A' B'M' AB

On peut trouver une relation analogue donnant le produit de Taire de deux triangles différents inscrits à l'ellipse; ou la valeur de T pour un triangle circonscrit à l'ellipse, ou conjugué à PelJipse (J, Neuberg).

L'aire d'un triangle inscrit à la parabole ou à l'hyperbole équilatère peut s'obtenir aisément par le théorème de Cauchy (n» 19, Exemple II, 1«).

66. Démontrer les théorèmes n» 16, ex. 16 de Vlntroduction et n» 23, ex. 58, par multiplication de deux déterminants.

67. I. Le déterminant p= | A, B, C, ... | ayant pour éléments les mineuïs du déterminant R = |a, d, c, ...|, de n* éléments, s'appelle le déterminant adjoint de R (n* 20, ex. 52). On a Rp = R", p = R"-* ; p s'annule si R = 0,

*II. Les mineurs de p jouissent de propriétés analogues (comp. n« 29, ex. 79) (Cauchy). En particulier, généraliser la relation suivante :

Di

ou

«î *2 Cî «s *S C3

ou

b% Ci h C5

La relation analogue, pour un déterminant de «'^n™e ordre, peut servir à le calculer au moyen de 4 mineurs de degré (n — 1) et d'un mineur de mineur de degré (n — 2) (Studnicka). En posant Ai = [tfi], Di=:[di], etc., ôjCj — Ô3C, = [aiû^i], on peut écrire le théorème précédent :

Ce théorème est très utile, dans la théorie des moindres carrés, pour transformer l'expression du carré de l'erreur moyenne de chaque inconnue (J.W. L. Glaisher)., Si, en particulier, D4 = et dt r=ûP, di = y, û^a = ^, ^4 = X, Ô4 = Y, C4 = Z, il permet de voir que R' est lin produit de la forme (mx-^njf-\'pz) (MX -*- NY + PZ) (Çomp» Ex. 49, 50) (LiNDELÔF)»: .

^^III. Le produit de deux déterminants adjoints est le déterminant adjoint du produit des deux déterminants prinaitifs (Comp. n» 27, ex. 74).

68 Généraliser la relation suivante :

at bi

\ab\\^^\ =

at bi

* ¥■ Ut fit

/Si

¥■ V ai ^,

«t àt fli«i -+- *i«i

et en déduire la règle de la multiplication des déterminants (P. Goedan) (Comp. n» 17, ex. 33; coroll.). **La première forme du produit peut se mettre sous forme de déterminant cyclosymétrique (Ex. 44) (Mum).

96. Corollaires. I. Le produit d*an nombre quelconque de déterminants est un déterminant dont le degré ne surpasse pas le plus élevé n des degrés des déterminants donnés, et dont les éléments sont des fonctions rationnelles et entières des éléments donnés. En effet, on peut mettre tous ces déterminants sous forme de déterminants du n'*"* degré (n® 17, III), et alors multiplier le premier par le second, le produit par le troisième, et ainsi de suite. On trouve de cette manière

I (^ic\\pq I = I a, 2|pi H- cçi, Ipt -^ cy« | .

II. Le carré d'un déterminant est un déterminant symétrique. Ainsi le carré de | abc \ est égal à

Ci Ci ai a% -+- hi Sj 1% h\

Qi as -+- Si ii -+-

tti a« -^ biii -^ Ci c%

a* -+- SJ -+- c]

ai ffs -♦- J« J- -♦- Ci Cs

fli «s -*■ Ss Jj -♦-

ai az ' a% as

Ci Ci CjCs

CfCi,

Pour démontrer cette propriété d*une manière générale, il suffit de calculer la valeur de deux éléments Cik » Cki dans le déterminant

2 dr Cii Cu ... C»n = (2 db du On ... a»»)'.

III. Le carré d'ud déterminant peut être mis sous /07*me de déterminant symétrique gauche (H. Webbr). Pour le voir, il suffit d'effectuer le produit

I a,h,c,dye,f... \ x | J,— fl, i,— c,/, — ^, ... | .

'^''^ Autrement. On met sous forme de déterminant cyclosymétrique à diagonale nulle le produit d'un déterminant par ce déterminant où Ton a changé les lignes en colonnes et les colonnes en lignes et changé le signe

de tous les éléments (Voir Ex. 44 et 68); puis Ton change le signe des éléments de la seconde moitié des lignes du déterminant cjclosymétrique (Muir).

Exercices. 69 Si s^ = o" -h à* f- ••• -♦- /",

le nombre N des quantités «i, ôi, ... étant n -4- 1.

