IO
GÉOMÉTRIE PROJECTIYE.
nelle entre OR et OS, se nomme grandeur du demi-diamètre conjugué à la corde AA'.
On peut donner une définition analogue pour une droite quelconque (223).
III. Si la conique est un cercle, nous aurons, à cause de l'orihogonalité des diamètres conjugués (217) :
La polaire d'un point quelconque par rapport au cercle est perpendiculaire au diamètre qui passe par le pôle.
219. On peut déduire un théorème très-important de cette dernière propriété. Considérons comme pôles {fig. 177) les
Fiff- Î77-
points A, B, C,... d'une droite ponctuelle s; les diamètres 0(A, B, C, . . .) qui les projettent du centre 0 de la conique formeront un faisceau perspectif à la ponctuelle. Un autre faisceau est formé par les droites a, i, c, polaires de A, B, C, . . . , car ces dernières (190) passent toutes par un même point S, qui est le pôle de 5, et comme, d'après la propriété ci-dessus (la conique étant un cercle), les droites 0(A, B, C,. . .) sont respectivement perpendiculaires à «, 6, c, . . ., les deux faisceaux sont égaux. La ponctuelle des pôles A, B, C, . . . est donc projective au faisceau des polaires «, 6, c, . . . .
Celte conclusion est vraie non-seulement pour le cercle, mais aussi pour toutes les coniques. En effet, une conique quelconque donnée peut être considérée comme la projection d'un cercle (113, 114); dans la projection, les formes harmoniques correspondent à des formes harmoniques (43); par suite, à un point et à sa polaire par rapport à la conique correspondent un point et sa polaire par rapport au cercle, et
réciproquement à une ponctuelle de pôles et au faisceau des polaires par rapport à la conique correspondront une ponctuelle de pôles et le faisceau des polaires par rapport au cercle ; mais cette ponctuelle et ce faisceau sont projectifs; donc :
La ponctuelle formée par un nombre quelconque de pôles en ligne droite et le faisceau des droites polaires, par rapport à une conique donnée, sont deux formes projectiles {^).
220. Soient A, B, C,. .. des points d'une droite 5 (/^. 178); a, b, c,. . . leurs polaires, qui sont des droites passant par un
Fijj. 178.
point fixe S, pôle des; soient aussi A', B', C,... les points
où s est coupée par «, h, c, Comme A et A' sont des points
réciproques, la polaire de A' passera par A, et ce sera précisément la droite SA, puisque S est réciproque de tout point de s. Le faisceau abc. . . (220) est projectif à la ponctuelle ABC. et perspectif à la ponctuelle A' B'C . . . ; donc ces deux ponctuelles sont projeciives. Mais, dans ces deux ponctuelles, deux points, tels que A, A', se correspondent doublement; en effet, si nous considérons A' comme un point de la première ponctuelle, sa polaire (qui est SA) coupe la droite ^ au point A. Donc (93) les couples de points réciproques AA', BB', CC, sont en involulion ('). Si l'involution a deux points doubles, chacun d'eux M sera un point réciproque à lui-même, c'està-dire tel, que sa polaire passe par le pôle lui-même; donc M
C) MÔBius, loc. cit., p. 445.
(-) On suppose que s ne soit pas tangente à la conique. Si s était tangente, A, B, C, . . . étant des points arbitraires de cette droite, les points A', B', C, , . . se confondraient tous avec le point de contact S.
212 GÉOMÉTHIE PROJECTIVE.
sera (188) un point de la courbe, et SM sera la tangente en ce point.
Les couples de droites na' , bb' , cc\ . . ., polaires des points AA',BB',CG', constituent une involution, soit en vertu du théorème du n° 219, soit parce que ces droites proviennent de la projection de ces points du centre S; donc (') :
Une droite donnée quelconque (non tangente à la conique) renferme une infinité de couples de points réciproques qui constituent une involution.
