IV. Propriétés fondamentales

10. Propriété I. Pour multiplier {ou diviser) un déterminant far k, on multiplie {ou l'on divise) par k les éléments d'une ligne ou d'ujie colonne{*). Voir Introduction, u" 7, démonstration et corollaires.

Exemple. On a successivement (Comparer Ex. 48, cas où a? = 0)

icy zx

' ^xy yz

ZX yz

XJft

xyz xyz

xyz

(*) Les propriétés I, VI et la propriété I des mineors sont une conséquence immédiate de la définition d*nn déterminant comme somme algébrique des permutation» distinctes de A* éléments, quelle que soit la loi d'après laquelle on donne le signe + ou le signe — aux diverses permutations ; les propretés II, III, lY, Y, VII et la propriété II des mineui-s, au contraire, supposent que cette loi est celle du n<* 9 (Hoppe). On ne démontre pas dès l'abord, la propriété YI et la propriété I des mineurs, parce que l'on ne peut guère en faire d'application avant le n** 15.

Si, dans le premier déterminant, on remplace x, y, z par ax, Sy, cz, la première ligne et la première colonne du dernier sont 0, a*, ^*, c*.

Exercices 16. Démontrer le théorème de Janni (n*» 9, Ex. 15), en multipliant certaines lignes et colonnes du déterminant par (—1).

17. ^Démontrer et généraliser pour le déterminant Q, de «* éléments analogue à Q4, la relation suivante, où h\ b'[ = b^, b[ b'^ = ô,, ^3 b'i = Ô3,

-ôï

*18. Si Ji est facteur des m premiers éléments de « — «» -h^ colonnes ou lignes dun déterminant R de n* éléments, indivise R (Muir).

11. Lemme. Permutons, d'une manière quelconque, dans un déterminant R, les lignes entre elles et les colonnes entre elles. Changeons encore, si Ton veut, les lignes en colonnes et les colonnes en lignes. Le déterminant R', ainsi obtenu, sera égal à -^ R ou à — R, selon que les termes principaux T etT\ deR et de R', sont ou ne sont pas de même classe. En effet : 1" Les deux déterminants contiennent les mêmes permutations (n** 6). 2* Si T et T' sont de même classe, les permutations de même classe que T ou T' auront le signe 4- dans les deux déterminants; les autres, le signe — ; donc R == R'. 3" Si T et T' sont de classes contraires, les permutations de même classe que T (de classe contraire à T') auront le signe •+• dans R, le signe — dans R'; les permutations de classe contraire à T (de même classe que T') auront le signe — dans R, le signe -H dans R'; donc R = — R'.

Exemple. 2 =b a^atta^ô = ^ d= az^atiaw = — 2 =b ananau*

Exercice 19. Si 2r = « (» — 1), on a (V. n® 8, Ex. 11) 2 ibauOM... a«,= 2 ± ann ... <ha0tt = (— !)*• 2 =b «i^tf,,..» ... Ont.

12. Propriété IL Un déterminant ne change pas quand on y change les colonnes en lignes et les lignes en colonnes (ou quand on échange dans chaque élément les deux indices). Ainsi

an

ait

an

an

ati

an

au

ati

an

atx

az%

azi

ezst

aiz

Otz

azi

car les permutations des deux déterminants sont les mêmes (n** 6), et les termes principaux sont identiques.

Exercice 20. On appelle déterminant gauche, ou symétral à diagonale pleine, ou pseudosyinélrique, celui où aik = — aki, au n'étant pas nul; déterminant symétrique gauche, ou symétral à diagonale vide, ou hémisymétrique, celui où aik^= — aki, au = 0. Un déterminant symétrique gauche de n* éléments ne change pas quand on le multiplie par (— 1)», même si n est impair ; par suite, il est nul dans le cas de n impair.

*21 . Si aik = pik -hqikVi—l), aki = pik — qik K ( — 1), au = pu, les ;? et les g' étant réels, le déterminant R = 2 d= âP^ «m ... «nu est réel ; car R ne change pas si y (— 1) change de signe (Hermitej.

13. Propriété III. Un déterminant change de signe, quand on y échange déplace deux lignes ou deux colonnes. En effet, si Ton échange la colonne i avec la colonne h,

au ... aki

aki ... akk e3t remplacé, dans le tableau des éléments, par

aik ... au

akk '•• aki\

les termes principaux des deux déterminants correspondants, R et R', sont donc de la forme Ma/J^A^N, MaitlfeN. Ils sont de classes contraires, à cause de rechange des seconds indices i et h\ donc, d'après le n® 11, R c=, — R'.

Corollaire. Si l'on place, après toutes les autres, la première ligne ou la première colonne, c'est-à- dire, si Ton effectue une permutation circulaire des lignes ou des colonnes, cela équivaut à {n — 1) échanges de lignes ou de colonnes, ou à une multiplication du déterminant par (— l)"-*. Ainsi («lôîCseiO = — {biC^d^a^).

14. Propriété IV. Si les éléments de deux lignes ou de deux colonnes parallèles d'un déterminant R sont égaux, le déterminant est nul. Voir Introduction n» 10.

Corollaire. Un déterminant est nul si les éléments d^une ligne ou d'une colonne sont égaux à ceux d'une ligne ou d'une colonne parallèle, multiplies par un même facteur. Voir Introduction n'' 10.

Exemples. I. On a

a' J» c* rf*

KC-b){d-b)

En eflPet : l'» P est un polynôme entier en a, J, c, rf, de degré 0h-1h-2-*-3 = 6, puisque chacun de ses termes contient un élément de la première ligne, un de la deuxième, un de la troisième, un de la quatrième. 2® Si dans P, on fait d == a, ce déterminant s'annule comme ayant deux lignes identiques ; donc P est divisible par (d-^a) et de la forme {d—a) Pi, Pi étant du 5* degré. 3" Si l'on fait d = J, P ou {d—a) Fi s'annule encore; comme le facteur (d — a) devient (S— tf), il faut que Pi s'annule pour rf = J ; donc Pi = (d — b) P«, P« étant du 4*^ degré, et P == {d—a) (d—h) Pa. 4° On prouve de même que P? = (d'-c) P5, P5 = (c-J) P4, P4 = (c-a) P5, P5 = (i—a) Pe, Ps, P4, PsjPe étant respectivement de degré 3,2, 1, 0, parce que P s'annule pour d= c, pour c = S, pour c=a &i enfin pour J = «, Donc P = (J — a) X (c— (i)(c— S) X {d — fl)(rf-— J)(rf— c)P6. 5*» Le déterminant P et le produit (J> — à) ... (d — c), ordonnés par rapport à rf, c, J, ont pour premier terme d^ c* h\ donc le quotient Pe de la division de l'un par l'autre est l'unité.