CD' AE' BF

En multipliant ces équations entre elles, nous trouvons la relation (i) ; donc :

Si l'on projette de deux points quelconques les sommets d'un triangle sur les côtés respectivement opposés, on obtient six points situés sur une même conique.

Par exemple , les points milieux des côtés d'un triangle et les pieds des perpendiculaires abaissées des sommets opposés sur les mêmes côtés sont six points d'une conique (').

247. Problème. — Construire une conique qui passe par trois points donnés A, B, C, et par rapport à laquelle les points conjugués d'une involution donnée sur une droite u soient des points réciproques {Jig. 197).

Les droites AB, AC rencontrent u en D, E. Soient D', E' les conjuguées de ces points dans l'involution donnée. Soient ensuite D" le point qui est séparé harmoniquement de D par A et B; E" le point qui est séparé harmoniquement de E par A et C. Alors le point D est réciproque à l'un et à

( ' ) Cette conique est un cercle. Foir Steiner, t. XIX des Annales de Mathématiques (Montpellier, 1828), p. l\2.

^46 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

l'autre des points D', D" : la droite D'D" sera donc la polaire de D; de même, E'E" sera la polaire de E.

Traçons les droites BE, CD jusqu'à leurs intersections respectives avec E'E", D'D" en E,,, D„ : le premier de ces points sera réciproque à E, le second à D. Par suite, si l'on construit les points B', C, de manière que les groupes BB'EE^, CC'DD^ soient harmoniques, les points B', C appartiendront à la courbe demandée.

Dans la figure, les couples FF', GG' sont les points qui déterminent sur a l'involution donnée de points réciproques.

248. Problème. — Construire la conique qui passe par quatre points donnés Q, R, S, T et qui divise harmoniquement un segment donné MN

Fis- 198-

La droite MN coupe les couples de côtés opposés du quadrangle QRST en A et A', B et B'. Si la conique cherchée rencontre MN en deux points,

ces points formeront un couple de l'involution déterminée par AA', BB' (443). Par conséquent, si l'involution dont les points doubles sont M, N et l'involution déterminée par les couples AA', BB' ont un couple commun PP', la conique cherchée passera par chacun des points P, P' (96, 164).

Pour construire ces points, décrivons un cercle quelconque (164), et d'un de ses points 0 projetons sur la circonférence les points A, A', B, B', M, N en A,, A', , B,, B',, M,, N, ('). Si V est le point commun aux droites A, A',, B, B', et si U est le point commun aux tangentes en M,, N,, les droites qui passent par U et les droites qui passent par V déterminent sur la cir. conférence et, par suite (au moyen de projections faites à partir de 0), sur la droite MN les couples de points conjugués de l'une et de l'autre involution. Si la droite UV rencontre le cercle en deux points, il suffira de les projeter à partir de 0 pour avoir les points cherchés P, P'.

Soit W le pôle de UV par rapport au cercle. Toute droite passant par W et coupant le cercle détermine sur celui-ci et, par suite, sur MN, deux points séparés harmoniquement par P, P', c'est-à-dire deux points réciproques par rapport à la conique cherchée. Donc, si UV ne coupe pas le cercle, c'est-à-dire si Ton ne peut pas construire les points P, P', nous tirerons par W deux droites qui coupent le cercle; du point 0 nous projetterons les points d'intersection sur la droite MN : nous obtiendrons ainsi deux couples de points qui détermineront l'involution de points réciproques par rapport à la conique. Le problème sera ainsi ramené à celui que nous avons traité au numéro précédent.

249. Problème. — Construire la conique qui passe par quatre points donnés Q, R, S, T et par deux points conjugués (non donnés) d'une involution donnée sur une droite u.

Ce problème est analogue au précédent, car il s'agit de construire le couple de points conjugués commun à l'involution donnée et à celle qui est déterminée sur u par les couples de côtés opposés du quadrangle QRST (143). Le couple cherché existe réellement si l'involution donnée n'a pas de points doubles, et les points qui le forment appartiennent à la conique cherchée. Si l'involution donnée a deux points doubles M, N, leproblème dont nous nous occupons se confond absolument avec celui du n'' 248.

Ce problème et les deux précédents n'admettent évidemment qu'une seule solution.