Si la droite coupe la conique, les deux intersections sont les points doubles de l'involution. Le point central de l'involulion est situé sur le diamètre qui passe par le pôle de la droite donnée (218).
Par un point quelconque (non situé sur la douïqwQ) passent une infinité de couples de droites réciproques qui constituent une involution.
Si le point est extérieur à la courbe, les tangentes qui y passent sont les rayons doubles de l'involution; c'est-à-dire (9G) : Deux tangentes et deux droites réciproques issues d'un même point forment un faisceau harmonique.
Si le point donné est à l'infini, on a une involution de droites parallèles, réciproques deux à deux, et son rayon central est un diamètre de la courbe (99).
221. Soient ABCD un quadrangle simple, Inscrit dans la conique (/"g-. 179); F l'intersection de ses diagonales AC, BD; E, G les points de concours des couples de côtés opposés : les points E, F, G seront ainsi des points réciproques deux à deux (193). D'un point quelconque I de EG menons les tangentes IP, IQ à la conique, et projetons, en outre, les sommets du quadrangle. Les deux tangentes sont séparées hannoniquement par lE, IF, car ces droites sont réciproques, puisque F est le pôle de lE (220). Les droites lE, IF forment aussi un groupe harmonique avec lA, IC, car la diagonale AC du quadrilatère complet fourni par les droites AB, BC, CD, DA est divisée harmoniquement par les deux autres diagonales BD, EG, et ces quatre rayons sont précisément ceux qui projettent les quatre points harmoniques de AC du centre F. Pour la même raison, les droites lE, IF séparent harmoniquement les droites IB, ID. Les deux tangentes, les
(') Desargues, loc. cit., p. 192-193.
CEXTllE ET DIAMÈTRE.
droites lA, IC, les droites IB, ID sont donc trois couples de droites conjuguées d'une même involution, dont les niyons doubles sont lE, IF (96).
Ou :
Fig. 179-
Et
Si un quadrangle est inscrit dans une conique et si, d'un point de la droite qui joint les points de concours des couples de côtés opposés, on mène les tangentes à la courbe ; si, en outre, on projette de ce point les deux couples de sommets opposés, on a trois couples de droites conjuguées en involution.
I. En vertu du théorème corrélatif à celui de Desargues (143, à droite), on peut inscrire dans le quadrilatère ABCD une conique tangente aux deux droites IP, IQ.
IL Le théorème corrélatif de celui que nous venons de démontrer peut
s'énoncer ainsi :
Fig. i8o.
Si un quadrilatère simple ABCD est circonscrit à une conique [fîg. i8o) et si l'on mène une transversale quelconque par le point commun à ses
2l4 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
diagonales, elle rencontre la courbe et les deux couples de côtés opposés AB et CD, BC et AD en trois couples de points conjugués en involution.
III. En vertu du théorème de Desargues (1 i3, à gauche), on peut faire passer une conique par les deux points communs à la conique et à la transversale et par les quatre sommets du quadrilatère (').
222. La théorie des points réciproques donne une solution du problème : Trouver les intersections, avec une droite donnée'^, d'une conique déterminée par cinq points ou par cinq tangentes.
On prend deux points U et V sur .?, on construit leurs polaires u, v (191), qui rencontrent .v en U' et V. Si l'involution déterminée par les couples de points réciproques UU', W a deux points doubles M, N, ces points seront les intersections cherchées de la conique el de ^ (^).
On peut résoudre corrélativement le problème : Mener d'un point donné S les tangentes à la courbe déterminée par cinq tangentes ou par cinq points.
223. Soient A, A' deux points réciproques situés sur la droite .9; 0 le point où s rencontre le diamètre passant par le pôle S (le diamètre conjugué aux cordes parallèles à ^) ; 0 sera le point central de l'involution formée sur s par les couples de points réciproques; par suite,
OA.OA'-- const. (96).
Si s coupe la conique en deux points M, N, ces points seront les éléments doubles de l'involution, et l'on aura
oa.oa':^om' -^ôn'.
