Considérons une hyperbole dont les asymptotes soient

(*) Voir la note de la page i58.

24^ GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

orthogonales (fig, 199). Comme les asymptotes séparent harmoniquemeni deux diamètres conjugués quelconques (225),

Fig- 199-

les angles des deux diamètres conjugués ont les asymptotes pour bissectrices (52); mais les deux demi-diamètres conjugués sont les côtés d'un parallélogramme dont les diagonales ont la direction des asymptotes (24-4) : ce parallélogramme sera donc un losange; en d'autres termes, tout diamètre est égal à son conjugué. C'est cette propriété qui a fait donner à l'hyperbole que nous considérons le nom d'hyperbole équilatère (').

I. Comme les droites menées d'un point quelconque M de la courbe aux extrémités P, P' d'un diamètre ont les directions de deux diamètres conjugués (215), les angles que les droites PM, P'M font avec chacune des asymptotes sont égaux et de sens opposé. Si les points P, P' restent fixes, tandis que M parcourt la courbe, les rayons PM, P'M décrivent deux faisceaux inversement égaux (80).

II. Réciproquement, les rayons correspondants de deux faisceaux inversement égaux se coupent en des points dont le lieu est une hyperbole équilatère. Ce lieu est une conique, puisque les deux faisceaux sont projectifs (78). Ces faisceaux ont chacun deux rayons perpendiculaires entre eux, qui sont respectivement parallèles aux rayons correspondants de l'autre fais-

(') Apollonius, loc. cit., liv. VII, p. 21. — De la Hire, loc. cit., liv. V, p.i3.

COUOLLAIRES ET CONSTRUCTIONS. n/^g

ceau (80); donc la conique a deux points à l'infini, situés sur deux directions orthogonales et est, par conséquent, une hyperbole équilatère. Les centres P, P' des deux faisceaux sont les extrémités d'un diamètre; en effet, la tangente/? en P est le rayon correspondant à la droite P^P regardée comme un rayon p' du second faisceau, et la tangente q' en P' correspond à PP' considérée comme un rayon q du premier faisceau (114) ; mais les angles pq, p'q' doivent être égaux et opposés; donc, p' et q étant une seule et même droite, les tangentes p, q' sont parallèles.

III. Les sommets d'un triangle ABC et le point D commun à ses hauteurs sont les sommets d'un quadrangle complet où chaque côté est perpendiculaire au côté opposé, et dont les six côtés déterminent sur la droite de l'infini trois couples de points qui sont projetés d'un centre arbitraire S par trois couples de droites orthogonales. Ces trois couples appartiennent donc à une involution dans laquelle tout rayon est perpendiculaire à son conjugué (101, à gauche, 95, 163).

Mais cette involution de rayons projette à partir de S l'involution de points qui, d'après le théorème de Desargues (143), est marquée sur la droite à l'infini par les couples de côtés opposés du quadrangle et par les coniques (hyperboles) (^) qui lui sont circonscrites. Donc les couples de rayons conjugués de la première involution donnent les directions des asymptotes de ces coniques; ou bien :

Toutes les coniques qui passent par les sommets et par le point de concours des hauteurs d'un triangle sont des hyperboles équilatères.

IV. Réciproquement, si l'on fait passer une hyperbole équilatère par les sommets A, B, C d'un triangle, elle passera nécessairement parle point de rencontre D de leurs hauteurs. En effet, imaginons une autre hyperbole déterminée (125) par les quatre points A, B, C, D et par un des points à l'infini de l'hyperbole donnée; elle sera équilatère en vertu du théorème qui précède, et, par suite, elle passera par le second point à

C) Il n'y a ni ellipse ni parabole circonscrite au quadrangle en question U° 170).