70. 1» Si (at,bt,Ct), (aa/i,Ct), (as^^sjCs) sont les cosinus des angles que trois droites issues d'un même point forment avec trois axes rectangulaires et si ', /<, v sont les angles que ces droites font entre elles, on a

I aèc I* = l — cos'X — cosV — cos'v -t- 2 cos / cos /* cos v.

2o Chercher le produit \ abc \ \ a' b' c' \ de deux déterminants analogues.

71. Toute puissance entière positive d'un déterminant symétrique est un déterminant symétrique.

«1. Généralisation de la propriété VII» I. Un déterminant à trois lignes, tel que

I aoLi -¥- ^(3| , axt H- Jjjj , aoL^ -+- ^ps | , est nul comme étant égal à | a, S, | j a, (3, | (Comp. Ex. 62 et 64). II. Le déterminant à trois lignes \ m, n,p,q \ , où

p=:a^^ -f- i|65 -+- c/s -H ddzf g = aa^ ■+- hPi -f- cy* -^ d^A,

est égal à la somme des produits des déterminants partiels correspondants aux combinaisons sans répétition, trois à trois, des quatre lettres (a, ft, C, d) (a, p. 7, (î) (Comp. ex. 54).

On représente souvent les déterminants analogues aux précédents comme il suit :

ai h

«1 h{ Ci di

«1 |3i 71 Si

Oit P«

Ai ht Ct dt

a« Pi y% Si

as h

ttz hz Cs ds

as ps ys <îs

Les tableaux placés entre doubles barres s'appellent déterminants incomplets} pris à part ils n'ont aucune signification. On écrit quelquefois,

comme on Ta va au n^ 20 ,

I Ci h €i dt f

ot h et it \ =laicdl (lignes 123) =0,

t«i ^il* 1*1 ci

tfs ^9 ^t ifs li

pour indiquer que chacun des déterminants formés par trois colonnes du tableau rectangulaire est nul.

BxsRCiCBS. 72. Identité db Lagrangb. GénéraliBer la relation

I <î^l<»« -♦- ^i^s -H «i^i flP| -4- Ô| -♦- Cj

Bi l'on fait, dan» cette égalité, at = w, ôi = «, Ci = ;?,«, = fnx-*-m'y bt = fiâ?+n% Ct = j[7J?'f- y, elle donne immédiatement le moyen de déterminer la valeur de û? qui rend S =: âf| -f- ô| -4-c| minima. Si tf, =«w?-*- «l'y i-i»", A, =*«?-♦-«>-♦- n", c§ = pa>-^-p'y-¥-p", on trouve le minimum de S, en faisant tfi = (np' — n», ^1 = {;7m' --p^m), Ci = (m»' — w'«) (Hermite).

*73. Généraliser Texercioe 69 du n« précédent, pour N > n -4- 1.

'^'^74. 1" Hi («uûfjs^sj) X (<^ii*iîÔ33) =(Ci,c»,C33), les relations entre les mineurs A, B, C sont identiques à celles qui existent entre les éléments^ les grandes lettres remplaçant les petites. Ce théorème est vrai pour deux déterminants quelconque» (Cauchy) (Comp. n» 25, ex. 67, III).

2» Loi des compléments algébriques. On tire de 67, II, le théorème plus général : HMl existe une relation identique entre certains mineurs d'un ou plusieurs déterminants, ou entre ces déterminants et leurs mineurs, on pourra remplacer chaque mineur par son complément algébrique (n» 15, ex. 27) multiplié par une puissance convenable du déterminant correspondant (Caylky). Exemple : De

(âPi dt ei) = ei (tf 1 rfi) — et (ai d^) -h et (a» ds) on déduit . *

(*jC i) (a i^iCsrf^tf b) = (a^ b^c^d^) {b^c^e^) - (aib^c^d^ ) (b^c^è^) -t- (tf s^sMs) (*3C4«i )• La démonstration du théorème g<^néral se déduit de ces remarques : a) La relation donnée e^ii^iQ identiquement si l'on remplace les déterminants donnés par \ leurs adjoints, b) Chaque mineur d'un déterminant adjoint peut être remplacé par . le produit de ce déterminant par un mineur du déterminant primitif (Ex. 67, II). 3« Tout déterminant étant un mineur d'un déterminant d'ordre plus élevé, on peut, de toute identité A entre déterminants et leurs mineurs, en déduire une C ' entre les mineurs de déterminants A plus élevés; car, de l'identité B, déduite de A, par la loi des compléments algébriques, on peut déduire C, par la même loi, en regardant les déterminants et les mineurs qui entreift dans B, comme mineurs des déterminants A (Muir).