Supposons que deux quadrangles complets ABCD

Fig. 167.

A'B'C'D' aient les mêmes points diagonaux EFG, c'est-à-dire

que

BC, AD, B'C', A'D' concourent en E, CA, BD, C'A', B'D' » en F,

AB, CD, A'B', CD' » en G.

(') PONCELET, loc. Cit., p. lo/f.

igô

GÉOMÉTRIE PUOJECÏIVE

Si le point A se trouvait, par exemple, sur AB, comme A'B' et AB passent par G, B' serait aussi sur AB; et comme AB, ou A'B', doit être séparée harmoniquement de CD et aussi de CD' par les droites GE, GF, les points C, D, C, D' seraient sur une même droite, ce qui revient à dire que les huit points A, B, C, D, A', B', C', D' seraient sur deux droites {fig. 167).

Excluons ce cas, c'est-à-dire, supposons qu'on puisse tracer une conique par les cinq points A, B, C, D, A' ; je dis que les points B', C, D' se trouvent aussi sur cette conique {fig. 168).

En effet, G étant le pôle de EF ( puisque E, F, G sont les points diagonaux du quadrangle inscrit ABCD), les deux intersections de la conique et de la transversale G A'B' seront séparées harmoniquement par le pôle G et la polaire EF ; mais une de ces intersections est A' : donc l'autre est B'; car, E, F, G étant les points diagonaux du quadrangle A'B' CD', les points A', B' sont séparés harmoniquement par G et EF. On démontre de la même manière que les points C, D' appartiennent à la conique.

Donc :

Si deux quadrangles complets ont les mêmes points diagonaux, les huit sommets sont ou sur deux droites ou sur une conique.

Comme les droites AB, A'B' concourent en G, les droites AA', BB', ainsi que les droites AB', A' B, se couperont sur EF, pola'ire de G. Celte observation donne la manière de construire le point B', quand on donne les points A, B, C, D, A'. Le

lOLES ET POLAIRES. I97

point C s'obtiendra ensuite comme intersection des droites A'F, B'E, elle point î)' comme intersection de B'F, A'E, C'G.

197. Je suppose maintenant que deux coniques aient quatre tangentes communes a, b, c, d, c'est-à-dire, soient inscrites dans le même quadrilatère. Soient x\, B, C, I) les quatre points de contact pour l'une, A', B', C, 1)' les quatre points de contact pour l'autre. En vertu du théorème du n*' 132, le triangle formé par les diagonales du quadrilatère circonscrit abcd^urà pour sommets les points diagonaux du quadrilatère inscrit ABGD, et aussi les points diagonaux du quadrangle A'B'C'l)'; donc les quadrangles ABCD, A'B'C'D' ont les mômes points diagonaux. Par suite, d'après le théorème qui précède (196), les huit points A, B, C, T), A', B', C', D' sont tous ou sur deux droites ou sur une conique.

198. En échangeant, comme à l'ordinaire, les points avec les droites, nous pourrons démontrer les propositions corrélatives, c'est-à-dire :

Si deux quadrilatères complets ont les trois diagonales cornmuneSf les huit côtés ou passent par deux points {quatre par l'un et quatre par l'autre) ou sont tangents à une même conique.

Si deux coniques se coupent en quatre points, les huit tangentes en ces points ou passent toutes par deux points (quatre par l'un et quatre par l'autre) ou sont tangentes à une même conique [').

199. Si l'on donne les points diagonaux E, F, G et un sommet A d'un quadrangle ABCD, le quadrangle est entièrement déterminé, et l'on peut le construire. En effet, D est le point de AE qui est séparé harmoniquement de A par E et FG; de même, C est le point de AF qui est séparé harmoniquement de A par F et GE, et B est le point de AG qui est séparé harmoniquement de A par G et EF.

Comme, d'autre part, quand on a une conique et un triangle conjugué EFG, on peut prendre arbitrairement sur la courbe

C) Staudt, loc. cit., n» 293.

igH GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

un point A comme sommet d'un quadrangle inscrit ABCD, ayant pour points diagonaux V, T, G (les autres sommets B, C, I) sont les secondes inteiseclions de la conique et des droites AE, AF, AG), il en résulte que :

Toutes les coniques qui passent par un point donné A, et pour lesquelles un triangle donna. EFG est conjugué, passent par trois autres points déterminés B, (], 1).