Si la droite s ne rencontre pas la courbe, la valeur constante de OA.OA' sera négative (96) ; et, dans ce cas, il y a deux points conjugués de l'involution H, II' ou deux points réciproques par rapport à la conique pour lesquels 0 est le point milieu, et l'on a
0A.0A'=0H.0H'- -Ôh' = -ÔÏÏ'\
Le segment HH' est appelé alors corde idéale de la conique (^); dans le premier cas, au contraire, MN est une corde réelle. On peut dire, d'après cette définition, qu'un diamètre renferme les points milieux de toutes les cordes réelles ou idéales, parallèles au diamètre conjugué. Si deux coniques ont une corde réelle MN commune, cela veut dire
(') CiiASLES, Sections coniques, n"' 122 et 12ô. (') Staudt, Géométrie der Loge, n® 305. (^) PONCELET, loc. cit. y p. 29.
CENTRE ET DIAMÈTRE. 2l5
que l'une et l'autre passent par les points M, N. Si l'on dit, au contraire, que les deux coniques ont une corde idéale HIl' commune, cela signifie que les points H, H' sont des points réciproques par rapport aux deux coniques, et que les diamètres des deux coniques qui renferment les pôles de HH' passent tous les deux par le milieu de HH'
224. Un faisceau de rayons en involulion possède, en général (163), un couple de rayons conjugués orthogonaux; donc :
On peut toujours mener par un point quelconque un couple de droites réciproques orthogonales qui sont les bissectrices des angles des tangentes issues du point donné, si celui-ci est extérieur à la courbe.
225. Au lieu du point quelconque S, prenons maintenant le centre 0 de la conique (hyperbole ou ellipse); deux droites réciproques seront deux diamètres conjugués; donc (220) :
Les couples de diamètres conjugués forment une involution. Si la conique est une hyperbole, les asymptotes sont les rayons doubles de l'involution; cela veut dire que deux diamètres conjugués de V hyperbole sont toujours séparés karmoniquement par les asymptotes ( ' ). Si la conique est une ellipse, l'involution n'a pas de rayons doubles.
Considérons dans une involution deux couples d'éléments conjugués; l'un des couples est ou n'est pas séparé par l'autre, et, par suite, l'involution a ou n'a pas d'éliments doubles (98); donc :
De deux couples de diamètres conjugués de l'ellipse, l'un aa' est toujours séparé par l'autre bh' [fig. 17^) ;
De deux couples de diamètres conjugués de l'hyperbole, l'un aa' n est jamais séparé par Vautre bb' [fig. 181).
226. L'involution des diamètres conjugués aura (224) un couple de diamètres conjugués rectangulaires. S'il y en avait un second couple, tout diamètre serait perpendiculaire à son conjugué (163), et dans ce cas, en faisant mouvoir sur la courbe le sommet d'un angle dont les côtés passent par les extrémités fixes d'un diamètre, cet angle serait toujours droit (215); par suite, la conique serait un cercle.
(') De Lahiue, loc. cit., liv. II, p. i3, cor. [\.
GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
Donc toute conique qui n'est ni une parabole ni un cercle a un seul couple de diamètres conjugués rectangulaires. On donne le nom d'^jré'^à ces deux diamètres aa' {fig.i']^ et i8i). Dans l'hyperbole, les axes aa' sont (225, 52) les bissectrices des angles des asymptotes m, n [fg. i8i).
Fiff. ]8i.
En considérant un axe comme yxn diamètre qui divise en parties égales les cordes qui lui sont perpendiculaires, la parabole possède aussi un axe. En effet, les cordes perpendiculaires à la direction commune de tous les diamètres étant parallèles entre elles ont leurs points milieux sur une droite(206), qui est l'axe a de la parabole {fig. 162).
