I. Bésolution des équations linéaires

9S. Conditions néceuaires et si^antes pour que des expressions du premier degré aient entre elles des relations linéaires. Soient Fj = a\x + hip -♦- dz-^dit— ei (t=l, 2, 3, 4, 5), les expressions considérées. I. Conditions nécessaires, 1" Soit F4 = wFi -t- n¥t -^ pFi -+- j'F4, c'est-à-dire,

as = mai -+- na% h- pa-. h- qaA, b^ = wJi -+- wij -*- j?&, -♦- jj*, etc. (c) Dans cette hypothèse, | abcde \ = 0, car la cinquième ligne de ce

déterminant est égale à la somme des quatre premières, multipliées

respectivement par w, n, p, q,

2" Soit F4 = wFi -\- wFî -♦- ^Fs. On trouve de même,

I aUd I = 0, I aicij I = 0, I ahde | =- 0, ! acde | = 0, | Sce?« | = 0,

relations qui peuvent s'écrire = || ahcde || (lignes 1234), d'après la convention du n" 20.

30 Si Fs -= m¥i -+- »Fî, on a == || ahcde \\ (lignes 123).

Ar Enfin si Fj = wF,, = || ahcde \\ (lignes 12).

II. 1" Soient | ahcde \ --= 0, [aibiCzd^) différent de zéro. On a

\ahcd¥\ = \abcda\x -t- \ahcdh\y -♦- \ahcdc\z -^ \ahcdd\t — \ahcde\ v= 0, puis, en ordonnant par rapport aux éléments de la dernière colonne,

(aJ>7iGkd^)¥K — (fliftsC^rfslF, -+- {axbtcJsW^i — [aKh%c-M)¥A H- («i^sCse^OFa = I ahcdF \ = 0,

équation qui-, divisée par (fliJjCsi*), quantité non nulle, donne pour F5, une valeur de la forme îwFi -\- wFî -\- p¥z -\- q¥A\ il résulte de là (I, V) que = I ahcde \ . D'ailleurs, les expressions Fi, F«, F», F* n'ont entre elles aucune relation linéaire, car si elles en avaient une, on aurait {a\htCi)di, = 0.

2" Soient | ahcd I = 0, | ahce \ = 0, (ûift^Cs) différent de zéro. La considération de l'expression | ahc¥ |, qui est nulle, en vertu des hypothèses, donne F* = m¥i -♦- n¥.t -h pFzy Fi, F«, Fs n'étant liées par aucune relation linéaire. On a, d'ailleurs, = || ahcie [| (lignes 1234) (I, 2").

3«* Si I aJc I =0, I aM i =0, | aie \ =0, {a\bt) non nul, on a F, « wFi -♦- nF„ = Il ahcde || (lignes 123).

4'» Enfin. | ûi | « 0. | ac | ^ 0, j ai j == 0, | ad | = 0, a, non nul, entraînent Fj = wFi, = || flJcéfo || (lignes 12).

On peut démontrer ces propositions réciproques d'une manière un peu différente, en s'appuyant sur les théorèmes du n" 20, comme il est aisé de le voir. Ainsi, d'après ce n* 20, les hypothèses de II, 1» sont équivalentes aux équations (c), lesquelles donnent immédiatement F» = wFi -*nF, 4- joFs -4- j'F*.

99. Résolution des équations linéaires. Cas général : Le déterminant des coefficients des inconnues n'est pas nul. I. Résolution, Il suffira de considérer quatre équations

Fi = 0, ou aiX -*- hiy -^ C\Z -\- d\i =^e\, (li)

Fî = 0, » a^x -+- l<iy -♦- CtZ -+- dtt ^ ^», (1«)

Fs = 0, » «sa? H- isy -t- Cs^: -+- dr^t = «s, (Is)

Soient R«= | ahcd \ , Ai, 61,..., D4 ses mineurs. Supposons R différent de zéro et, par suite (n" 28), F|, Fj, Fs, F* non liés par une relation linéaire. Multiplions les équations (1) respectivement par Ai, As, As, A4, et ajoutons les résultats; puis par Bi, Bj, B3, B4, et ajoutons encore les résultats; et ainsi de suite. Nous trouverons, d*après les deux propriétés des mineurs, en divisant par R,

Nous appelons Ri, R», Rs, R4 les déterminants obtenus en remplaçant les éléments de la 1", de la 2«, de la 3« ou de la 4* colonne de R, par lès seconds membres des équations données. Il résulte de ce qui précède que tout système de valeurs de x,y, z, t vérifiant les équations (1), vérifie aussi les équations (2).

