IV. Propriétés des mineurs
11 . Définition. Le coefficient d'un élément d*un déterminant est appelé le mineur de ce déterminant par rapport à cet élément. Les mineurs de ai hi Ci
-4- dihtCz — azbtCi •
liCtaz 4- dathz
• liCtai — Czdili
0% ht c% as (s Ci par rapport aux neuf éléments
difii^Ci, Asy^SyCSy dzfiz^CZj
sont ordinairement représentés par
Ai,Bi,Ci, A3,B«,Cs, AsyBsfCs* On trouve aisément qu'ils sont donnés par les relations
di
Cz
Ct
dz
Cz
Ji
Cî
Ct
ai
di
ai
Cz
di
Al
di
as
di
Chdcun de ces mineurs est, en valeur dbsoluè^ le détermindnt de qudtre éléments obtenu en effdçant ddns R Id ligne et Id colonne qui se croisent en Vêlement correspondant. On donne le signe -♦-, dux mineurs Bî, Ai, Cj, Ci , kz, qui correspondent aux éléments des diagonales, le signe —aux autres.
Corollaire. Le mineur M du déterminant R, par rapport à un élément m, ns change pds si Von rempldce les éléments de Id ligne et de la
colonne qui eantienneni cet élément par d^atUres éléments quelconques. Car ce mineur s'obtient en effiacant de R les éléments de cette ligne et de cette colonne, et donnant un signe conyenable au déterminant de quatre éléments ainsi obtenu.
It. Propriétés des mineurs de R. Les propriétés des mineurs de R sont données par les dix-huit égalités suivantes :
R =» aiAi -*- J|B| -H CiCi, R=s aiAi -*- a%k% -¥• «lAs, = OtLi -f- J,B| -«- CîCi, = J, Ai -«- *«A« -«- JsAs, = a%ki -f- ijBi -4- c%C\. = CiAi -*- CtA, -♦- CjAj.
= tfiAs -»- JiBî -*- CiCj, = tfiBi -*- OsBt -I- fl»Bi, R = fl«A« -*- S«B« -♦- CîC, R = *iBi -^ JtB, -♦- J,B,, «= a,At -*- JA -^- CjCj. = CiBi -♦- CiBt -♦- c»B».
= aiAs -*- JiBj -*- CiCs, = «iCi -*- ojCi -*- «jCs, = asAs -4- J«B, -*- ctC, = JiC, -♦- }jCs -h }jCs, R== ajAs -*- J,Bs -*- CsCs. R = CiCi -*- CjC» -»* CjCi.
La vérification directe de ces propriétés est très simple. On peut aussi les établir, sans calcul, comme il suit :
Première propriété. Soit à démontrer, par exemple, l'égalité
R = «iAi -♦- J|Bi -*- CiCi.
Les mineurs Al )B4, Cl s'obtiennent en effaçant, dans R, la première ligne, puis la première, la seconde, ou la troisième colonne. Donc AiyBiyCi ne contiennent ni ai, ni ({, ni Ci. L'ensemble des termes de R en Al, par définition, est Ai Ai, produit qui ne contient ni ii, nici; l'ensemble des termes en 1% est iiBi, qui ne contient ni ai, ni Ct; l'ensemble des termes en d est CiCi, qui ne contient ni ai, ni Si. Les trois produits «lAi, SiBi, CiCi font donc partie de R et ne contiennent aucun terme commun. D'autre part (n*»" 1 et 5, remarque), tout terme de R contient nécessairement un élément de la première ligne, c'est-à-dire ^1,^1 ou Cl. Donc tout terme de R est dans aiAi, (iBi ou CiCi. Par conséquent
R = diAi -♦- SiBi -♦- CiCi.
Deuxième propriété. Soit encore à démontrer l'égalité
■= azki -*- JsBi -*- CsCi.
Remplaçons dans le déterminant R les éléments de la première ligne par ceux de la troisième asy^s^Cs. Les mineurs du déterminant R' ainsi
obtenu, par rapport à ces éléments, sont toujours (8, coroll.) Ai^Bi,Ci. Donc
R' = «sAi -+- JsBi -4- CsCi.
Mais R' est nul, comme ayant deux lignes identiques (Propriété IV, n" 7), savoir, la première et la troisième. Par conséquent
= «sAi 4- hBi ■+■ CsCi.