25o GÉOMÉTRIE PROJECTIYE.

rinfini de la courbe donnée. Les deux hyperboles ont ainsi cinq points communs (A, B, C et deux points à l'infini) : donc elles se confondent; ce qu'il fallait démontrer. Donc :

Dans tout triangle inscrit à une hyperbole équilatère, le point de rencontre des hauteurs est sur la courbe,

V. Si le point D se rapproche indéfiniment de A, c'est-à-dire si l'angle BAC devient droit, nous aurons :

Dans tout triangle rectangle EFG [fig. i84) inscrit dans une hyperbole équilatère, la tangente au sommet E de l'angle droit est perpendiculaire à l'hypoténuse,

VI. Il ne passe qu'une seule hyperbole équilatère par quatre points donnés Q, R, S, T (249). Le point de rencontre des hauteurs de chacun des triangles QRS, RST, STQ, QRÏ appartient à la courbe (').

2oi. Supposons que l'on ait une conique, un point S et sa polaire s. Une droite passant par S rencontre la conique en A, A'. Si l'on veut construire la figure homologique à la conique donnée (18), en prenant S comme centre d'homologie, s comme axe d'homologie et A' comme point correspondant à A, tout autre point B' correspondant à un point B de la conique sera situé sur la conique même. En effet, si AB rencontre s en P, le point B' commun à SB, A'P est un point de la courbe (186). Donc la courbe homologique à la conique donnée sera cette conique elle-même. Deux points (ou deux droites) correspondants sont séparés harmoniquement par S et * (').

A la droite à l'infini correspondra donc la droite/ parallèle à ^ et équidistante de ^ et de S ; et les points où j rencontre la conique correspondront aux points à l'infini de la même conique.

On conclut de là une règle assez simple pour reconnaître si un arc donné de conique, quelque petit qu'il soit, appartient à une ellipse, à une parabole ou à une hyperbole. Traçons une corde.? de l'arc et construisons son pôle S; menons la droite/ parallèle à ^ et équidistante de S et de s. Si y ne rencontre pas l'arc, il appartient à une ellipse (y?"'. 200, «). Si y est

(') Théorèmes de Brianchon et Poncelet énoncés dans un Mémoire inséré au tome XI des Annales de Mathématiques (Montpellier, 1821) et reproduits dans le t. Il, p. 5o'| des Applications d'Analyse et de Géométrie de Poncelet (Paris, 186/,).

(*) C'est ce que l'on a nommé Vhomologie harmonique. Voir Bellavitis, Saggio di Geometria derivata (vol. Vides Nuovi Saggi de l'Académie de Padoue, i838), §50.

tangente à l'arc en un point J, il appartient à une parabole dont SJ sera un diamètre [fîg. 200, h)\ finalement, si j coupe l'arc en deux points J,,

Fig. 200.

J2 [fis- ^00, c), la courbe sera une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles à SJ,, SJ, (').

252. Problème. — Étant donnés de position (non de grandeur) deux diamètres conjugués et une tangente avec son point de contact, construire la courbe [fig. 201 ).

Fig. 201.

Supposons que la tangente rencontre en P, Q les diamètres donnés dont le point commun est 0. Projetons le point de contact M en P' sur OP au moyen d'une parallèle à OQ, en Q' sur OQ au moyen d'une parallèle à OP. Tout point de OP est le pôle d'une droite parallèle à OQ; en outre, P, M sont des points réciproques, car la polaire de M qui est la tangente passe par P. Donc la polaire de P est MP'; par suite, P et P' sont aussi des points réciproques. Prenons les points A et A' de manière que OA = OA'— la moyenne proportionnelle entre OP et OP'; AA' sera la longueur du diamètre dirigé suivant OP (218). On trouvera de même la

(') PoNCELET, loc. cit., nos 225 et 226.

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE,

longueur BB' de l'autre diamètre en prenant OB = OB' = la moyenne proportionnelle entre OQ et OQ'.

Si les points P, P' tombent du môme côté par rapport à 0, l'involution des points réciproques a deux points doubles A, A' (98), c'est-à-dire : le diamètre OP coupe la courbe. Si au contraire 0 se trouve entre P et P\ l'involution n'a pas de points doubles, et le diamètre ne rencontre pas la courbe. Dans ce cas, A et A' sont deux points réciproques équidistants deO.

La figure présente deux cas : celui de l'ellipse («) et celui de l'hyperbole (^).

