II. On a, de même

car ce déterminant contient le terme xyz et s'annule pour x ■• y = 0, 2 = 0.

Exercices 22. Si (Xx, tfx), (x%^ p%), (Xs, y^ sont les coordonnées rectangulaires de trois points. A, B, C, les équations

représentent, respectivement, la droite AB, une parallèle à AB passant par C, et le cercle passant par les trois points A, B, C.

x-x^ y — Vz

1 Xx yx

1 xx yx

yi

ys

^X-^yX

"^i3. Démontre:* Tégalité

1 1 1 l-f-rf

= abcd ( 1h 1-7-4-- + -)

V abcd/

On fait successivement a = 0, b = 0, c = 0, à = 0, dans r — abcd. En s'aidant de lu propriété I, en déduire l'égalité plus générale

a ù)% â/s • Xt b Xs ' Xi x% c .

= x(i + -fi

Xi b — x% c — Xz

dans laquelle X = (a — Xt) (b — Xt) (c — ajj) ... (Salmon).

Cas particuliers. 1*» a = a?i — «i, b^=Xt — m, c = Xi^mf etc. (E. Lucas). Cas où «»=(a?i -4-a?a -Ha?5 -♦- •••) — 2?. 2«a?i =yj, a?i = y|, a?3 =yj,etc; a=(S— yi)«, b={S — y%Yy c = (S-pz)\ etc., S étant égal à yi -♦-y.-i-ys-l-'»- (Wolstbk- HOLME). 3» Si a?, =a?8 =a?s = ••• = â7, on trouve X = R + a?X', en posant

Si X' = (é»' —a?) (^' — a?) (c'— a?j..., on peut écrire X au moyen d'une formule analogue à X = R-i-a?X', et ainsi de suite. Cette formule X = R-Ha?X', conduit à deux résultats remarquables : a) si a? = a', b' ou C, etc.; jS) si a? = 1, « = ^•=^ = ••• = (Garbieri). 4« a = (a -H ^ -H y -t- •••) -h nà, a?i = «a; ô = (a -h ^ -h y -i- ...) -H w/3, â7f = «/3; etc. On trouve R = (« -h 1) (« H- ^ -♦- y H- —y, p étant le degré du déterminant.

On trouve encore la relation suivante qu'il est facile de généraliser :

1* -♦- 1 ajS «y ai

«^ ^«+1 fiy pS

«5 ^a yo 5*-hl ■

On suppose a»' = jS/3'= yy' =: tiû' = 1.