lo

sin a sin b sin c cos a cos b cos c

cos i(a -b) cos i(b — c) cos } (c — a)

cos i (a -*- *; cos i (ô -*- c) cos i (c -*- a)

sini(fl4-*) 8ini(ô-+-c) 8ini(c4-<ï) = 4 sin J (fl — b) sin i (* — c) sin i (c — a).

Poser, dans le second déterminant, a = sin i a, a' = cos J a, /S=sin i ô, iS'=cos J b, y = sin i c, y' = cos i c.

2^ Calculer les déterminants

jsinâ? sinSâ? sinSâ^l, Isin'â? sin^rcos^ cos^â?!

42 . Si, dans un déterminant, la somme des carrés des éléments de chaque ligne est égale à l'unité, et qu*en outre la somme des produits des éléments correspondants de deux lignes quelconques parallèles soit nulle, les mêmes relations ont lieu entre les éléments des colonnes. ^Le déterminant est égal à =b 1, et chaque mineur est égal, en valeur absolue, à l'élément correspondant (Voir n® 26, II).

*43. Un déterminant est nul si le rapport de la différence des éléments de deux colonnes à la différence des éléments de deux autres colonnes, est constant pour chaque ligne (Studmcka).

**44. Tout déterminant d'ordre n symétrique par rapport à son centre ou cpclosymétrique est le produit de deux déterminants d'ordre ^ n, ou d'ordre i(«-4-l),i(«-l). Ainsi

01 ht Cl rfi

Ot ht c% d% «1 -h tfi ht-^Ct \ I «1 — dt ht — Cl

dt c% bt a% ~ tf«-f-rf« ô«4-Cj| | | at — d% *«— c« rfi Cl ^1 ai

Parmi les déterminants cyclosymétriques , on distingue les bisymétriques dont les éléments sont symétriques par rapport aux deux diagonales (Comp. ex. 51).

*45. Hankel appelle orthosymétrique ou persymétrique un déterminant symétrique où tous les éléments des rangées parallèles à la seconde ou à la première diagonale sont égaux. Généraliser la relation suivante, due à Hankel et relative à

un déterminant orthosymétrique :

/ y =r a?i — ar; yi =• a?» — a?i; etc.

\ « = yt — y; ^i^y* — yi] etc.

j U = Zi-'Z\ Ui=i% — Zi.

\ V = Ux — U.

Il existe une formule analogue pour un déterminant quelconque (Studnicka). Appliquer la relation précédente à un déterminant de trois ou quatre lignes, les éléments étant les carrés ou les cubes des nombres 0, 1,2, 3.

*^46. On appelle orthosymétrique double ou circulant un déterminant orthosymétrique dont chaque ligne contient les mêmes éléments. Généraliser la formule suivante relative à un déterminant de cette espèce et où e est une des racines cubiques imaginaires de l'unité :

= (a? -+- y -♦- 2;) (a? -f- ey H- tH) (x -H eV -♦- £*2^).

Tout circulant d'ordre pair peut être rendu symétrique par rapport à son centre.

Si on change le signe de tous les éléments d'un circulant situés d'un côté de la diagonale principale, on obtient un circulant gauche. Les circulants gauches ont des propriétés analogues à celles des circulants.

**47. Trouver la valeur d'un circulant où les éléments a?i, œ^, ..., Xn sont égaux à 1 sauf a?i; à 0,sauf Xxy a?i; forment une progression arithmétique; ou géométrique; oùxk =:«i»*~* (Comp. Stern, Journal de Crelle-Borchardtj t. 73, pp. 374-380);

où xk = 'k*\ où xk — C08(a -+• Ad — b)\ où a?* = sin (a \-\b — b)\ où x^ = C

48. Démontrer la formule suivante et y faire a? = (Voir n» 10, Exemple) : —x y z u

**20. Propriétés d'un déterminant nul, I. Lorsqu'un déterminant est nul, la première propriété des mineurs (n° 16) et la seconde (n'* 18) sont exprimées par 1a seule équation

où j peut être supposé égal à ê, ou difîérent de i. Donc, il existe une relation linéaire entre les éléments ai;, a^;, ..., a„; d'une colonne'] qtcelconque. On a de même, pour les éléments fl^i, ayi, ,.., a;,, d'une ligne y quelconque

flyi A,l -4- û;^ A,2 -*-•••-+- ajn Ain = 0.