233. Problème. — Deux couples de diamètres conjugués a et a', b et b' étant donnés de position, ainsi qu'un point M, construire la conique. Première solution [fig. 202). — Par M menons parallèlement à chaque

diamètre une corde dont le point milieu tombera sur le diamètre conjugué. Les secondes extrémités A, A', B, B' des quatre cordes ainsi tracées seront quatre points de la conique cherchée.

Deuxième solution [Jig. 2o3). — Désignons par c le diamètre MOM', et construisons le rayon c' conjugué de c dans l'involution déterminée par

Fig. 3o3.

les couples aa', bb' ; c' sera le diamètre conjugué de c (223). Par M et M' menons les droites MP, M'P' respectivement parallèles à «, a' qui rencontrent c' en P, P' et se coupent en un point de la courbe (216). Les points P, P' sont réciproques (24i), de manière qu'en prenant sur c' deux

autres points Q, Q' conjugués dans l'involution déterminée par le couple PP' et le point central 0, MQ et M'Q' se couperont en un point de la courbe. Prenons ensuite, sur c', ON = ON' = la moyenne proportionnelle entre OP et OP'; N et N' seront les extrémités du diamètre c' (218).

Troisième solution. — Des extrémités M, M' du diamètre qui passe par le point donné menons les parallèles à «, «'; elles se couperont en un point A de la courbe; par les mêmes points traçons les parallèles à b, b' ; elles se couperont en un autre point B de la même courbe (216). En prolongeant AO, BO jusqu'en A', B', de manière que l'on ait 0A'= AO, OB' = BO, A' et B' seront aussi des points de la conique cherchée (210).

254. Problême. — Construire la conique dont on connaît, de position, deux couples de diamètres conjugués aa\ bb' et une tangente t.

Première solution. — Construisons la tangente t' parallèle à t (située à la même distance du centre que ^); joignons les points où t, t' coupent «, a'\ nous aurons ainsi deux autres tangentes parallèles m, u' (216); on en obtiendra encore deux autres v^ v' enjoignant les points d'intersection de /, t' avec è, b' [fig. 204).

Fig. 204.

Seconde solution. — Les diamètres conjugués a et a\ b et b' rencontrent t aux points A et A', B et B'. Les couples de points AA', BB' déterminent une involution dont le point central est le point de contact de t (244). Le problème est ainsi ramené à un problème déjà résolu (252). Si l'involution a des points doubles, on obtiendra les asymptotes en joignant ces points à 0.

255. Problème. — Construire la conique dont on donne, de position,

Fig. 2o5.

deux diamètres conjugués «, a' et deux points M, N [fig. 2o5 ;

254 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

Soient M', N' les secondes extrémités des diamètres qui passent par les points donnés. Menons par M, M' les droites MH, M'H parallèles ka, af; menons de même par N, N' les droites NK, N'K parallèles à a, a'. Les points H, K appartiendront à la courbe à construire.

Problème. — Construire la conique dont on donne, de position, deux diamètres conjugués b, b' et deux tangentes m, n [Jig. 206).

Construisons les tangentes m' parallèle à m et n' parallèle à n; joignons les points où m, m' coupent a, a'; joignons de môme les points où n, n' coupent <7, a'. Toutes ces droites sont autant de tangentes à la courbe cherchée (216].

256. Problème. — Étant donnés cinq points d'une conique, construire deux diamètres conjugués qui fassent un angle donné (').

Trouvons d'abord un diamètre AA' de la conique (213); sur ce diamètre décrivons un segment capable de l'angle donné et cherchons les points où ce cercle coupe de nouveau la courbe (176, II). Si M est un de ces points, AM, A' M auront les directions de deux diamètres conjugués; mais l'angle AMA' est égal à l'angle donné : en traçant donc les diamètres parallèles à AM, A'M, le problème sera résolu.

Si le segment décrit est le demi-cercle, cette construction donne les axes.

257. Problème. — Construire la conique par rapport à laquelle un triangle EFG soit conjugué et un point donné P le pôle d'une droite donnée p (^).

