GÉOMÉTUIE PROJECTIVE

§ XXII. — Figures polaires réciproques.

230. Nous avons déjà vu (190) que, une conique fondamentale K étant donnée, si un pôle variable décrit une droite, sa polaire tourne autour d'un point déterminé, et que, réciproquement, si une droite considérée comme polaire tourne autour d'un point fixe, son pôle parcourt une droite déterminée.

Considérons maintenant comme polaires toutes les tangentes d'une courbe donnée C, ou bien imaginons que la droite polaire se meuve en enveloppant la courbe donnée. Son pôle décrira une autre courbe que nous désignerons par C. Les points de C sont donc les pôles des tangentes de C.

Réciproquement, je dis que les points de C sont les pôles des tangentes de C En effet, soient M', N' deux points de C [fig, i84); leurs polaires m, n seront deux tangentes de C, et

le point mn sera le pôle de la corde M'N' (190). Supposons que le point N' se rapproche indéfiniment de M'; la corde M'N' se rapprochera indéfiniment de la position de la tangente de C en M'; la droite n deviendra de plus en plus voisine de la position de m, et le point mn tendra vers le point où m est tangente à C. Quand la distance M'N' sera devenue infiniment petite, la tangente de C en M' sera la polaire du point de contact entre m et C. Donc, de même que les tangentes de C sont les polaires des points de C, les tangentes de C sont les po-

laires des points de C; si une droite m est tangente à C en M, le pôle M' de m est un point de G', et la polaire m' de M est tangente à C en M'.

Les deux courbes C, C, dont chacune est en même temps le lieu des pôles des tangentes de l'autre et l'enveloppe des polaires des points de l'autre, sont dites polaires réciproques C).

231. Une droite quelconque r rencontre une des deux courbes réciproques en /^ points; les polaires de ces points sont autant de tangentes à l'autre courbe issues du pôle K' de r. La seconde courbe a donc autant de tangentes issues d'un point donné W qu'il y a d'intersections de la première courbe et delà droite r, polaire de R', et réciproquement.

232. Supposons maintenant que C soit une conique; soient a ei b deux de ses tangentes; elles seront rencontrées par toutes les autres tangentes c, d, e,..., en des points correspondants de deux ponctuelles projectives (113). Cela revient à dire que nous considérons C comme l'enveloppe des droites c, d, e,... qui joignent les points correspondants de deux ponctuelles projectives « et 6 (lli).

La courbe C contiendra les pôles A', B', C, D', E',... des tangentes a, h, c, d,e,... de C. Les droites A'(C', D', E, . . Oseront les polaires des points a{Cyd,e,...)el formeront un faisceau projectif à la ponctuelle a des pôles ; de même, les droites B'(C', D', E',...) seront les polaires des points b{c, d, e,...) et formeront un faisceau projectif à la ponctuelle b des pôles(219). Mais les deux ponctuelles a{c.d.e. ..), b[c.d.e. ..) sont projectives; donc les faisceaux A'(C'..D'. E'. . .), B'(C'.D'.E'. . .) sont aussi projectifs. 11 résulte de là que C est le lieu des points communs aux rayons correspondants de deux faisceaux projectifs; ou bien [Hk) :

La courbe polaire réciproque d'une conique est une autre conique (^).

(') PONCELET, loc. cit., li° 232.

(«) PoscELET, loc, cit., no 231.

222 GÉOMÉTRIE PUOJECTIVE.

233. Étant données une conique fondannentale K et une autre conique C dont on veut déterminer la polaire réciproque C, on peut demander si C sera une ellipse, une hyperbole ou une parabole. La droite à l'infini est la polaire du centre 0 de K; par suite, les points à l'infini de C correspondront aux tangentes de C issues de 0. Il résulte de là que la conique C sera une ellipse ou une hyperbole, suivant que le point 0 sera intérieur ou extérieur à la conique C; C sera une parabole si 0 est un point de C.

Si A est le pôle d'une droite a par rapport à C, et si a\ A' sont la polaire de A et le pôle de a par rapport à K, A' sera le pôle de a' par rapport à C, parce qu'à un groupe harmonique de quatre pôles correspond un groupe harmonique de quatre polaires (219), et réciproquement. Donc le centre M' de C sera le pôle par rapport à K de la droite m, qui est la polaire de 0 par rapport à C. Deux diamètres conjugués de C correspondront à deux points de m réciproques par rapport à C, etc.

234. Supposons que l'on donne dans le plan de la conique fondamentale une figure (1) ou complexe quelconque de points, droites et courbes; construisons la droite polaire de chaque point, le pôle de chaque droite et la courbe polaire réciproque de chaque courbe. Nous obtenons ainsi une nouvelle figure, et les deux figures sont dites polaires réciproques, parce que chacune d'elles renferme les pôles des droites de l'autre, les polaires des points de l'autre, et les courbes polaires des courbes de l'autre.

Deux figures polaires réciproques sont des figures corrélatives, suivant le principe de dualité dans la Géométrie plane (27); car à tout point de l'une correspond une droite de l'autre, à toute ponctuelle de la première correspond un faisceau dans la seconde. De plus, elles sont situées dans un même plan, leurs positions y sont déterminées, mais échangeables l'une avec l'autre, parce que chaque point de l'une et la droite correspondante de l'autre sont liés par la condition d'être pôle et polaire par rapport à une conique fixe. Au contraire, deux figures corrélatives conçues d'après le prin-

cipe de dualité seul n'ont entre elles aucune relation de position (').