II. Réciproquement, s'il existe une même relation linéaire entre les éléments de chaque ligne ou de chaque colonne, le déterminant est nuL Soit, par exemple,

^1 aij -+• h a^ij -4- ••• -t- /„ a„j = 0, (N)

cette relation, pour les éléments d'une colonne j quelconque. Multiplions les éléments de la r'™« ligne par /,• supposé non nul, et ajoutons-y les éléments des autres lignes, multipliés respectivement par /i, h, .. ., In* Le déterminant, multiplié par /,, sera égal à un autre déterminant, dont les éléments de la ligne i^""-' seront tous nuls, d'après l'équation (N). Donc, etc.

m. Soit

/l an -H ).a 0^1 -4- ••• -♦- In ttni = 0,

h a\n H- îî^a» H- ••• -4- /n^nn^O;

je dis que l'on aura, si les mineurs ne sont pas tous nuls,

/i : /« : /g :•••:/!, == Ai4 : Aîi : Asi :

A4Î : A22 : As2 :

Ain : Aîn : Asn : • • : A„n.

Supposons, en effet, que >, soit différent de zéro, et considérons le mineur A,/,, obtenu en remplaçant dans R, les éléments de la colonne k

par 0, à rexception de aïk qui est remplacé par Tunité (n° 17, IV). Multiplions les éléments de la première ligne par >,. et ajoutons-y les éléments des autres lignes multipliés respectivement par ).2, as, ..., >„. La première ligne aura pour éléments, d'après les équations en >, Ju désignant le A'^"** élément,

Le produit ^lA,* est donc égal à hk ou /j, multiplié par le mineur correspondant AiA. Donc, h^ik -^ h^ih c'est-à-dire >i : >i == Aik : A,jt, ou bien Au, Aïk sont nuls à la fois.

Il résulte de cette démonstration que : 1° les mineurs correspondant aux éléments des colonnes (lignes) parallèles d'un déterminant nul, sont proportionnels y s'ils ne sont pas tous nuls. 2*» Les diverses relations linéaires qui existent entre les éléments des colonnes (ligvss) parallèles d'un pareil détermifiant ne sont pas vraiment distinctes et ne diffèrent que par un facteur constant. On remarquera le principe de cette démonstration, due à Janni. Au fond, elle revient à remplacer les éléments de la première colonne de A,a, par leurs valeurs tirées des équations en > ou (N). IV. Généralisation. Pour plus de brièveté, considérons le déterminant R =5 I abcde \ . l*' Soient Es = (aid^Czdt) = 0, — D^ = (athcse*) = 0, (fliJîCs) différent de zéro. D'après (20, III) les valeurs de X, |x, v, TT, qui vérifient

la^ -¥- i^a^ -H va, -+• r.a^ =-- 0, (1)

'kh^ -V- \xh^ -+- v5jj -f- -kI^ = 0, (2)

'kc^ -H aC, -♦- vCj -♦- m^ = 0, (3)

vérifient aussi

Id^ -*- [j^d^ 4- vd^ -V- Tid^ = 0, (4)

X^4 -*- [t.e^ -H ve^ -+- v:e^ = 0, (5)

à cause de {afi^c^d^)=0, {a^h^c^e^)=^0. De plus, si Ton fait 7r=(a,5jCg), quantité non nulle, A, p-., v ont une valeur unique. Les mineurs A5 = (p^o^d^e^), — B5 = [a^c^d^Cj^), C^ = [a^b^d.j^) sont nuls aussi, A5 = 0, par exemple, à cause des équations (2):3)(4)(5)(20, II), On écrit les relations A5 = Bg

: C5 == D5 = E5 == sous la forme

ou encore, en abrégé,

0==\\abcdelH (lignes 1234).