La droite p rencontre FG en un point A; la polaire de A passera par E pôle de FG et par P pôle de p : cette droite sera donc EP ; de même FP, GP seront les polaires des points B, C, où p coupe GE, EF. Soit A' le point où FG est coupée par EP : FG et AA' seront deux couples de points réciproques, et, si l'involution qu'ils déterminent a deux points doubles

(') De La Hire, loc. cit., II, 38.

(') Staudt, Géométrie der Lage, x\9 237.

L, L, , ces points appartiendront à la courbe demandée (220). On peut répéter la même chose pour les deux autres côtés du triangle EFG.

Si le point P est intérieur au triangle EFG-, les points A', B', C sont sur les côtés (finis) FG, GE, EF ( ' ). La droite p peut couper deux de ces côtés ou être tout extérieure au triangle. Dans le premier cas, les involutions des deux côtés qui sont coupés ont toutes les deux des points doubles (98) : nous aurons ainsi quatre points de la courbe cherchée, et ce problème sera ramené à tracer une conique qui passe par quatre points donnés et par rapport à laquelle deux autres points donnés soient réciproques (248). Dans le second cas, les deux couples de points réciproques de chacun des côtés du triangle EFG empiètent l'un sur l'autre, et l'involution n'a pas de points doubles (98) ; dans ce cas la conique ne rencontre aucun des côtés du triangle conjugué; elle n'existe donc pas (195).

Si le point P est extérieur au triangle, un seul des trois points A', B', C se trouve sur le côté correspondant. Si les deux autres côtés sont coupés par /?, aucune des involutions n'a de points doubles, et la conique n'existe pas. Si) au contraire, p coupe le premier côté, ou si la droite p est tout extérieure au triangle, la conique existe, et on peut la construire comme ci-dessus.

Dans tous les cas, c'est-à-dire que la conique soit ou ne soit pas réelle, le système /:'o/«//'^ existe (238); il est déterminé par le triangle conjugué EFG, par le point P et par la droite p. Le problème de la construction de ce système est linéaire, tandis que celui de la construction de la courbe fondamentale est du second degré.

2o8. Problème. — Étant donné un pentagone ABCDE, construire la conique par rapport à laquelle chaque sommet est le pôle du côté opposé (^).

Soit F l'intersection de AB, CD. Si l'on construit (257) la conique K par rapport à laquelle ADF est un triangle conjugué et E le pôle de BC, les points B, C, où BG rencontre AF, DF, seront les pôles des droites ED, EA qui joignent le point E aux points D, A. Donc chaque sommet du pentagone sera le pôle du côté opposé; ou, autrement, la conique K sera la courbe demandée.

Si l'on construit la conique C qui passe par les cinq sommets et la conique C tangente aux cinq côtés du pentagone (116), ces coniques seront polaires réciproques par rapport à K (232).

(') Nous entendons ici qu'un point A' est sur un côté FG du triangle, quand il tombe entre F et G, et qu'une droite coupe un côté FG quand son point d'intersection avec FG tombe entre F et G.

(^) Staudt, loc. cit., nos 238, 258.

256 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

239. Problème. — Étant donnés cinq points A, B, C, D, E (trois de ces points ne sont pas en ligne droite) , trouver un point M tel que le faisceau M(A.B.G.D.E) soit projectif à un faisceau donné abcde (^^.207).

Fig. -207.

Tirons par D deux droitesDD', DE', telles que le faisceau D(A.B.G.D'.E') soit projectif à abcde (66, à droite). Construisons le point E' où DE' rencontre la conique déterminée par les quatre points A, B, C, D et par la tangente DD' (128); puis déterminons le point M, où la môme conique rencontre EE'. M sera le point cherché. En effet. M, A, B, C, D, E' étant des points d'une même conique, le groupe M(A.B.C.D.E') est projectif au groupeD(A.B.G.D'.E') qui, par construction, est projectif au faisceau donné abcde \ mais ME' passe par E; donc le problème est résolu.

Le problème corrélatif devra être résolu comme exercice.

Trouver une droite m qui rencontre cinq droites données «, b, c, d, e, dont trois quelconques ne concourent pas en un même point, en cinq points formant un groupe projectif à une ponctuelle de cinq points donnés A, B, C, D, E(').