200. Le prohlèmc : u Conslruiro la conicpic (pii pas<o par deux points donnés A, A', et pour laquelle lo trianj;le donné EFG soit un Irian.^le conjugué », se résout de la nianièro suivante :

On construira , comme nous l'avons dit , les trois points B, C, D qui , avec, A, forment un cpiadranglo complet ayant les points E, F, G pour points diagonaux. On connaîtra alors cinq points A, A', B, C, D de la courbe; on pourra donc en trouver d'autres au moyen du théorème de Pascal. On pourrait aussi construire les trois points B', C, D'qui, avec A', forment un quadrangle ayant E, F, G pour points diagonaux; et les huit points A, B, ('., n, A', B', C', D' appartiendraient »\ la conique cherchée.

201. Supposons qu'il s'agisse do décrire une conique tangente à quatre droites données, qui passe par un point donné S [fg. 1G9}. Les diagom\los du quadrilatère ahcd forment un triangle EFG conjugué à la conique; par suite, si Ton construit les trois points P, 0» B qui, avec S, forment un iiuadrangle ayant pour points diagonaux E, F, G, les trois

Fig. 169.

points ainsi construits appartiendront aussi à U c^xniqii» dwawBdlée. Jlais il peut arriver qu'aucune conique ne satisfasse à la qoe&tWn^ o«i qiu'il y «a ait deux qui y satisfassent (HO, à droite); do«c> daims c^ s«««iBWil ««»,

PÔLES £T POLAIRES. igg

comme la construction des points P, Q, R est linéaire, les deux coniques passeront par ces points. Ou :

Si deux coniques inscrites dans un même quadriUiière abcd ont un point commun S, elles se coupent en trois autres points P, Q, R; et le triangle formé par les diagonales du quadrilatère circonscrit abcd coincide avec celui que forment 1rs points difrgonaujc du quadrangle inscrit PQRS.

Pour la construction des points P, Q, R, du point P, par exemple, qui se trouve sur la droite ES [fîg, 157), j'observe que les points P, S doivent être séparés harmoniquement par E et FG; mais la diagonale [ab] [cd\^ qui passe par E, est aussi divisée harmoniquement en E, F: nous avons donc deux formes harmoniques qui sont perspectives à cause du point uni E; par suito, les droites P(«6), S(crf), FG, qui joignent les autres couples de points correspondants, concourront en un même point (43, 62). Il fiuidra donc joindre S à une extrémité d'une des diagonales qui passent par E, au point cdy par exemple; cette droite rencontrera FG en un point que l'on joindra à Tautre extrémité de la même diagonale, c'est-à-dire au point nb^ par une droite qui coupera £3 au point cherché P (').

202. Les propositions corrélatives sur lesquelles l'élève fera bien de s'exercer sont les suivantes :

Toutes les coniques tangentes à une droite donnée, pour

lesquelles un triutii^le donné est un triangle conjugué^ sont

taiii^enft's ù /rois autres di-oites déterminées^

(AUislruiro la conique qui soit tangente à deux droites données, et pour laquelle un triangle donné est un triangle conjugué.

Si deux coniques ciixionscrites à un même qu€uirangle ont une taui^enle commune, elles ont aussi trois autrts tangetUes communes,

('onslniiro los ln>is (nui^ontos romnninos aux deu\ oouiquos ■• • • -;<,•: par »iuatro points donnôs vl sont langonlos à une droite doiiiico ,i:o. a gauclio).

"liYA. Soil ui\ (lu.hlrau.'Jc i\mui^1o( AUrP. dont h's ;,ux

^oul E, F, (i [Ji:;. 1 .»'. Sou>iil aussi

1 . l' li's points où K(J iHMipo Vl>, lU'. M. 0 >^ lîK " lîP. ('V.

aN,K » V.V - U>, Aa,

(>) «luvMuoN. /♦><?. e«^, p. .V*f'— Macuciun^ ùê Hhs C^m.^ $ 4I

GÉOMÉTRIE niOJECTIVE.

Les six points ainsi obtenus sont les sommets d'un quadrilatère complet; en efTet, le triangle EFG est homologique à chacun des triangles suivants : ABC, DCB, CDA, BAD; les centres d'homologie sont respectivement D, A, B, G. Il s'ensuit que les ternes de points PQR, PMN, LQN, LMR sont sur autant de droites (axes d'homologie).