227. Soient donnés cinq points d'une conique, on pourra construire le centre 0 comme il est dit au n" 213, et deux couples de diamètres conjugués im'y ('(/. Si l'un des couples est séparé par l'autre, la conique sera une ellipse; dans le cas contraire, ce sera une hyperbole (225). Dans ce second cas, en construisant les rayons doubles de l'involution' déterminée par les couples uii\ n/, ces rayons doubles seront les asymptotes de la courbe.
Dans l'un et l'autre cas, en construisant (163) les rayons conjugués orthogonaux de l'involution, on aura les axes de la conique.
On peut aussi trouver la direction des axes sans construire d'abord le centre et les couples de diamètres conjugués ('). Pour cela, il faut décrire le cercle ABC et construire (176, I) le quatrième point C d'intersection de cette courbe avec la conique déterminée par les cinq points donnés A, B) C, F, G [fg. i56). Une transversale quelconque coupera les deux courbes et les couples de côtés opposés du quadrangle inscrit commun
C) PoNCELET, loc. cit.^ n» 394.
ABCC en des points formant des couples en involution (143). Les points doubles P, Q de cette involution , s'ils existent, seront réciproques (96, 220) par rapport à chacune des deux courbes, c'est-à-dire formeront le couple commun (104) aux deux involutions formées sur la transversale par les points réciproques relatifs au cercle et par les points réciproques relatifs à la conique (220). Imaginons que nous prenions pour transversale la droite à l'infini : comme cette droite ne coupe pas le cercle, une de ces deux involutions, au moins, n'aura pas de points doubles, et, par conséquent (164), les points P, Q existent réellement. Ces points étant à l'infini, et réciproques par rapport aux deux courbes, seront (206, 212) les pôles de deux diamètres conjugués du cercle et aussi de deux diamètres conjugués de la conique; mais les diamètres conjugués du cercle sont orthogonaux (217) : donc P, Q sont les pôles des axes de la conique. Les mêmes points P, Q sont aussi séparés harmoniquement par chacun des couples de côtés opposés du quadrangle ABCC; il s'ensuit que P, Q sont les points à l'infini des bissectrices des angles de chaque couple de côtés opposés (52), Il résulte de là que, pour obtenir les directions cherchées des axes, il suffit de tracer les bissectrices d'un couple de côtés opposés du quadrangle ABCC, du couple AB, CC, par exemple [Jig. i56).
228. Supposons que Ton ait un quadrilatère complet qrst et un point quelconque S {/ig\ i^o). On a déjà vu (145, à droite) que, dans l'involulion déterminée par les couples de rayons aa', bh', qui projettent de S deux couples de sommets opposés, les tangentes menées de S à une conique quelconque inscrite au quadrilatère sont conjuguées. Supposons que l'involution ait deux rayons doubles m, w; ils sépareront harmoniquement ce couple de tangentes (96), et, par suite, ces rayons doubles seront (220) des droites réciproques par rapporta la conique. Donc (170, à droite) :
Si deux coniques inscrites dans un quadrilatère donné passent par un point donné, leurs tangentes en ce point sont réciproques par rapport à toutes les coniques inscrites dans le même quadrilatère.
Au lieu de prendre arbitrairement un point S, nous pouvons supposer que l'on donne la droite m; si cette droite ne passe par aucun des sommets du quadrilatère, il n'existera qu'une seule conique tangente aux cinq droites m, q, r, s,t (116). Soit S le point où celte conique touche m; il passera par S une autre conique inscrite au quadrilatère, soit n sa tangente en S. Les
2l8 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
droites m, n seront donc réciproques par rapport à toutes les coniques inscrites dans le quadrilatère, ce qui veut dire (189) que :
Les pôles d'une droite quelconque m par rapport à toutes les coniques inscrites dans un même quadrilatère sont situés sur une autre droite n.
I. Comme les droites m, n sont les rayons doubles de l'involuti'on où les rayons menés de S à deux sommets opposés sont conjugués, les droites m, n divisent harmoniquement chaque diagonale du quadrilatère.