260. Problème. — Diviser un arc de cercle AB en trois parties égales (^).

Prenons, sur la circonférence donnée (y%. 208), un arc quelconque AN à partir de A, puis à partir de B, mais en sens opposé, un arc double BN'. Menons la tangente BT, les angles AON, TBN' sont égaux et de sens opposé; ou bien, si N, N' varient simultanément, les rayons ON, BN' engendrent deux faisceaux inversement égaux. Le lieu du point M qui leur est commun sera donc une hyperbole équilatère (250) dont les asymptotes ont les directions des bissectrices SX, SY des angles des droites AO, BT; car ces droites sont des rayons correspondants (positions des rayons mobiles ON, BN' pour lesquelles les arcs AN, BN' sont nuls). Le centre de l'hyperbole est le milieu de la droite OB qui joint les centres des deux faisceaux.

C) Staudt, loc. cit., no 263.

(■) CuASLES, Sections coniques, n° 37. — Staudt, Beitràge, n° 43'2.

COROLLAIRES ET CONSTRUCTIONS. l5']

Après avoir construit l'hyperbole au moyen du théorème de Pascal, on obtient un point P où elle coupe l'arc donné AB; deux points correspondants N, N' se confondent en ce point; par suite, P est le point de trisection de l'angle cherché : l'arc AP est la moitié de PB.

Fig. 208.

L'hyperbole rencontre la circonférence en deux autres points R, Q. Le point R donne la trisection de l'arc complémentaire de AB. Le point Q donne la trisection de l'arc que l'on obtient en retranchant AB de la circonférence entière.

261. Nous avons vu (149) que, si P', P", Q', Q" [Jl^. s^oq) sont quatre pomts donnés en ligne droite et si nous faisons passer par P', P" une conique quelconque, la corde de contact d'une tangente à la conique issue de Q'

Fig. 209.

et d'une tangente issue de Q" passe par un des points doubles M', N' de l'mvolution déterminée par les couples P'P", Q'Q". Les deux tangentes issues de Q', combinées avec les deux tangentes issues de Q", donnent quatre cordes de contact, dont deux passent par M' et deux par K.

258 GÉOMÉTRIE PROJECTTYE.

On déduit de là un moyen de construire les points doubles de l'involution P'P", Q'Q", ou (98) de trouver deux points M', N' qui divisent harmoniquement deux segments donnés P'P", Q'Q". Décrivons un cercle par P'P" et menons-lui les tangentes t\ u' par Q' et les tangentes w', id' par Q". La corde de contact des tangentes t'^ t" et celle des tangentes u\ u" rencontreront la droite P'P" aux deux points cherchés M', N'.

Cette construction a été employée par Brianchon ( ' ) pour la solution des deux problèmes que nous avons traités au n° 171.

i** Construire une conique dont on donne trois points P, P', P"et deux tangentes </, q'.

Les tangentes données rencontrent PP' en Q, Q' et PP" en R, R'. De Q et Q' menons les tangentes au cercle décrit par PP'P"; les cordes de contact couperont PP' en deux points M, N ; traçons de même les tangentes par R, R' : les cordes de contact couperont PP" en deux autres points M', N'. Alors chacune des droites MN', NN', M'N, MM' rencontrera q, q' en deux points de contact entre ces deux droites et une conique circonscrite au triangle PP'P".

Cette construction ne diffère de celle du n° 171 (à gauche) que par la manière de trouver les points doubles MN, M'N'.

2° Construire une conique dont on donne deux points P', P" et trois tangentes </, 7', q".

Les trois tangentes données rencontrent P'P" en trois points Q, Q', Q" [fig. 209). Des points Q, Q', Q" menons les. tangentes à un cercle quelconque passant par P'P"; les cordes de contact des tangentes issues de Q", combmées avec les tangentes issues de Q, rencontrent P'P" en deux points M, N, et les cordes de contact des tangentes issues de Q", combinées avec celles des tangentes issues de Q', déterminent de même deux points M', N'.

La corde de contact des tangentes 7, q" à la conique cherchée passera donc par M ou par N, et la corde de contact des tangentes 7', q" passera par M' ou par N'. Les quatre combinaisons MM', MN', NM', NN' donnent les quatre solutions du problème.