Ces relations entraînent d'ailleurs R = | abcde | = a? As •+- bsBs -h CaCs -*ifsDs -4- «sEs = 0, et il existe une même relation linéaire entre les éléments d'une colonne quelconque de ce déterminant nul. On a, en effet, p étant nul,

la^ -4- wfl, -H va, -4- Tifl^ H- ©«5=0, )vJ, -^-pég-»- vJj-^-TT&^-i-pJj^O, etc.

2° Soient (fli&sCs) = 0, (ûiW5) = 0, (aiJj«s) = 0, («iJ») différent de zéro. On prouve aisément que Ton a

Itti -^ fjat -♦- vaz = 0, )vJi -+- fxJt -♦- vis *= 0, >.c, -♦- ue^ -h v(?3 = 0, /rfj -♦- «eî, + vd^ = 0, i^, -♦- pa^ -♦- v«, = 0;

si y = (fliôî), ?. et a ont une valeur unique. Tous les déterminants obtenus en supprimant deux colonnes du tableau

rf,

sont nuls, ce qui peut s'écrire = H àbcde || (lignes 123); enfin, il existe une même relation linéaire entre les éléments de chaque colonne du déterminant nul | ahcde \ .

3" Soient (a,},) = 0, («,(;*) = 0, (fl,rf2) = 0, (Ai^î) = 0, «i non nul. On déduit de là que = || ûJc^ô || (lignes 12), qu'il existe une même relation entre les éléments de chaque colonne de ce déterminant rectangulaire et, par suite, du déterminant nul | àbcde \ .

V. En résumé, il existe au moins une mime relation linéaire de la forme (N) entre les éléments de chaque colonne (ou ligne) d'un déterminant nul. Donc (20, II), on peut mettre tout déterminant nul sous une forme telle que les éléments d'une certaine colonne (ou ligne) soient tous nuls (M. Falk), Par suite (propriété III), on peut faire en sorte qu'il en soit ainsi pour une colonne (ou une ligne) quelconque; et que (propriété V) les éléments d'une colonne (ou d'une ligne) soient un même multiple de ceux d'une ligne ou colonne parallèle.

Remarque. Plus bas (voir n» 30, IV), nous établirons de nouveau ce théorème et d'une manière plus complète.

ExBRCiGBB. ^49. Un déterminant symétrique (Ex. 25) est, en valeur absolue, un carré parfait par rapport aux éléments d'une ligne (ou colonne), si le mineur T correspondant à l'élément de cette ligne (colonne) situé sur la diagonale principale, est nul. Pour démontrer ce théorème, remarquer que les mineurs An de T sont tels que A„ = A„i de plus, parce que T est nul, (Ar,)* = ArrA„.

**50. Un déterminant symétrique gauche (Ex. 20, 26) de degré pair, est, en yaleur absolue, le carré d^une fonction rationnelle des éléments. Mettre (<&r -f- bif + cz)* sous forme d'un déterminant symétrique gauche.

Ces deux théorèmes peuvent être démontrés, d'une manière simple, par le procédé de Jannï (n« 20, III).

*^51. Si un déterminant symétrique gauche de degré 2« est symétrique par rapport à sa seconde diagonale, on peut le mettre sous forme de carré d'un déterminant de degré «, en ajoutant à chaque j''*™* ligne ou colonne (g- == ou < n), la {2n — q-^ !)*"»« (S. Gûnther) (Comp. ex. 44).

