II. Mineurs formés par la première méthode
(«iJjCs^O = — *i (a^CzdA) -*- ht {aiCM) — h (aiddi) -*- bilatCids). Exercice 28. Démontrer les relations de l'exercice 14; puis l'égalité
h Cl
h Cs
h Ci
-4- as
h Ci
il C4
= a^^ai -+- bib'z -f- C2C2 — 2aa'bb* — 2bb'cc' — 1lcc'aa\
17. Corollaires. I. Si les éléments d'une ligne i {ou d'une colonne k) d'un déterminant R sont nuls, à l'exception d'un seul aji, le déterminant se réduit au produit a^* Aik de cet élément par le mineur correspondant. Par suite, lorsque tous les éléments situés d'un même côté de la diagonale s' évanouissent, le déterminant du système se réduit à son terme principal. Ainsi,
ai hi Ci di
i« cs d^
Cz d^
= Al
ht c« d% Cs dz
= «iJ»
Cz dz
= ailtCzd^,
II. Si les éléments d'une ligne i {pu dune colonne k) d'un déterminant sont nuls y snk excepté, les éléments de la colonne k {ou de la ligne i) autres que a,ft, n'entrant pas dans A,*, peuvent être remplacés par des éléments quelconques ; en particulier, si on les remplace par des zéros, on peut remplacer aussi les éléments de la ligne i (ou de la colonne k) par des éléments quelconques. Ainsi,
m{aihcz)=^
ai bi Ci
ai ds Ci
«s bz Cz
Ai bi Ci
as bt Ct
az bz Cz
ai bi Ci
ai bt Ci
az bz Cz
7i" as bi Ck
p" ai bi Ci
q" az bz c»
III. Tout déterminant peut être mis sous forme d*un déterminant de degré plus élevé; et un produit quelconque peut se mettre sous forme de déterminant. Par exemple, en remplaçant les éléments QVELCOf^QVEs par des astémques :
aibtCz =
ai
bi
Cz
ax ai
ai ai
bi bi
^ ai bi ^ a* bi
IV. En particulier, le mineur Aik est égal au déterminant R, où a,jk est remplacé par 1 et les autres éléments de la ligne i ou de la colonne k par
par zéro. Ainsi, par exemple, si C est le coefficient de ac» dans
\ d d^ d^ rf*
1 t? rf* (i*
Exercices. 29. Démontrer que
= 1 ou ;
même résultat pour un déterminant dont tous les éléments sont nuls, sauf que «/),;)-i = l, flç, 9+r = — 1, ^ prenant successivement les valeurs 2, 3,... 9» et ^ les valeurs 1,2,..., n— r.