Ce problème est donc ramené au suivant : décrire une conique tangente à trois droites données q, q' , q", de manière que les cordes de contact des tangentes qq\ q'q" passent respectivement par deux points donnés M, M'. Désignons par QQ'Q" le triangle formé par les trois tangentes données, et par A, A', A" les points de contact à déterminer [fig. 210 ). D Câpres un corollaire du théorème de Desargues (152), le côté q^Q'(^" est divisé harmoniquement par le point de contact A et par la corde A' A". Supposons que l'on ait projeté ces quatre points harmoniques de A" sur MQ" :

(') Briancuon, loc. cit., p. 47 et5i.

COROLLAIRES ET CONSTRUCTIONS. zSg

il en résultera que le segment RQ" de MQ", intercepté entre q', q", est divisé harmoniquement par M et par la droite A' A".

Fig. 210.

Tirons donc MQ" : cette droite coupera rj" en R ; déterminons le point V, qui avec M divise harmoniquement RQ". Pour cela, menons par M une droite quelconque qui coupera 7", r/ en S, T, et joignons le point Q au point U commun aux droites SQ", TR; cette droite rencontrera RQ" en V. Tirons ensuite VM' : cette droite coupera r/, f/' en A', A", et MA" coupera Q'Q"en A.

262. Théorème. — Si deux angles de grandeur invariable AOS, AO'S tournent autour de leurs sommets respectifs, de manière que le point S, commun à deux côtés, reste sur une droite fixe u, l'intersection A des deux autres côtés décrira une conique {Jrg. 211 ).

La démonstration résulte immédiatement de ce que les faisceaux engendrés par les rayons mobiles OA et OS, OS et O'S, O'S et O'A sont projectifs (36, 82). Ce théorème a été donné par Newton sous le nom de description organique des coniques ('),

Fig. 211.

L'élève se proposera de déduire de ce théorème une règle pour décrire

) Loc. cit., liv. I, lemme XXI.

26o GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

une conique passant par cinq points donnés 0, 0', A, B, C; ou bien, ces cinq points étant donnés, déterminer la grandeur des deux angles AOS, AO'S et la droite w, de manière que la conique engendrée passe par les cinq points donnés.

Il pourra aussi s'exercer à démontrer les propriétés suivantes : Si l'on décrit, sur la droite 00' qui joint les sommets des deux angles donnés, un segment capable d'un angle égal à la différence entre quatre angles droits et la somme des angles donnés, la conique sera une hyperbole, une ellipse ou une parabole, suivant que la droite u coupera le cercle en deux points, ne le rencontrera pas ou lui sera tangente. — Déterminer les asymptotes de l'hyperbole, les axes de la parabole. Quand la conique est-elle un cercle? Quand est-elle une hyperbole équi-

latère?

Examiner le cas où les deux angles donnés sont supplémentaires. La conique est alors une hyperbole ; par suite, si u et 00' sont parallèles, on obtient une parabole ( ' ).

263. Théorème. — Si un triangle varie de manière que ses côtés pivotent autour de trois points donnés 0, 0', S (/^. 212), tandis que deux sommets

A, A' parcourent deux droites fixes w, u\ le lieu du troisième sommet M est une conique qui passe par les points 0, 0', par le point uié et par les points B', C, où u et // coupent respectivement O'S, OS.

264. Théorème. — (Le théorème précédent est un cas particulier de celui-ci). Si un polygone varie de manière que ses côtés pivotent autour d'autant de points fixes 0„ 0,, O3,. . . (7%. 2i3), pendant que ses sommets, moins un, parcourent des droites fixes w,, w,, m,,..., le dernier sommet décrira une conique ; le point commun à tout couple de côtés non consécutifs aura aussi pour lieu géométrique une conique (^).

C) Maclaurin, Geometria organica (Londres, i7î?o), sect. I.

( *) Théorème de Maclalrin et de Braikenridge {Trans. phil. de Londres, 1735).

