On conclut immédiatement du n° 214 que

Deux tangentes parallèles [a, a') sont rencontrées par deux diamètres conjugués en quatre points qui, joints, donnent deux autres tangentes parallèles {h, b').

Si des extrémités (A, A') d'un diamètre on mène des droites parallèles à deux diamètres conjugués, elles concourront en deux points de la courbe qui, joints entre eux, donneront un autre diamètre.

Étant données deux tangentes parallèles a, a', dont les points de contact soient A, A' et une troisième tangente b; si du point A on mène la parallèle au diamètre qui passe par ab,

GÉ03IÉÏIUE PROJECTIVE.

ces deux droites concourront au point B, où b est tangente à la conique.

Étant donnés deux tangentes parallèles a, a\ leurs points de contact A, A' et un autre point B de la conique, la tangente en B coupera a en un point situé sur le diamètre parallèle à A'B, et a' en un point situé sur le diamètre parallèle à AB.

217. Supposons maintenant que la conique soit un cercle {fi^. 176), c'est-à-dire soit le lieu du sommet d'un angle droit

AMB dont les côtés AM, BM tournent autour de deux points fixes A, B. Ces cotés mobiles engendrent deux faisceaux égaux et, par suite, projectifs; donc la tangente en A sera le rayon du premier faisceau qui correspond au rayon BA du second (107). La tangente en A doit donc faire avec BA un angle droit; de même la tangente en B sera perpendiculaire à AB. Les tangentes en A et B étant parallèles, AB est un diamètre, et le point 0, milieu de AB, est le centre du cercle (210).

Puisque AB est un diamètre, les droites AM, BM auront les directions de deux diamètres conjugués pour toutes les positions de M (215); donc :

Deux diamètres conjugués du cercle sont toujours perpendiculaires entre eux.

Comme les diagonales de tout parallélogramme circonscrit au cercle doivent être deux diamètres conjugués, elles se coupent sous un angle droit; donc tout parallélogramme circonscrit à un cercle est un losange. Dans un losange, la distance de deux côtés opposés est égale à la distance des deux autres côtés; par suite, si dans le losange circonscrit nous

faisons varier deux côtés opposés en maintenant les deux autres fixes, nous voyons que la distance de deux tangentes parallèles est constante. La distance de deux tangentes parallèles est la droite qui joint leurs points de contact, car cette droite, qui est un diamètre, coupe le diamètre conjugué et les tangentes qui lui sont parallèles sous un angle droit; donc tous les diamètres sont égaux.

Les diagonales de tout parallélogramme inscrit sont des diamètres, mais ces diamètres sont tous égaux; donc tous les parallélogrammes inscrits sont des rectangles.

218. Quelle que soit la conique {fig- 172), si s est une droite arbitraire dont le pôle soit S, les cordes parallèles à s seront coupées en parties égales par le diamètre passant par S; car, S et le point à l'infini de s étant des points réciproques, la polaire du second point doit passer par le premier. Nous pouvons dire aussi :

Le diamètre conjugué à celui qui passe par un point donné est parallèle à la polaire de ce point.

\. Si le diamètre qui passe par S coupe la conique en deux points M, M', ceux-ci seront séparés harmoniquement par le pôle S et la polaire 5 ('); donc, 0 étant le point milieu de MM% ou le centre de la conique, et R le point où ce diamètre coupe la polaire s, nous aurons (55)

OS.OR=:Om'.

IL II résulte de là une construction du demi-diamètre conjugué à îa corde AA' d'une conique dont on donne trois autres points. Trouvons le centre 0 (213) et joignons-le au point milieu R de AA'; puis construisons la tangente en A qui rencontre OR en S, et prenons OM moyenne proportionnelle entre OR, OS; OM sera le demi-diamètre cherché.

Si 0 se trouve entre R et S, de manière que OR et OS soient de signes opposés, le diamètre OR ne rencontre pas la courbe ; mais, même dans ce cas, la longueur OM, moyenne proportion-

(') Apollonius, loc. cit., I, 3/|, 3G; H, 29, 3o.