H'D.H'D':=:OS.OS'=:=-OS

Si le diamètre OT parallèle à la direction donnée HF ne coupe pas la courbe, on pourra mener une tangente qui lui soit parallèle; le carré de la portion de cette parallèle comprise entre l'asymptote et le point de contact sera égal à HF.HF', en vertu du théorème dont nous nous occupons; mais cette por-

(') Apollonius, loc. cit., liv. III, p. i6-23. - Desargues, loc. cit., p. 202. - De la Hire, loc. cit., liv. V, p. 10, 12.

^44 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

lion est égale au demi-diamèlre parallèle OT (2H) ; donc

HF.HF'=ÔT\ ou :

Si une droite coupe l'hyperbole en F, F' (en D, D') et une asymptote en H (ewH'j, le produitB.¥ .^Y' [le produitWD.Yi' D') est égal à ± le carré du demi-diamètre OT ( OS) parallèle à la sécante, en prenant le signe -f- ou le signe —, suivant que la courbe a ou n'a pas de tangentes parallèles à la sécante.

IV. Si la sécante coupe l'autre asymptote en L (en L'), nous aurons (151)

HF^FL ou H'D'=:DU,

par suite aussi

FH.FL=-ot' ou DH'.DL'=:=ÔS;

donc :

Si une droite menée par un point F(D) d'une hyperbole coupe ses asymptotes en H, L (e/i H/, L'),le produit FH.FL (DH'.DL') est égal à zf le carré du demi-diamètre parallèle à la sécante (— ou -f- suivant que la courbe a ou n'a pas de tangentes parallèles à la sécante).

V. On déduit de là une manière de construire les axes d'une hyperbole, dont on donne, en grandeur et en direction, deux demi-diamètres conjugués OF, OT (/«-. 196). Commençons par construire les asymptotes. Pour

Fig. 196,

cela, si OF est le diamètre qui doit couper la courbe, menons par F la parallèle à OT ; ce sera la tangente en F; puis prenons sur cette droite FP et OF égales àOT; les droites OP, OQ seront les asymptotes (244).

Maintenant, pour obtenir les directions OX, OY des axes, il suffira de trouver les bissectrices des angles des asymptotes, ou les deux rayons conjugués orthogonaux de l'involution dont les rayons doubles sont OP, OQ (225, 226).

Menons par F la parallèle à OX, elle coupe les asymptotes en B, B'; prenons sur OX le segment OS moyen proportionnel entre FB, FB'; OS sera la longueur du demi-axe dirigé suivant OX, qui coupera ou ne coupera pas la courbe, suivant que les segments FB, FB' auront ou n'auront pas le même sens. Enfin, construisons le parallélogramme dont un côté est OS, dont un autre côté est dirigé suivant OY et dont la diagonale se confond avec une asymptote; le côté OR donnera la longueur de l'axe dirigé suivant OY (244).

VI. Supposons que l'on ait deux points 0, 0' dans le plan d'un triangle ABC; les droites OA, OB, OC rencontrent respectivement les côtés opposés BC, CA, AB en D, E, F; le théorème de Ceva (104) nous donne