Ces quatre droites forment un quadrilatère dont les diagonales LP, MQ, NU forment le triangle EFG. Il en résulte que la conique inscrite dans le quadrangle ABCD et passant par L passe aussi par N, P, R (201); il y a, do même, une conique inscrite dans le quadrangle ABDC qui passe par R, M, N, Q, et une autre, inscrite dans le quadrangle ACBD, qui passe par 0, P, M, L.

Peur chacune de ces coniques, les quatre tangentes données par la figure (les q-uatre côtés du quadrangle complet ABCD) sont harmoniques; par suite, les quatre points de contact le sont aussi (ill, 161). En effet, si nous considérons un côté quelconque de ce quadrangle, AB par exemple, il est divisé harmoniquement aux points R, G (cela se déduit de la considération du quadrangle complet CDEF) ; les points A, B, G sont les intersections do la tangente AB avec les trois autres tangentes, landis que R est le point de contact de la première tangente ; donc les quatre tangentes seront coupées par une autre tangente quelconque de la conique considérée en quatre points harmoniques (').

Si ABCD est un parallélogramme, les points E, G, M, Q passent à l'inlini , et LNPR devient aussi un parallélogramme. Des trois coniques que nous venons de rencontrer, la première sera, dans ce cas, une ellipse tangente aux côtés du parallélogramme ABCD en leurs points milieux; la seconde, une hyperbole tangente aux côtés AB, CD en leurs points milieux et ayant pour asymptotes AC, BD; la troisième, une hyperbole ayant les mêmes asymptotes et tangente aux côtés AD, BC en leurs milieux.

(•) Steineu, loc. cit., p. iGo; Staidt, Beitràgc zur Géométrie dcr Loge (Nuremberg, i8jG, p. 57, Go), n« 329.

20i. Du corollaire du théorème de Brianchon, relatif à un quadrilatère circoiiscrit (135), nous avons déjà déduit (136) la règle pour construire les tangentes d'une conique dont on connaît trois tangentes a, b, c et deux points de contact B et C {/ig, io8). Joignons un point quelconque E de BC aux points ab, ac; ces droites g-, /rencontreront respectivement c, b en deux points par lesquels il suffira de faire passer une droite pour avoir une tangente d de la conique.

Les quatre tangentes a, b, c, d forment un quadrilatère complet, dont deux diagonales g^{ab) {cd), f^-{ac){bd) concourent en E; donc (135) la corde de contact AD des tangentes a, d coupera aussi BC en E. Les droites menées par E et par les points ab, ac, étant deux diagonales du quadrilatère abcdy sont des droites réciproques; donc {fig. 171) :

iMg. 171,

Si un triangle abc est circonscrit à une conique, les droites qui joignent un point quelconque E de la polaire d'un sommet 6c aux deux autres sommets («6), (rfc) sont des droites réciproques.

Ou réciproquement : Si deux droites sont tangentes à une conique, deux droites réciproques issues d'un point quelconque de la corde de contact coupent les deux tangentes données en des points qui appartiennent à une troisième tangente.

205. Nous allons exposer maintenant la propriété corrélative. Supposons que l'on donne trois points A, B, C d'une conique, et les tangentes b, c en deux de ces points [fig. 108). Une droite e, tracée arbitrairement par le point 6c, rencontre

GÉOMÉTIIIK PROJECÏIVE.

AB, AG en deux points G, F; les droites GC, FB se coupent en un point D de la conique.

Les quatre points A, B, C, D forment un quadrangle complet dont deux points diagonaux sont sur e; donc (129) le point bc et le point commun aux tangentes en A, D tomberont sur e (129). Les points G, F étant deux points diagonaux du quadrangle ABCD sont réciproques; donc (Jig. r%^ : /?0

Si un triangle ABC est inscrit dans une conique, les points F, G, où deux de ses côtés sont coupés par une droite quelconque menée par le pôle S du troisième côté, sont réciproques.

Ou réciproquement : Si l'on joint deux points donnés sur une conique à deux points réciproques en ligne droite avec le pôle de la corde qui joint les points donnés, ces droites se coupent sur un point de la courbe,

§ XXL — Centre et liamètre.

206. Prenons comme pôle un point à distance infinie ifiS' ^7^) Gt menons par ce pôle une transversale qui coupe la conique en deux points A, A'. Le segment AA' sera divisé harmoniquement par le pôle et un point de la polaire (186); le point de la polaire sera donc le milieu de AA'; cela revient à dire :

Fi{ï. 172.

Si, dans une conique^ on mène autant de cordes que l'on voudra parallèles entre elles, le lieu de leurs points milieux est une droite qui est la polaire du point à V infini commun aux cordes (').

