Généraliser la propriété suivante : Si f7in

1 wH-n 1

Cas où m •

. ^ = 2 cos a? et, en particulier, x -

31. Démontrer que le continuant Q« (n» 10, Ex. 17) = ût» Qn i 4- ô„t Q««. Il en résulte que Q» est le dénominateur de la w'è'nc réduite de la fraction continue

(Comp. Ex. 81).

*32. Démontrer le théorème de Muir (n° 10, Ex. 18) dans le cas où * = 0, ^=1.

**33. Théorème de Laplacb. On peut décomposer un déterminant R de v? éléments en une somme algébrique de produits de déterminants analogues à ceux dont il est parlé n« 15, Ex. 27, les uns d'ordre w, dont les éléments sont toujours pris dans les mêmes m lignes ou colonnes du déterminant primitif, les autres d^ordre n — m, dont les éléments sont pris dans les (;^ — m) lignes ou colonnes restantes. Ainsi

(a^^%Cid^ = (tfiôi) (C8^4)— (âfiôs) (c%â,K)'\-{axh^) (Ca(jÎ8)-*-(û?iôs)(Ci(JÎ4)— (««Ô4Xcid8)+(a3Ô4)(Ci(if).

On trouve zéro, au lieu de R, si dans les déterminants dont il est parlé, Ex. 27, on remplace les éléments d'une (ou plusieurs) des n — m lignes ou colonnes restantes

par les éléments correspondants d*une (ou plusieurs) des m premières lignes ou colonnes (Muib). Ainsi

(atbt) (a^dt) — (ath) {Oid^) -♦- (<ïiÔ4) {atâ^) -+- {aah) (aidt) — (a^b^) (atds) -+- (««ôO (« itf»)

est nul comme égal à (aib%aidi).

Corollaires. I. Un seul de ces produits n'est pas nul si tous les éléments communs à m lignes et à n ^ m colonnes du déterminant primitif sont nuls (Jacobi). II. Un déterminant où les éléments communs à m lignes et à n — f» + I colonnes sont nuls est nul (Voir Ex. 32).

18. Seconde propriété des mineurs. Lemme. Le mineur Aïk d'un déterminant R ne change pas, si Von remplace les éléments de la ligne i et de la colonne k par des éléments quelconques» En effet, d'après la définition, A,jfe ne contient aucun élément de cette ligne ou de cette colonne.

Seconde propriété. On a

aji A,i -♦- a;ya A,î -♦-••• -♦- a/„ A;» = 0, aij Ali -♦- ay Aîi -^ ... -+- û„y A„/ = 0,

si] est un nombre compris dans la série 1, 2, ... n c^ différent de i (Voir Introduction, n° 12). En effet, la première de ces expressions est celle d'un déterminant dont la i'""' ligne serait identique à la/"" ; la seconde, celle d'un déterminant dont la i^"*' colonne serait identique à la j^*.

Exemple. Voir Introduction, n° 12.

Exercice. *34. Soient R = (att(h\ ... tf«n), S s=(Ôii*m ... ô„i,««t). Formons, au moyen de S, de nouveaux déterminants St en remplaçant les (n — 1) éléments de la première ligne verticale bu, on, ... d«-i, i par «ii, ... tf«-,i,i. Nous aurons identiquement

A«iSi -h AntSi -+-...-♦- A«nS« = 0.

Même théorème si la ligne verticale remplacée dans S n'est pas la première. Ce théorème peut s'énoncer ainsi : Le produit de deux déterminants est égal à la somme des produits des déterminants obtenus en remplaçant, dans le premier facteur, successivement chaque colonne (ou ligne) par une seule et même colonne (ou ligne) du second facteur, et introduisant la colonne (ou ligne) supprimée dans le premier facteur, à la place de la colonne (ou ligne) supprimée dans le second.

On démontre ce théorème en remplaçant Si, Sa, ••• S„ par leur développement au moyen des mineurs Bu, B^, •** Bn.i, i de S (Autre démonstration. Exercice 38).

En particulier,

(ÔiCj) (tf irfi) -♦- (Citf,) (bidt) -4- (tf t*«) {Cxdt) = 0. (a)

(Bâltzer-Houel, III, 11.)