II. Les propositions corrélatives sont

Si une droite est tangente à deux coniques circonscrites à un même quadrilatère, les deux points de contact sont réciproques par rapport à toutes les coniques circonscrites au même quadrilatère.

Les droites polaires d'un point donné M, par rapport à toutes les coniques circonscrites à un même quadrangle, concourent en un point fixe N. Les deux points M, N séparent harmoniquement chaque couple de côtés opposés du quadrangle complet.

III. Supposons, dans le premier théorème, que la droite m soit à l'infini ; les pôles de m seront les centres des coniques (210); donc :

Les centres de toutes les coniques inscrites dans un même quadrilatère sont en ligne droite {fig. 182) ; cette droite passe par les milieux des diagonales du quadrilatère (').

Fig. 182.

IV. Supposons aussi que le point M soit à l'infini dans le second théorème; les polaires de M seront (206) les diamètres conjugués de ceux dont le point à l'infini est M ; donc :

(*) Newton, /oc. cit. y liv. I, lemme 25, cor. 3.

Les diamètres de toutes les coniques circonscrites à un quadrangle fixe qui sont conjugués à un diamètre de direction donnée concourent en un point fixe.

229. Le théorème de Newton (228) donne un moyen simple pour trouver le centre d'une conique donnée par cinq tangentes a, h, c, <-/, e [fig. 1 83). Les quatre tangentes a^b^c^ r/ forment un quadrilatère ; joignons

Fig. i83.

les milieux de ses diagonales; opérons de môme sur le quadrilatère ahce\ les deux nouvelles droites obtenues concourront au centre cherché 0.

Les cinq tangentes, prises quatre à quatre, donnent cinq quadrilatères; les cinq droites qui passent par les milieux des diagonales de chaque quadrilatère concourront donc toutes au centre 0 de la conique inscrite dans le pentagone ahcde.

Le même théorème sert à déterminer la direction du diamètre de la parabole déterminée par quatre tangentes «, b^ r, d. En effet, le point à l'infini de la droite qui renferme les points milieux des diagonales du quadrilatère abcd sera le pôle de la droite à l'infini par rapport à une conique inscrite au même quadrilatère (228) : ce sera donc le point à l'infini de la parabole inscrite. Cette droite des points milieux est donc elle-même un diamètre de la parabole [Jig. 182).