**52. Le déterminant S formé par les Atjt, savoir (An Am ... A„«) s'appelle le déterminant adjoint ou réciproque de R = {an ûft» ... an»). Il s'annule, ainsi que ses mineurs, les mineurs de ceux-ci, etc., en même temps que R (n"> 14, corollaire, et 30, III). Par suite, S et ses mineurs contiennent R en facteur, autant de fois qu'ils ont de lignes moins une (n« 19, III). On en conclut que S est égal à R""* (Caucby) (Comp. n*> 25, ex. 67). Le déterminant ac^joint ne change pas si l'on remplace chaque mineur Atit, par le complément algébrique (— 1)»+* A»jfc (n® 15, ex. 27) de aik (n« 9, ex. 15).

m. Sommes et produits de déterminants.

M. Notation nouvelle pour les déterminants. I. Nous représentons, dans ce paragraphe, les déterminants où les indices des colonnes sont remplacés par des lettres, au moyen de la série de ces lettres, placées entre deux traits verticaux. Ainsi

\ abc \ =^

Au moyen de cette notation, voici comment on peut exprimer les propriétés I, III, IV, V, pour le déterminant précédent :

I ma, l, c, I ou I (ma)bc \ =^m \ abc \ \ (1)

\dbc\ ^= — \ach \ ^ \ cal \ = ^ \hac\ = \hca\ = — \ cha\ ; (3)

\aac\=-ù\\ahb\=0', etc. (4)

I a -H mh, h, c \ on \ {a -*■ mb)ic | == | «^c | . (5)

II. Considérons la permutation principale abcde d'un certain nombre

fli

de lettres, et une autre permutation quelconque baedc. On passera du déterminant R = | àbcde \ au déterminant R' = | baedc | , par un nombre d'échanges de colonnes, égal au nombre d'échanges d'éléments qui permettent de déduire la permutation baedc de abcde. Selon que ces deux permutations sont ou ne sont pas de même classe, ce nombre est pair ou impair, et, par suite, R et R' sont ou ne sont pas de même signe. Les égalités (3) données ci-dessus sont une application de cette remarque. III. Considérons un déterminant

I (3iJ, ajfl, îr.e, ^Ad, ysC \ ,

où tous les éléments d'une même colonne sont multipliés par un même facteur désigné par la lettre grecque correspondant à la lettre ordinaire qui caractérise la colonne; de plus, cette lettre grecque a un indice égal au rang de cette colonne. Ce déterminant sera

(3iasei5iy5 I baedc \ = =fc (3iflfi635475 | abcde \ ,

le signe -*- ou le signe — convenant, selon que baedc ou jSas^y est ou n'est pas une permutation paire.

2^. Propriété VI. Si tous les éléments d'une colonne [ou d'une ligne) d'un déterminant S07it des polynômes de m termes, ce déterminant est égal à la somme de m détei^minants obtenus en remplaçant y dans le déterminant primitif j successivement chaque polynôme par chacun de ses termes.

Il suflSt de démontrer ce théorème dans le cas d'un déterminant de neuf éléments. Soient, par exemple :

ai •= a\ •+- a[' -f- ûj/", a^ =••= a'^ h- a^' -v- a,'", a^ = a'j -+- a'^' + a'^ On aura :

I a' -\- a" -*- a'", ô, c | = | (a' + a" h- a"') bc \ =

I a'bc I -f- I a"bc \ -+- | a'^bc \ . (6)

En effet, le premier de ces déterminants est égal à

les autres sont respectivement, égaux à

a; A, -4- ai A, -4- a/ A,, a;' A, -4- a', A\ -^ ai: A3, a[''k, -4- ^"A, -4- ^'A,.

Corollaire. Si les éléments de plusieurs colonnes (ou lignes) sont des

polynômes, on pourra appliqtier plusieurs fois le mode de décomposition donne' par le théorème précédent. Ainsi

^Remarque. La propriété V est un corollaire des propriétés I, IV, VI. On pourrait même aussi déduire la propriété I de VI, en supposant successivement k (n" 10), entier, fractionnaire, incommensurable (Voir la note du n" 10).

ExERCiCBS. 53. Décomposer