TT'R

^*III. Le produit des équations en >

est une équation de même forme, en >.*, qui peut s'écrire

/.« - U* + M).» — N = 0; les coefiicientâ L, M, N sont positifs, comme on peut s'en assurer. D'après la règle de Descartes, la dernière équation ne donne pas pour à* de valeur négative. On en conclut que les premières ne peuvent avoir de racine de la forme s^ — 1 ; puis, qu elles ne peuvent avoir de racine imaginaire de la forme r -+- * y — 1, comme on le voit en remplaçant a, h, e par a — r,b —r,c — r (Sylvester).

Exercices. 61. Trouver, pour le tétraèdre, les formules analogues à celles qui sont données pour le triangle.

"^62. La relation qui existe entre les distances deux à deux de quatre points dans un plan s'obtient en effectuant le produit nul

On peut trouver de même une relation entre les distances A Â, = V^drt de deux

groupes de quatre points (Â,, Aj, A3, A4), (Aj, A^, A3, A4) dans le plan; de

cinq points dans l'espace, ou de deux groupes de cinq points dans l'espace. Si Ton

remplace Xr, yr dans (1) par (Xri a, yr : ^), et que Ton suppose les quatre points

sur l'ellipse ayant pour équation -—-h --r = 1, on trouve

-ar4

^î-^yî

IS

= 0, >r. Dr* = drt

Dr» étant la longueur du diamètre parallèle à ArA*, d,, = (ArA.)' (Bbioschi).

^'^63 Bn effaçant une ligne et une colonne dans les déterminants qui, égalés à zéro, expriment les conditions demandées ex. 62, on trouve la condition pour que quatre points soient sur un cercle, ou que cinq peints soient sur une sphère, en fonction des distances de ces points (Comp. n» 14, ex. 22).

■^ *64. La relation qui existe entre les arcs joignant quatre points sur une sphère, de rayon égal à l'unité, s'obtient en effectuant le carré nul | cos tf , cos A, cos c, 0|*, cos ai, cos bi, cos c;, (j = 1, 2, 3, 4) désignant les coordonnées des quatre points.

^^^65. L'aire T d'un triangle ayant pour côtés a, b^ c, inscrit à une ellipse dont les axes sont 2A et2B, est donnée par la formule

4T, a'b't/ = AB abc,

où 2a' f 2b\ 2c' sont les diamètres parallèles ku,b,c (Joachimsthal). Pour obtenir ce résultat, on fait le produit des déternainants

ab'

£ y il ^