«iA| -+- «lAî -»- «sAs + e*A.t 1 ebed |

«lAi-*- «sAjH- «jAs-t-fliA* \ (d>cd \

«iBi -+- «îB* -»- «îBj -t-CtB* 1 aecd \

~" btBi -+- biBî -*■ J3B5 ■^btB^ ~~ 1 abcd |

«iCr ■+■ «jCj -+- «sCs -•- etCt 1 abed |

^ cCi -t- CîCi -H CjCj -+- C4C4 1 aicd |

«iDi -+- «jDj -»- «sDj -f- ««D* 1 ûice |

~ d,D, -t- rfjDi -»- rfsDs -t- rf«D« ^ 1 abcd |

Comme Gauss Ta remarqué {Disquisiiiones, n? 37, 4», note), il faut, pour achever la résolution du système (1), prouver que, réciproquement, les valeurs de x, y, z, t, qui vérifient les équations (2), vérifient aussi les équations (l). Pour cela, substituons les valeurs (2) dans les équations (1), et, pour abréger, seulement dans (1^), par exemple. Le premier membre de celle-ci deviendra, par la substitution,

(a^Ri -h hKt -♦- C4RS -♦- dA^) : R.

Le numérateur de cette fraction est égal à

«^(tfiAi H- e«At -♦- ^sAj -¥ ^4 A4) -♦- 64(^161 -*- ^jBi -♦- ^sBs -♦- ^484) H- Ck{ei(ji -+- ««Cj -*- «sj -♦- 0^404) H- dk(e%l>i -+- e%T>t -♦- e^ù^ -+- ei\)%) En ordonnant par rapport à «, , 0,, 0,, e^j il devient :

^i(a4Ai -♦- 6481 -4- (;4C4 -♦- d^l^i) •¥- ^t(fl4At -♦- h^^^ -♦- cSj^ 4- ^4^1) H- «5 («4 A» -I- J4BS -♦- <;4C5 -4- 44^5) 4- «4(^4 A4 -*- ^4B4 -♦- C4C4 -♦- ^41)4),

ou, d*après les deux propriétés des mineurs, ^^R. Le premier membre de (1^), après substitution des valeurs (2)^ est dono égal à ^^R : R, o*est-à-dire, au second membre. Donc, etc.

IL Conditions pour qu'une cinquième équation^ Fs = 0, soit vérifiée par les valeurs (2). Pour que (I5) a^x -¥- h^y -4- az -4- d^y — e« = 0, soit compatible avec (1,) (1,) (l,) (1^), il faut et il suffit que Ton ait successivement, diaprés ce qui précède,

Ri , R« Rs , R4 -.

*'r"^ 'r'^'^'r""*' Rr""^'"^ '

as I ébcd I + As I aecd | -4- Cs | ahed \ -^ d^\ àbee | — ^5 | abcd \ = 0, — as I hede | -1- S5 | acde | — c» | abde [ -^ ds \ abce \ —e$ \ abcd | =^ 0,

I abcde \ » 0.

On déduit de là F^ = wF, -♦- «F, -^-pF^, 4- jF^ (28, II, !•).

La relation | abcde | = est le résultat de Télimination de x,jf,z, t entre (I J (1,) (I3) (1^) (I5) ou la résultante de ces équations; | abcde \ en est appelé V éliminant. L'éliminant d'un système d'équations linéaires est donc l'expression gui, égalée à zéro, donne la condition nécessaire et suffisante pour qu'elles soient compatibles.

