V. Équations linéaires à trois inconnues
18. Élimination de deux inconnues entre trois équations linéaires. Considérons les trois équations linéaires à deux inconnues
a^x-^h^y =^e^ ou a^a? -i- 0,^ — c, =0, (1)
a^x H- S,y = e^ ou a^x -*- 5,y — c, = 0, (2)
a^x ^ h^y = c, ou a^x h- b^y — c, = 0, (3)
et cherchons dans quel cas elles sont compatibles entre elles. Posons R = \a. J, e\ et appelons Ai, Bi,...., Ci les mineurs de R.
Multiplions (1) par C, , (2) par C,, (3) par C^ et ajoutons les résultats. Nous trouvons
C, (a,a? + 5,y — (?J-4-C,(â5,a?-4-J,y— Cj)H-Cg(â!3a?+&jy — Cj)=0, (4) c'est-à-dire, d'après les propriétés des mineurs,
C,c, -+- C,c, H- CgC, ou R =0. (4')
Les équations (1), (2)et (3) ont donc pour conséquence (4) ou (4'), qui, par suite, est une condition nécessaire pour que (1), (2) et (3) soient compatibles. Cette condition est suffisante : car de (4') ou (4) et de deux des équations (1), (2), (3), on peut déduire la troisième.
Le déterminant R est dit V éliminant et R = la résultante du système des équations (1), (2), (3), ou du système équivalent d'équations linéaires homogènes,
a,X4-&,Y-t-(?,Z = 0, âJ,X-+-J3Y-t'C,Z=0, «gX-hSjY+CaZ^O, (l',2',3')
obtenu en multipliant (1), (2), (3) par Z, quantité quelconque différente de zéro et posant a?Z -t- X «= 0, yZ -*- Y = 0.
D'après ce qui précède, Véliminant de trois équations linéaires (1) (2) (3) est donc le déterminant des coefficients des inconnues et des termes tout connus^ ou des coefficients des inconnues si les équations sont mises sous forme homogène (1'), (2'), (3'). On obtient la résultante en égalant Véliminant à 0.
Remarque. On a encore R = 0, si C, = C, = Cj^O, cas où Téquation (4) n'a plus aucun sens. Mais on ne sait pas si cette condition R=0, nécessaire encore pour que (1) (2) et (3) soient compatibles, est suffisante^ dans ce cas exceptionnel.
Exemple XL L'équation d'une droite passant par deux points {x^ , y,), (x^i y^) est de la forme
On doit avoir
mx^ -♦- ny^ =py mx^ -*- ny^ =» y.
Éliminant m^ ft,j) entre ces trois relations, il vient
12. Chercher l'équation d'un cercle de rayon donné c passant par deux points (a?i, yi), (a?„ y,).
14. Résolution des équations linéaires à trois inconnues dans le cas où le déterminant des coefficients des inconnues n'est pas nul. Considérons les équations
diX -♦- h^y -^ c^z = d^^
Puisque R==a,Aj'*-ajA,-f-agA5=ô,B,-*-S,B,-*-55B5=C4C^-4-(?jCj-4-C3C3 n'est pas nul, ni A,, A„ Aj, ni Bj, B^B^, ni 0^,0,, Cg, ne sont nuls à la fois. Multiplions les équations respectivement, d'abord par A^ , A,, Aj ; puis, parB^, 64,63; enfin, par C,, C,, C3 et ajoutons les résultats. Il viendra, d'après les propriétés des mineurs,
(fl,A, -4- âJjAj -*- â^gAj) x = rf^A, -t- rfjA, -H rfjAg, (J,B, + &,B, -4. \B,)y=^d,B, ^ rf,B, + rfgB,, (c, C, -4. c, C. -^ C3 C3) ^ = rf, C, -4- rf.C,
d'où
d^ÈL, 4- (Ï,Aj -4- (ÏgAg
rfj S, C,
d^ 5j Cj
a,Aj -H a,A,
•> y •= etc., 2! = etc. (2)
Le dénominateur de x, j, z, est le déterminant R ayant pour éléments les coefficients des inconnues; le numérateur est le déterminant obtenu, en remplaçant dans R, les coefficients de :l,j ou z, par les seconds membres des équations données.
Voyons si les valeurs (2) vérifient les équations (1). Substituons-les, par exemple, dans la première. Il viendra
ai {d^A.^ '\-diki'^diAz)'\'li{diBi'hdiBi'*'dzBs)'*-Ci(diCi'\-dtCt'^diC5)
ou, en ordonnant le numérateur par rapport à d^f d^, d^,
<?i(g4A4-»-6iB4-^CiCi)-f-rf«(aiA»-i-6iB»-hCiCt)-^^8(g|A»-^64B3-f- CiCs)
=di
iy
c'est-à-dire, d'après les propriétés des mineurs, d^^=d^. En substituant les valeurs (2) dans la deuxième et la troisième équation (1), on trouve de même d^ = d^, d^ = d^. Donc, non seulement tout système de valeurs de a, y, z, vérifiant les équations (1), vérifie aussi les équations (2), mais la réciproque est vraie. Les valeurs (2) sont donc des solutions de (1) et ce sont les seules.
Exemple XII. Les équations
a? + 2y -*- 3^ = 14, 3a? -*- y -♦- 2^; = 11, 2a? •*- 3y -♦- sf « 11,
donnent immédiatement
BzBRCiCBS. 13. Rëscadre les équations
5a? — 3y-i-2i5 = 3, 3a?-f-l?y-4- 55-1-43 = 0, (*-♦- c)û? — a(y-*-«) = d— c, 4a?-4-5y — â5 = 21, 4a? — Hy-i- 22? — 23=0, (c -t-tf) y— *(«-hû?) = c — «, 5a? — 2y — 3;5=— 12; 5a?— 3y — IOîj -h 76 = ; (a 4- ^) a? - c(»-+-y) = tf — *i
