II. Principe de l'addition des lignes ou colonnes

19. Propriété V. On peut ajouter ^ auic éléments d'une ligne [colonne) d'un déterminant, respectivemerd les éléments d'une ou de plusieurs lignes (colonnes) parallèles^ multipliés par des constantes quelconques, sans altérer la valeur du déterminant. Ainsi

ai • a% • as '

mil — ndi mhi — nd%

• miz — nds

• mhi — nd^

dt d.

ai at a%

fl4

Cz Ca

di dt dz d.

En effet, le premier de ces déterminants est égal à

5i — nii)ki Jj — ndz)Kz

ml% — «rfi) Aï

h A — ^4) Al*

Cette somme se compose de trois parties. D'après la première propriété des mineurs, une de ces parties, savoir :

«4 Ai -h aaA« -+- «3 As •*- a^hy

est le second déterminant écrit ci-dessus. Les autres

w(iiAi -+- ôiAî -♦- J»As -h Ô4A4), — n{diki -*- d%k% -*- d^k-i -h (Î4A4)

sont nulles, d'après la seconde propriété des mineurs. Donc, etc.

Cette propriété est d'une importance capitale dans le calcul des déterminants.

Remarque. Pour faciliter le langage, on peut appeler les lignes (horizontales), Hj, Hj, Hs, etc., les colonnes ou lignes verticales Vi, Vî, Vs, etc.

Exemples. 1. On a successivement

Le second déterminant se déduit du premier en retranchant des éléments de la première, de la deuxième, de la troisième colonne, respectivement 2, 3, 4 fois les éléments de la dernière. Le troisième déterminant se déduit du deuxième, en retranchant les éléments des trois premières colonnes de ceux de la dernière. « Toutes les fois que nous avons, comme dans le cas actuel, un déterminant dans lequel tous les éléments d'une même ligne sont égaux, nous pouvons en déduire, par soustraction, un autre déterminant dans lequel tous ceux d'une même ligne s'annulent, à l'exception d'un seul, et réduire ainsi le calcul à celui d'un déterminant d'ordre inférieur (Salmon). » Le reste du calcul est facile.

On peut toujours obtenir des éléments égaux (et même égaux à l'unité), dans une même ligne en procédant comme dans l'exemple du n*» 10.

IL 1^ On a successivement, si m ^= (b — a) (c — a) (d — a),

1 b—a b'—ab b'—ab*

le c* c'

1 c — a c' — ac c^ — ac'

1 d—a d*—ad d^—ad^

l—a b*—ab b^—ab*

c — a c' — ac 6' — ac*

d—a d'—ad d^—ad^

1 c — b c^ — bc

— bd

= (6 -- a) (c — a) (d — a) (c — b) (d ^b){d — c). On peut écrire ce résultat en abrégé, en représentant le déterminant primitif par sa première ligne entre crochets et par F (b — a), le produit des différences des quantités a, b, c, d,

[1, fl, a^a«] = P(ô — a).

Évidemment, en général,

identité d'où Cauchy a tiré la théorie des déterminants (Comp. n" 14, exemple).

2"^ On trouve de même

[1, a, a^, «*] = [1, û, aS a^'\(a -i- b -*- c -¥• d) [1, a, ûS a^ = [1, a, a*, a^] {a^-hb^-^c^-i-d^'^ab'^'ac-^ad'^bc-^bd-i'Cd) et ainsi de suite. On peut encore arriver à ces résultats comme il suit :

Posons (x — a)(x— V) {x — c)(x — d) = x^ -^ Vx'^ -»- Qx^ -*- Ra? -+- S, de sorte que P = —• («-v-J -4- c-4-(f), Q = ab-^- ac-^ ad-\-lc-^ld-^cd^ etc.; puis fl* "4- Pfl' -t- Qfl' -4- Rfl -4- S = 0, J* -h etc. = 0. Remplaçons dans [1, a, «% a*], «*, i*, c*, <?* par leurs valeurs tirées des dernières relations. Il viendra

[1, a, ûJ*, ûJ*.] = [1, «, a*, — Pa' — Qa« — Ra — S] = [1, a, a-, — Pfl«] = — P [1, a, a*, a»]

comme on le voit en ajoutant à la dernière colonne du deuxième déterminant, la première multipliée par S, la seconde multipliée par R, la troisième multipliée par Q. En remarquant que a^ = — Pa* — Q«' — RâJ^ — Sa, on trouve, de même,

[1, a, û% «»]= ~P[1, fl, a\ a*]—Q[l, a, a\ «'] = [!, a, a\ a'] {P«~ Q).

On peut calculer d'une manière analogue tous les déterminants de la forme [1, «?, a», a'', ...].

(a\hc^) = -5-

fli

(Il ttibi — ajfi UiCi — flîCi

{aibi) (atCi)

Dans (rtiJîCô) retranchez Vi multiplié par bi, de Vj multiplié par ai ; retranchez de même Vi multiplié par Ci de Vs multiplié par «i.

Cette remarque s'étend à un déterminant de degré n. Donc, si les déterminants du second degré (uibi), (aibz), ... (aid), (aiCs), ... etc., sont divisibles par k, le déterminant est divisible par k""* (Janni).

Exercices. 35. Généraliser la relation

fl-d

c-rf

= (a—d) (ô— c) -4- (ô— rf) (c— tf) -t- (c— rf) (tf - ^);

démontrer la relation (-i) du n» 18, ex. 34; puis celle du n*» 14, ex. 23.

36. Soient X = {a? — a) (a? — /3) (œ—y) ... ; Xn = (flf — «) (« — /5) (« — 7) ... ; Xa : {b — x)(b — ^) (b — y) ...; etc. Le déterminant

Xfi

Xrf

— etc.

est égal à (b — a) (c — a) (c — b) (d — a) {d — b) (d—c) ou à suivant que X est du troisième degré ou de degré inférieur. En mettant les déterminants du second membre sous forme de binômes, on trouve des identités remarquables, qui, géné-

ralis^es, équivalent aux principaux théorèmes du ch. XVI de la Géométrie supérieure de Chasles (V. Retali).

37. Généraliser les exercices 16, 17, 19 [de PIntroduction et les relations l»Sil.2...*.CÎ = «(tf-lj...(a-AH-l); .« = 1X1X1.2, (5 = «« — ^1 — «»o (Gomp. n» 31, ex. 91), on a

suivantes ; ~ 3«t -«- î

2» Si F = <»o^' "^ ''i^' "*" ''î^ ■♦- «3 = «0 ia?—a) (iZ? — fî) (û?— y).

(<.(*-«)Xl - 1 {c-b){d-e) \ '

a a ot

a b — fl b

— flt — *

= 2'.tfôcd;

**38. Démontrer que

I abc II xyz \=z\xbc \\ ayz \'\-\jfbc\\ xaz \'\-\%bc \\ xya \

Mettre préalablement les deux membres (ou l'ensemble de tous les termes réunis dans un seul membre) chacun sous forme d'un déterminant à six lignes au moyen du théorème de Laplace (exercice 33; comp. ex. 34).

^39. Si la somme des éléments de chaque ligne d'un déterminant symétrique est nulle, les mineurs correspondants à deux éléments adjacents et, par suite, tous les mineurs, sont égaux (Borchardt).