Ce qui précède met en évidence la propriété suivante

I. Les points diagonaux du quadrangle complet formé par quatre points quelconques d'une conique sont les sommets d'un triangle conjugué. Les droites diagonales du quadrilatère complet fonné par quatre tangentes quelconques à la conique sont les côtés d'un triangle conjugué ( ' ).

Ou aussi :

Les points diagonaux d'un quadrangle complet sont les sommets d'un triangle conjugué à toutes les coniques circonscrites au quadrangle. Les droites diagonales d'un quadrilatère complet sont les côtés d'un triangle conjugué à toutes les coniques inscrites au quadrilatère.

II. Des propriétés des quadrilatères circonscrits et des quadrangles inscrits (129-13o) on conclut, en outre [fg.io^), que :

Si EFG est un triangle conjugué à une conique donnée et si ABC est un triangle inscrit dans la môme courbe, dont deux côtés passent respective-

(') Desargues, loc. cit., p. i8G.

PÔLES ET POLAIRES. ig5

ment par les sommets G, F, le troisième côté BG passera par le troisième sommet E, et chaque côté du triangle inscrit sera divisé harmoniquement par le sommet correspondant du triangle conjugué et par la droite qui joint les deux autres sommets.

Les trois droites EA, FB, CG concourront en un point D de la courbe : il en résulte que les deux triangles sont homologiques; par suite, les trois couples de droites FG et BG, GE et GA, EF et AB se couperont en trois points en ligne droite.

Nous laissons à l'élève le soin d'énoncer la propriété corrélative (' ).

195. Des trois sommets du triangle EFG, un est toujours intérieur à la courbe et les deux autres extérieurs. En effet, si E est un point intérieur, la polaire de E ne coupe pas la conique ; par suite, F et G sont des points extérieurs ; et, si E est un point extérieur, la polaire de E coupe la courbe, les points d'intersection sont séparés harmoniquement par F et G : donc l'un de ces points sera intérieur, l'autre extérieur.

De cette propriété et de celle du n° 188 nous concluons que, des trois côtés d'un triangle conjugué, deux coupent toujours la courbe et un ne la rencontre pas.