I. — Propriétés des mineurs
15. Des mineurs. Le coefficient d'un élément aik d'un déterminant R = 2 =h «Il «M ... a„Hy est appelé le mineur de ce déterminant, par rapport à fl,* ; il est ordinairement représenté par A,jt, c est-à-dire comme 1 élément dit lui-même, sauf que la lettre minuscule a est remplacée par la majuscule correspondante A. Les mineurs ay/ de A,*, ceux de aji et ainsi de suite, sont aussi appelés mineurs de R. A,a est un premier mineur, d'ordre {n — 1), aji un second mineur, d'ordre (» — 2), etc.
I*» Détermination de Ah. Pour trouver tous les termes de R qui contiennent an, permutons, de toutes les manièreg possibles, les premiers ou les seconds indices dans le terme principal An a^ ... Ann, en laissant toutefois an sans changement, et donnons un signe convenable à chacune des permutations ainsi trouvées. On trouve les mêmes permutations en calculant
ait . . ttin
au
donc
dm ' ' ann ati . . din
anf ' . dnn
Ainsi, ïe coefficient du premier terme d'un déterminant R de n* éléments, est le déterminant de (n— 1)* éléments^ obtenu en supprimant, dans R, la première ligne et la première colonne,
2" Détermination de A/*. Première méthode. Faisons venir «,* à la première place clans R, en mettant la i'"^' ligne la première, au moyen de (i — 1) échanges de lignes deux à deux, et la A''"" colonne, la première
au ..;
ai
ifc-1
Mi •
.. Ai,
ûi-1,4
Ûi+1,4
dnl .
ann
aussi, au moyen de {k — 1) échanges de colonnes. Nous aurons, d'après la règle précédente,
Ainsi, le coefficient kik d'un terme a,*, dans un déterminant R rf« n* éléments, est le déterminant de (n—iy éléments, ohtenu en supprimant, dans R, la ligne i et la ligne k, qui se croisent en a,*, ce déterminant étant multiplié par (— 1)»>*; c'est-à-dire par -+- 1 ou — 1, selon que l'élément est pair ou impair (n" 9, Ex. 15).
Seconde méthode. On peut faire venir aiu à la première place, au moyen de (i — 1) permutations circulaires de lignes et de (k — l) permutations circulaires de colonnes, équivalentes chacune à (n — 1) échanges de lignes ou de colonnes. On trouve ainsi
tfi+i,A+i ... ai^.4,1, ai^t,i.., fl,^.4,ifc i
A.ife = (— 1)("-0«+*)
aiMi
ai^i^k+i û«-i, i i
Selon que (n — 1) est pair ou impair, on a
(!)(»-!) (<+*) = 1 ou (— l)*-^*.
La seconde méthode de détermination de knt est plus utile que Tautre dans les recherches théoriques.
Exercices 24. Trouver le coefficient de Oa a^x dans S ±iaixa%% ... as^\ et celui de aikaji dans ^ dba^ , ... a««, par permatation circulaire des lignes et des colonnes ou non.
25. Dans un déterminant symétrique, c'est-à-dire où aik = au;, on a Ai* = A*/.
26. Dans un déterminant symétrique gauche (n» 12, Ex. 20), Ai* = — Kki, A» =0, si le degré du déterminant est pair ; A/* = Aai, s'il est impair, et Au est un déterminant symétrique gauche. Dans un déterminant gauche, kik est aussi un déterminant gauche.
**27. L'élément aik et (— 1)»+* Ai* sont dits compléments algébriques Tun de
l'autre. Plus généralement, si {— l)«+P+7 ar^s^ ârr,.», ... tfr„«„^ m^k^ a/.^i,-^ ... ah^^ ^ est un terme du déterminant contenant (« h- /S -+- y) inversions, dont a sont dans tfrj,j ... tfr„«^, ^ dans «Aj.ti ... «*,».,*„«» les déterminants M = (— 1)" (tfr,,^ ... tfr^»J, Q = (— l)/5 [ah^k^ ... «/»,„*«„) sont dits compléments algébriques Pun de l'autre. Démontrer que leur produit, multiplié par + 1 ou — 1, selon que S(r-+-j) est pair ou impair, donne 1. 2... w X 1- *2... (n — m) termes du déterminant R = (atx att ... ann) (V. n*» 8, Ex. 13.)
16. Première PROPRIÉTÉ DES MINEURS. Expression d'un déterminant au moyen de ses mineurs (Voir Introduction n° 12). Considérons les éléments an, a^, ...,«!« de la première ligne d'un déterminant R. Les termes dont R est composé contiennent tous Tun ou Tautre de ces éléments et n'en contiennent qu'un seul. L'ensemble des termes qui contiennent flu est «n An; l'ensemble des termes qui contiennent an est «is Aïs, et ainsi de suite. Donc,
R = «41 An -f- «lî Ai2 -*- ••• -t- a\f, A|„.
On a, de même» pour les éléments de la première colonne, d'une ligne i ou d'une colonne k quelconque,
R = «14 An H- au Aîi -H ... -♦- «,« Ani, R = au A-n -+- «,4 A,2 -+- •••-♦- air, A,„,
R = axk Au -♦- an As* -h
ank A„i.
Ce théorème permet de calculer un déterminant quelconque, de proche en proche, au moyen de ses mineurs, des mineurs de ses mineurs, etc., sans qu'on emploie la théorie des permutations.
Exemples. I. Mineurs formés par la seconde méthode :
«1 ii Cl a% bt c%
«3 ^3 Cz
