [Jig. 164).
Fig. i6/|.
Supposons la conique déterminée par cinq points A, B, C, D, E
[Jîg. i65). Menons par S deux transversales u^ f, et construisons leurs pôles U, V; la droite UV sera la polaire de S (190). Pour plus de
Fig. i65.
simplicité, il conviendra de mener la transversale u par le point ah; après avoir tracé la tangente c' qui passe par le point «c, le pôle U sera le point commun aux diagonales du quadrilatère acbc'. De même, après avoir mené la transversale v par le point ac, par exemple, et construit la tangente b' qui passe par le point vb , le pôle V sera le point commun aux diagonales du quadrilatère abcb'.
[fg. 166). Prenons deux points U, V sur s et construisons leurs polaires ?/, V. Le point in> sera le pôle de s (190). Pour plus de simplicité,
OE
CD
il conviendra de prendre le point U sur la droite AB; après avoir construit l'intersection C de la conique avec la droite UC, la polaire u sera la droite qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrangle ACBC. De môme , V étant un point de la droite AC, par exemple, après avoir construit l'intersection B de la conique et de VB, la polaire v sera la droite qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrangle ABCB'.
192. Soient E, F deux points réciproques [fig. 108), G le pôle de la droite EF; G sera un point réciproque de E ainsi que de F, c'est-à-dire que les trois points E, F, G sont réciproques deux à deux. Il en résulte que chacun des côtés du triangle EFG est la polaire du sommet opposé, et que les trois côtés sont deux à deux des droites réciproques.
194 GÉOMÉTllIE PROJECÏIYE.
Un triangle, lel queEFG, dans lequel chaque sommet est le pôle du côté opposé, est nommé triangle conjugué à la conique.
193. Pour construire un triangle conjugué, on peut prendre arbitrairement un sommet E [fig. io8); construire la polaire de E, prendre sur cette droite un point quelconque F, et enfin construire la polaire de F. Elle passera par E, parce que les points E, F sont réciproques. Soit G le point oii se coupent les polaires de E, F; EG, FG seront des couples de points réciproques : donc EFG est un triangle conjugué.
En d'autres termes, E étant un point quelconque, tirons par E deux transversales quelconques qui coupent la conique en A et D, B et C. Soient F le point de concours de AG, BD; G le point de concours de AB, CD ; EFG sera un triangle conjugué.
On pourrait, au contraire, prendre arbitrairement une droite <?, en construire le pôle E, mener par E une droite quelconque/, joindre les pôles de ^, /par la droite g^ et le triangle efg sera un triangle conjugué, car les droites ^, / g sont réciproques deux à deux.
Après avoir pris arbitrairement une droite ^, on peut mener les couples de tangentes « et c?, è et c de deux de ses points; si /joint les points ac^ bd, et g les points ab^ cd, le triangle cfg sera conjugué.
