On a

I fl-Htf'a?-4-tf"a?%ô,c I = I er,ô,c | -f-a? | a',b,c \ 4- a?» | a",b,c \ .

«3. Résumé mnémonique des propriétés (I), (IV), (V), (VI). Pour retrouver les égalités (1), (6), (6'), il suffit de mettre entre des traits verticaux, les différents termes de celles-ci, m excepté,

(ma)bc = m.abc,

(a' -+• a" H- a"')ic =^ a'dc -*- a"lc -»- a'"ôc,

{a' 4- fl") (J' -+- V') ^ a'I' 4- a'h" + (i"5' 4- a"S",

où le second membre est formé en effectuant la multiplication indiquée dans le premier, sans interversion de facteurs,

La même règle suffit pour retenir la propriété (5), pourvu que, conformément à la propriété (4), l'on remplace par zéro tout produit où une même lettre se rencontre deux fois. Ainsi

I [a -H mV)bc | = | «Je | -4- w | Me | = | aJc | -4- = | ûjJc | .

La règle précédente permet de calculer très rapidement certains déterminants. Par exemple,

\ a -^ l.h -^ c, c -^ a \ =^'' \ aie \ '\- \ Ica \ = 2 \ abc \\ I a — ô, ô — c, c — ûJ I = I fl^c I — I Jctf I =* 0.

Exercices. 56. Chercher, quand S = ûf-4-ô-HC-i- •••, I S-a, S — ô. S — c, ... I .

57. Trouver la valeur de | « -+- a, * -H /3, c -+- y | . En particulier, généraliser les relations :

Cl «5 Ci «I

■ ^yc$ •+• yzai -h ^xb^ ■+■ xy% =

ai à, àz

c, -+-tfj

if*-»

- (^ib%c^

Faire a? = y = a?, et supposer gauche le déterminant donné. 58. Généraliser la relation suivante (Brioschi) :

a^bi — aib^ b^d — btC^ c^di — Ctd^ «3*1 — aib^ b^Ci — btC^ c^di — Cid^ a^bi — Uxbi b^c^ — biC^ c^di — Ctd^

= — biCi 2 ± dib^c^di •

%4, Propriété VU. Le produit de deux déterminants de degré n peut se mettre sous forme d'un autre déterminant de degré n, dont les éléments sont les sommes des produits des éléments- de chaque ligne ou de chaque colonne du premier^ far les. éléments correspondants de chaque ligne ou de chaque colonne du second (Comparez, n" 25, ex. 68; n" 29, ex. 80). Ainsi, soient^ = mn,

a. pi

On aura

aiOCi -+- bi^i

aiOLi -♦- Jiat tf2ai -♦- btOLt

fl2pl -^ JlP«

bidi -H bi^i

«iaa -H «2p2

biCLi + 02(32

aiOii -♦- «2a2

«,[34 -♦- at^t

Il suffit de démontrer ce théorème, comme on va le voir, pour deux déterminants de neuf éléments

abc

cc^

Leur produit est le déterminant

p = I aai -+- 5(3i -+- cyiy aa^ -+- 5^2 -♦- C72, axz ■+■ b^z -+- cyz \

Djgitlzed by VjOOQIC

formé d*après la règle précédente. En effet, d'après le n^ 23, pour trouver P, il suffit de chercher les termes du produit

P' =s [ooLi -♦- J|3i -♦- cyO (oai -H JjSî -*- ey%) («as -h J3» -♦- cy») sans intervertir Tordre des facteurs, d'égaler à zéro ceux où il y a plus d'une fois l'un des facteurs a, h, c; et, enfin, de mettre entre traits verticaux les termes restants, pour les transformer en déterminants. Or, le produit P' contient vingt-sept termes, que Ton obtiendra en écrivant toutes les permutations, avec répétitions, des lettres aie, et mettant à côté de ces lettres les lettres grecques correspondantes, affectées d'un indice convenable. Si Ton supprime de ces permutations toutes celles où il 7 a répétition, il restera les six permutations sans répétition, des lettres a, h, e, auxquelles correspondront les six déterminants partiels : «1^475 I aJc I -♦- aiyjps I acJ I 4- yiat^z \ cab \ -♦- (3ia«75 I ôûc I -+- pnyia^ \bca\ -^ 7ip2«s \ cba \ . Chacun des déterminants \ acb \ , \ cab \ ,.,., est égal à + \abc\0VL—- \ abc \ , selon que la permutation correspondante acb ou ay|3, cab ou ya[3, ... est paire ou impaire. Donc,

ou encore

P=|a*c| la(3yl.