(*) Apollonius, Conic, liv. I, /|6, /Î7, ^8; liv. ïl, 3, C, 7, '^8,29, 3o, 3r,3'f-37.

CEKTUE ET DIAMÈTRE. 2o3

On donne à celle droite le nom de diamètre relalif aux cordes qu'il divise par moitié. Si le diamètre rencontre la conique en deux points, ils seront les points de contact des tangentes dirigées vers le pôle, c'est-à-dire, des tangentes parallèles aux cordes divisées en parties égales. Si l'on mène les tangentes aux extrémités A, A' d'une de ces cordes, elles concourent en un point du diamètre. Si AA', BP/ sont deux des cordes divisées en parties égales, les droites AB, A'B', ainsi que les droites AB', A'B, se couperont sur le diamètre (186).

Réciproquement, si d'un point du diamèire on peut mener deux tangentes a, a' à la conique, la corde AA' de contact sera divisée en parties égales par le diamètre; et si l'on mène par ce point une droite qui, avec le diamètre, sépare harmoniquement les deux tangentes, cette droite sera parallèle aux cordes coupées en deux. Si l'on mène deux couples de tangentes a et «', h et h' de deux points du diamètre, la droite qui joint les points ab, a'h' et la droite qui joint les points ah', a'b seront aussi parallèles aux cordes divisées en parties égales (187).

207. A tout point à l'infini, c'est-à-dire à tout faisceau de cordes parallèles, correspond un diamètre. Tous les diamètres passent par un même point, parce qu'ils sont les polaires des points d'une même droite, la droite de l'infini; le point de concours des diamètres est le pôle de la droite de l'infini (190).

208. Comme la droite à l'infini est tangente à la parabole et que le point de contact est le pôle de cette droite (188), tous les diamètres de la parabole sont parallèles entre eux (ou dirigés vers le point de l'infini); et réciproquement toute droite qui coupe la parabole à l'infini est un diamètre.

209. Si S est un point quelconque d'où l'on peut mener deux tangentes a, a' à la conique {fig-'^l'^), la corde de contact AA', ou la polaire de S, sera divisée en deux parties égales en R par le diamètre qui passe par S; car S et le point à l'infini de AA' sont des points réciproques. Si le diamètre coupe la courbe en M, M', les tangentes en ces points sont

204 GÉOJIÉTKIE PllOJECTIVE.

parallèles à AA', el ces mêmes points sont séparés harmoniquement par le pôle S et la polaire AA' (18G). Donc, si la conique est une parabole [fg. lyS), auquel cas

l'ig. 173.

Xlc:

le point M' passe à l'infini, le point M sera le milieu du segment SR, ou :

La droite qui va du point milieu d'une corde de la parabole à son pôle est divisée en deux parties égales par la courbe ( ' ).

210. Quand la conique n'est pas une parabole, la droite à l'infini n'est plus une tangente de la courbe; par suite, le pôle de celte droite, ou le point de concours des diamètres, est un point à dislance finie. Comme deux points de la conique en ligne droite avec le pôle sont toujours séparés liarmoniquement par le pôle et par la polaire (186), le pôle est le point milieu des deux points de la courbe, quand la polaire est à l'infini. Donc toute corde de la conique qui passe par le pôle de la droite à l'infini est divisée en parties égales par ce point.

C'est à cause de celle propriété qu'on a donné le nom de centre de la conique au pôle de la droite à l'infini, ou au point de concours des diamètres.

En appliquant au centre et à la droite à l'infini les propriétés générales du pôle et de la polaire (180, 187), nous aurons {fi g, 174) :

Si A, A' sont deux points de la conique en ligne droite avec le centre, les tangentes en A, A' sont parallèles;

Si AA', BB' sont deux couples de points de la conique alignés sur le centre, les droites AB, A' B' sont parallèles, les

(*) Apollonius, loc. cit., liv. I, 33.

CENTRE ET DIAMÈTRE. 9.o5

droites AB', A'B sont aussi parallèles, et la figure ABA'B' est un parallélogramme.

Fig. 174.

Si «, o! sont deux tangentes parallèles, leur corde de contact et la droite qui divise en deux parties égales la bande aa' passent par le centre.

Si ao! , hh' sont deux couples de tangentes parallèles, la droite qui joint les points ah, dh' et la droite qui joint les points ah\ o!h passent par le centre; cela revient à dire que, si aha'h' est un parallélogramme circonscrit, ses diagonales se coupent au centre.

