III. Déflnition des déterminants

9. Définition et notation. Le déterminant de n^ éléments (voir n** 5, tableaux 1, 2, 3; est la somme algébrique des permutations distinctes de ces éléments. On donne le signe h- au terrne principal T formé par les éléments de la diagonale du carré des éléments, qui va du premier au dernier, et à toutes les permutations de même classe; le signe — aux permutations dont la classe est diflferente.

On représente, d'après Cauchy, le déterminant par le tableau des éléments entre deux barres verticales :

Ah

atf ati

ain

az

bi h h

abc

an\ an% ... an

ou par les notations suivantes, quand elles sont suffisamment expressives :

2 =fc «41 ûa« ... ann = [an aS2 ... flnn) = '. ^ : T = I dik \

2 d= «1 Ji Cs = («1 It Cs) == I aJc I , 2 ± akr = {ahr). Nous reviendrons (n"" 21) sur la notation | aie | , qui est due aussi à Cauchy.

Pour former un déterminant, on déduit tous les termes du terme principal, en y permutant, soit les premiers, soit les seconds indices, et laissant les autres invariables (n" 7), puis donnant à chaque terme le signe convenable. Exemples :

-H awatta^i — «ii^isas* -4- ax^atia^t — aisAsiass -+- ax^atiazi — ai&anasi

2 =t; Ai 1022^53 =

2 db «iJsCst^i =»»

aibtCzd% — aib^CtdA h- a^biddi — a^biC^di 4- atbzCidA — a^b^Cid^

— aib^c^dz + ttib^c^dt — aJ>ïGAdt h- aibiC^dz — a^b^c^di -h aJfiCtdi •+- aibiCtds — aib^c^dt h- a^b^Cid^ — atbiCxdz -♦- aJbkC^di — a-fi^Ctdh

— aJ^iCids H- a^biCidi — aJfiCidi -*- a^btCids — aébfddt -*- aAb^Ctdi .

Remarque. Pour former un déterminant de 9 éléments^ il j a une r^le spéciale plus simple dite règle de Sarrus. Voir Introduction^ n« 5.

Exercices. 14. Sans déTelopper les déterminants, Térifier que

jr ^ : =aj«-4-y*,

*15. Un détenninant ne change pas, si l'on change le signe de tons les éléments où la somme des indices est impaire (Janm). On peut appeler ces éléments éléments impairs; les autres, éléments pairs.