Autre forme de la même démonstration. Soit A (&41 bn biz), G =a {ch Cis Css), Cki = «il Jjfei -♦- Alt Jm décomposer C en 27 déterminants

(«Il a%i (Zss), B <= «is Ja3. On pourra

«ipôjp aî,Ji,

«3r&lr

aipbip a^biq

airbir

aipb^p Oiqhq

• «IpOifl^Sr

Jlp blq blr bip Ôi, &ir

bzp bzq bzr

oùp, j', r doivent recevoir les valeurs 1, 2. 3. Si deux quantités p, q, r sont égales, le déterminant correspondant est nul ; si pqr est une permutation paire de 1, 2, 3, le second membre est égal à B multiplié par aip aiq azry terme de A correspondant à cette permutation paire; si pqr est une permutation impaire de 1, 2, 3, le second membre est égal à B multiplié par — a\p biq Csr, terme de A correspondant à cette permutation impaire. Donc, aisément G = B x 1 zt aiia^ a^ = AB. BxBRCiCES. 59. En posant, dans la relation p =^mn^ » = |/— 1 et

<ïi = r -+- 51 , — tf j = ^ -f- tt», at 1= p -H fft, — off = T -H ut,

ô> î= r — 8i, bt = t — uiy /?! = p — (jt, ^1 = T — viy

on trouve ce théorème d'EuLER : Le produit de deux sommes de quatre carrés peut, de quatre manières différentes, se mettre sous la forme d'une somme de quatre carrés, 60. 1* Le produit de deux nombres de la forme

x^ -^y^-\-z^ — ^coyz =

peut se mettre sous la même forme (J. Petersen). ^En général, le produit de deux circulants est un circulant (Souillart) 2« Mettre sous forme de produits de deux déterminants les expressions :

aco. -hcz.

fXi -+-^2,

««-4-ÔC

dy^

fx^ -4- gzst^

hc-^de.

dyz

de-^P

axt + ôy^ -H c2Jj

«5. Applications. I. Aire au triangle (Comp. n" 29, exemple). 1° Considérons trois systèmes de coordonnées rectangulaires, le second ayant même origine que le premier et faisant avec lui un angle a, le troisième parallèle au second, mais ayant une autre origine. Soient, dans ces trois systèmes,

{^^ = 0, y;, =0; Xi=0. ¥, = 0; Xk, Vk),

(?2, yîî = 0; Xî, Ya; ûJj, y^,

(Çs' '^z\ Xj, Y^; a?5, ^s),

les coordonnées de trois points 1,2, 3; eiia, (^«s, dzi les carrés de leurs

distances mutuelles ; T Taire du triangle 123, en valeur absolue. On aura,

successivement, pour la valeur de 2T,

Xj cosa — Xj cosa—"

X, Yj

COS a — sin a

sint

cos a

Y3 sin a X, Yî

Xs sin a -4- Y, cosa

X% — Xk

2° On a encore 2T =

Xr.—X,

VT^ — Vi

En multipliant ces deux expressions, on trouve

1 «.«.-«-y.yt «î-^yî «,*.+y,y.

Multiplions les trois dernières lignes par — 2, divisons la première colonne par — 2; ajoutons la première colonne et la première ligne, successivement multipliées par («J-t-yJ), («J+yJ), (a'î + yî), respectivement aux trois dernières colonnes et aux trois dernières lignes. Il viendra

1 rf,. d„ 1 d,, d,, 1 d„ d„

d'où la formule connue :T* •^p(p-a){p-b) (p— 6) ; a' = «f, ,, 6* =rfs, , e* = <r,„ 2j> = « -*- J -♦- c (N" 10, 19, ex. 48).

3° En égalant ce déterminant à zéro, on trouve la condition pour que les points 1, 2, 3 soient en ligne droite.

4' On trouve de même, pour deux triangles A«Â«As, A', A^Â', dont les sommets ont respectivement pour coordonnées {Wt, yi) {xt, y«) {Xi, ys), (*î> yi) (*if y«)» (*î» *ï) ®* **ont les aires sont T, T',