211. Si la conique est une hyperbole, la droite à l'infini coupe la courbe; par suite, le centre est un point extérieure la courbe (188) où concourent les tangentes aux points à l'infini, c'est-à-dire les asymptotes [fi^. 181).

Si la conique est une ellipse, la droite à l'infini ne rencontre pas la courbe, par suite le centre est un point intérieur à la

courbe (/g-. 174. i 75 ).

Fig. 175.

212. Deux diamètres de la conique [ellipse ou hyperbole ( ' )]

(') Il n'y a pas de couples de diamètres conjugués dans la parabole, parce que, le centre étant un point à l'infini, le diamètre parallèle aux cordes divisées en parties égales par un diamètre donné coïncide toujours avec la droite do l'infini.

2o6 GÉOMÉTRIE TROJECTIVE.

sont dits conjugués s'ils sont des droites réciproques, c'eslà-dire si le premier passe par le pôle du second et si, par conséquent, le second passe par le pôle du premier (189). Comme le pôle d'un diamètre est le point à l'infini des cordes qu'il coupe en parties égales, il s'ensuit que le diamètre conjugué b' d'un diamètre b est parallèle aux cordes divisées en parties égales par b; réciproquement, b' divise par moitié les cordes parallèles à ^ (').

Deux diamètres conjugués et la droite à l'infini sont les côtés d'un triangle conjugué (192) dont le centre est un des sommets, et dont les deux autres sommets sont à l'infini.

Comme, dans un triangle conjugué, deux côtés coupent la courbe, tandis que le troisième ne la coupe pas (195), et comme la droite à l'infini est sécante pour l'hyperbole et ne l'est pas pour l'ellipse, il en résulte que, de deux diamètres conjugués de l'hyperbole, il y en a toujours un seul qui coupe la courbe, tandis que l'ellipse est coupée par tous ses diamètres.

213. Étant donnés cinq points A, B, G, D, E d'une conique, en trouver le centre.

Il suffit de répéter la construction donnée au n° 191, à droite, en supposant la droite s à l'infini. Il faudra trouver le point C, où la conique est coupée pour la deuxième fois par la parallèle à AB menée par C, puis le point B', où la conique est rencontrée de nouveau par la parallèle à AC qui passe par B; la droite u, qui joint les points de concours des côtés du quadrangle ACBC, et la droite (^ qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrangle ABCB', se couperont au point cherché 0, pôle de la droite à l'infini, ou centre de la conique.

Les droites ii, v senties diamètres respectivement conjugués à AB, AC; en menant par 0 la droite u' parallèle à AB et la droite i>' parallèle à AC, uu! et iH>' seront deux couples de diamètres conjugués.

Si la conique est déterminée par cinq tangentes, on en trouvera le centre de la manière qui sera exposée plus loin (229).

214. Quatre tangentes à une conique forment un quadrilatère complet, dont les diagonales sont les côtés d'un triangle conjugué (194). Supposons que ces quatre tangentes soient

(») Apollomus, Joc. cit. y liv. II, p. 20.

parallèles deux à deux {Jig. 174); une diagonale passera à l'infini; par suite, les deux autres sont des diamètres conjugués (2i2); donc ;

Dans tout parallélogramme circonscrit à une conique, les diagonales sont deux diamètres conjugués.

Les points de contact des quatre tangentes forment un quadrangle complet dont les points diagonaux sont les sommets du triangle conjugué des n°^ 132, 194. Pour ce quadrangle, un point diagonal est le centre, et les deux autres sont à l'infini; c'est-à-dire : les six côtés du quadrangle sont les côtés et les diagonales d'un parallélogramme inscrit; les côtés sont, deux à deux, parallèles aux diagonales du parallélogramme circonscrit, et les diagonales se coupent au centre.

215. Réciproquement, si nous imaginons (Jig, 174) un parallélogramme inscrit quelconque ABA'B' et si nous le considérons comme un quadrangle complet, comme ses trois points diagonaux doivent être les sommets d'un triangle conjugué, l'un d'eux sera le centre de la conique, et les deux autres seront les points à l'infini de deux diamètres conjugués; donc :

Dans tout parallélogramme inscrit à une conique, les côtés sont parallèles à deux diamètres conjugués, et les diagonales se coupent au centre. Ou :

Les deux cordes qui joignent un point variable A d'une conique aux extrémités d'un diamètre fixe "K^' sont toujours parallèles à deux diamètres conjugués.