Il faudra démontrer ce théorème et son corrélatif (^'

265. Théorème. — Si deux angles sont circonscrits à une conique, les quatre points de contact de leurs côtés et leurs sommets sont six points d'une conique.

On démontrera ce théorème en faisant voir que les deux faisceaux qui projettent les quatre premiers points des sommets des deux angles sont projectifs; pour cela, «on observera que les quatre premiers rayons forment un groupe projectif à celui de leurs pôles relatifs à la conique donnée.

266. Théorème (corrélatif du précédent). — Si deux angles sont circonscrits à une conique, les quatre côtés et les deux cordes de contact sont six tangentes d'une même conique (^).

Il suffit de démontrer que les deux cordes coupent les quatre autres droites en deux groupes projectifs de points, le premier groupe étant projectif à celui qui est formé par les polaires relatives à la conique donnée.

267. Problèmes. — l. Étant donnés trois segments AA', BB', CC sur une même droite, trouver un point d'où l'on puisse les voir, tous les trois, sous des angles égaux (83).

Quand ces angles peuvent-ils être droits? [Voir n" 98, IL)

II. Deux ponctuelles projectives superposées étant données, trouver un

point séparé harmoniquement d'un point donné sur la droite par les deux

points unis [non donnés (^)].

m. Étant donnés deux couples de points en ligne droite, trouver sur

cette droite un cinquième point, tel que le produit de ses distances aux

deux points du premier couple soit au produit de ses distances aux points

du second couple dans un rapport donné (*).

(*) PoNXELET, loc.cit., n° 502. (^) Chasles, Sections coniques, n**^ 213, 214. (^) Chasles, Géom. sup., n° 269.

(*) Problème c^e la Section déterminée d'APOLLONius. Voir Chasles, Géom sup., nO 281.

262 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

IV. Mener par un point donné une transversale qui détermine sur deux droites données, à partir de deux points donnés, deux segments dont le rapport ou le produit soit donné (').

268. Théorème, — Si l'on prend sur chaque diagonale d'un quadrilatère complet deux points qui la divisent harmoniquement, et, si trois de ces six points (un sur chaque diagonale) sont en ligne droite, les trois autres sont aussi en ligne droite.

Corollaire. — Les trois points milieux des diagonales d'un quadrilatère complet sont en ligne droite.

269. Théorème. ■— Si un triangle ABC est inscrit dans un cercle, et si d'un point 0 de la circonférence on abaisse sur les côtés des obliques OA', OB', OC sous un même angle (de même sens), les pieds A', B', C de ces obliques sont une ligne droite [^g. '214).

Fig. 'J14.

Menons par 0 les parallèles OA", OB", OC" à BC. CA, AB : on démontrera facilement que les angles AOA", BOB", COC" ont les bissectrices communes : les angles AOA', BOB', COC jouissent donc de la môme propriété. Par conséquent (106, II), les côtés de ces trois angles forment des couples en involution, et (103) les points A', B', C sont en ligne droite (^).

270. Théorème. — Étant donné un triangle circonscrit à un cercle, si l'on abaisse, de ses sommets sur une tangente, des obliques qui soient vues du centre sous des angles [égaux (grandeur et sens), les trois obliques concourent en un même point (').

La démonstration est analogue à celle du théorème précédent.

( ') Problèmes de la Section de raison et de la Section de l'espace d'Apollonius, roir Chasles, Géom. sup., n"s 296 et 298. (») Chasles, loc. cit., n« 386.

(') Chasles, loc. cit., n» 387.

271. Ce sera un exercice très-utile que d'appliquer la théorie des pôles et des polaires à la résolution des problèmes du premier et du second degré par le moyen de la règle seulement , en supposant toutefois qu'un cercle fixe el son centre soient donnés. Voici quelques exemples à traiter :

I. Mener par un point donné P la parallèle à une droite donnée e.

Il faut trouver le pôle E de ^ (') et la polaire /? de P; soit A le point commun aux droites />>, OE ; la polaire a de A sera la droite cherchée.

IL Mener par un point donné P la perpendiculaire à une droite donnée e.

Menons par P la parallèle à OE : ce sera la droite cherchée.