235. De deux figures polaires réciproques, si l'une contient une ponctuelle (de pôles), l'autre renferme un faisceau (de polaires), et ces deux formes correspondantes sont projectives (219). Par suite, si les points de la ponctuelle forment des couples en involution, les rayons du faisceau correspondant jouiront de la même propriété, et aux points doubles de la première involution correspondront les rayons doubles de la seconde (95). S'il y a une conique dans l'une des figures, il y aura aussi une conique dans l'autre (232); aux points de la première conique correspondront les tangentes de la seconde, et aux tangentes de la première les points de la seconde; aux polygones inscrits dans l'une des figures les polygones circonscrits dans l'autre (230). Si la première figure exprime la démonstration d'un théorème ou la solution d'un problème, la seconde exprimera la démonstration du théorème corrélatif ou la solution du problème corrélatif en faisant l'échange entre les éléments point et droite.

236. Théorème. — Les sommets de deux triangles conjugués à une conique sont des points d'une seconde conique, et leurs côtés sont tangents à une troisième conique (^).

Soient ABC, DEF deux triangles conjugués, tous les deux (192), à la conique fondamentale K {fg. i85); je commencerai par démontrer que deux des six côtés coupent les quatre autres en deux groupes projectifs

de quatre points.

Fi(j. i85.

Le côté BC rencontre DE, DF en B„ C,, et le côté EF rencontre AB, AG

(') Steiner, /oc. cit., p. vu de la préface.

{*) Stei>er, loc. cit., p. 3o8. — Ghasles, loc. cit., no 215.

224 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

en E,, F,. Les points B, C sont les pôles des droites CA, AB; le point B, étant commun à BC, DE a pour polaire la droite AF, qui joint leurs pôles; de même C,, point commun à BC, DF, a pour polaire AE. Le groupe des quatre pôles B, C, B,, C, est donc prqjectif (219) au groupe des quatre polaires A(C, B, F, E); il est donc aussi projectif au groupe F, E,FE des points où ces quatre droites sont coupées par la transversale EF. On a ainsi

(BCB,C,)=: (F,E,FE) ou (56)

(BCB,C.)= (E.FjEF), .

égalité qui prouve précisément la projectivité des deux groupes de quatre points où les droites BC, EF sont coupées par AB, CA, DE, FD. Ces six droites, c'est-à-dire les six côtés des triangles proposés, sont donc (140) tangentes à une même conique C.

Les pôles de ces six droites sont les six sommets des mêmes triangles; donc (232) ces six sommets sont des points d'une même conique C qui est la polaire réciproque de G par rapport à la conique fondamentale K.

I. On peut exprimer ce théorème en disant que la conique C, tangente à cinq des six côtés de deux triangles conjugués à une môme conique K, est aussi tangente au sixième côté; et la conique déterminée par cinq sommets passe aussi par le sixième.

On conclut de là que, si une conique C est tangente aux côtés d'un triangle abc conjugué à une autre conique K, il y a une infinité d'autres triangles conjugués à cette dernière courbe qui sont circonscrits à la première. En effet, soit <-/ une tangente quelconque de C; du point D, pôle de d par rapport à K, imaginons que nous menions une autre tangente c à C; et soit / la polaire, par rapport à K, du point de : dcf sera un triangle conjugué à E (193). Comme C est déjà tangente à cinq côtés a, b, c, r/, e de deux triangles conjugués à K, elle sera aussi tangente au sixième côté/; ce qu'il fallait démontrer. Si l'on peut mener deux tangentes e',f'ài K du point D, les quatre droites e, f, c\ f formeront un groupe harmonique, parce que les droites e, /"sont réciproques par rapport à K (220) ; donc les droites c', f seront réciproques par rapport à C.

Le lieu du point D est la conique C, polaire réciproque de C par rapport à K; donc :

Si une conique C est inscrite dans un triangle conjugué à une autre conique K, le lieu d'un point d'où l'on peut mener un faisceau harmonique de quatre tangentes aux deux coniques est une troisième conique C, polaire réciproque de C par rapport à K.

IL Corrélativement, nous pourrons dire aussi que, si une conique C passe par les sommets d'un triangle conjugué à une autre conique K, elle sera aussi circonscrite à une infinité d'autres triangles conjugués à la même

FIGURES POLAIlUiS RÉCIPROQUES. 29.5

conique K; et les droites qui coupent C et K en deux couples de points conjugués harmoniques sont toutes tangentes à une môme conique C, polaire réciproque de C par rapport à K.

237. Je considère une conique C et deux triangles circonscrits OQ'R', O'PS {fg, i86). Les deux tangentes PS, Q'R'

sont rencontrées par les quatre autres côtés O'P, OQ', OR', O'S en deux groupes correspondants PQRS, P'Q'R'S' de deux ponctuelles projectives u, u' (113). Par suite, les groupes de rayons 0(P,Q,R, S), 0'(F, Q', R', S'} qui projettent ces points de 0, 0' respectivement sont aussi projectifs. Donc les points P, Q', R', S, où se coupent les rayons correspondants, sont situés (114) sur une conique C qui passe par les centres de projection; cela veut dire que :

Si deux triangles sont circonscrits à une conique^ ils sont aussi inscrits dans une autre conique.

Si, au contraire, nous partons de la considération de la conique C et des triangles inscrits OQ'R', O'PS, nous démontrerons d'une manière tout à fait analogue (corrélative) le théorème corrélatif et inverse du précédent :

Si deux triangles sont inscrits dans une conique, ils sont aussi circonscrits à une autre conique (' ).