III. Cas des équations homogènes. Si les équations données sont homogènes, c'est-à-dire si e^ = e^=' e^=^^e^=»0, on trouve x=y=^z = i=0, çompflÇ spuLE solution, d^ns \e cas actuel ^^ où ( abcd [ est différent d(i

zéro. Réciproquement, siaf^=By^==z = 1=^0 est une solution, | abed \ étant différent de zéro, on a, d*après les équations (l), e^ == e^'=^e^==^ ^i = 0, et il n'y a pas, par conséquent, d'autre solution.

lY. Autre forme donnée aux résultats précédents, Vosona

pa? -4- Ç = 0, py + y) = 0, p2; -4- Ç = 0, p/ -♦- T « 0,

p étant une quantité non nulle quelconque, par laquelle on multiplie les équations (1). Celles-ci prendront la forme homogène

ail -*- Si'î -♦- Cit, H- diT -♦- tfip = 0, Oil -¥- Jj/i H- CtÇ -4- d%T H- ^îp = 0, tfxS -4- Js/) -♦- CsÇ -♦- dzT H- «8p = 0,

«4$ -*- ^4Vî -♦- CiÇ -4- rfiT -*- ^4p = 0.

On aura

— yî

abcd

I aede \ | ai^tf | | abce .

Donc, Ç, — 7), Ç, — , r, p sont proportionnelles aux déterminants obtenus en supprimant la !'•, la 2; la 3«, la 4« ou la 5« colonne du tableau

aé

Ct Cé

tti d, d, d.

et et es eA

II abcde \\ (lignes 1234)

des coefficients de ces équations homogènes.

Pour que aA •*- bjn -♦- c^Ç

e^p = soit compatible avec les

autres équations homogènes, i abcd \ n'étant pas nul, el p quelconque, il faut et il suffit que | abcde \ = 0. Cette relation est encore la résultante des cinq équations et | a^c^« j en est IV/mina»/.

V. Exemple. Soient (a?i, yO (^î, y«) {^s» y»)' l^s coordonnées des sommets d*un triangle dont les côtés ont pour équations

UiX -^ biy -♦- Cl =s 0, atx -t- bty -♦- c« = 0, a^x -♦- J»y -+- Cs =*= 0.

Posons r = (fliJîC5) et appelons Ai, B4, ,.,05, les mineurs de r. On aura

—Ct

— Cs

Cs' ^ '

Le double de l'aire du triangle est, en valeur absolue (n° 25, et ex. 67, 1),

CiCtCs

CiCîCj

Les sommets ont pour équations tangeniielîes Ai« -+- Bit? -H Ci = 0, Aiw -+- BjD -♦- Cj = 0, Astt -♦- B^v -*- Cs « 0.

Exercices. '75. !<> Généraliser les exercices 14 et 15 de Tlntroduction. 2o Résoudre les équations x sin ai -¥■ y sin %ai •«- z sin 3ai = sin 4<it (» = 1, 2, 3).

76. Trouver le volume d'un tétraèdre, les équations des quatre faces étant données.

"^^Tl. Trouver les formules de transformation des coordonnées trilinéaires, ponctuelles ou tangentielles , en coordonnées cartésiennes, les équations du triangle de référence étant données.

**78. Pour résoudre approûpimaiivement des équations linéaires où le nombre des inconnues est moindre que celui des équations, par exemple, les 5 équations à 3 inconnues

a^œ. -i- bpp H- Cj^ = dp, (l^ — 1 > 2,. 3, 4, 5)

les coefficients ap^bp^Cp, dp n'étant eux-mêmes connus qu'approximativement, on est convenu d'opérer comme il suit (Méthode des moindres carrés), : on multiplie d*abord ces équations respectivement par ai,ai,ai, a^^a^ et on les nyoute; puis, par ^1, b%y as, èi, bs et on les ajoute; enfin, par Ci, Ca, Cs, 64, C5 et on les ajoute. Alors on résout les trois équations obtenues, savoir :

ârSa* -4- y^pbp + i^pCp = Sffpcfp , etc.

Démontrer : 1» Au moyen du n» 27, II, le théorème de Y an Gbbr :

(axbtCj) [dtbtCz) 4- (aib^Ci) {dib^d) -

' (asb^Cs) (djà^Cs)

y = etc, % = etc. ;

2o On trouve les mêmes valeurs, pour x, y, 2, en appliquant la méthode des moindres carrés aux dix équations en x seul, aux dix équations en y seul, aux dix équations en z seul, obtenues en éliminant, par la théorie des déterminants^ de^ équations données prises trois à trois, d^abord y et 2, puis x et %, enfin â? et j^ (Catalan et J. W. L, Glaishee).

79. Généraliser et résoudre le système, adjoint du système (1), n« 29 :

A|X-hB|Y-+-C,Z-*-D4U = G,,

On trouve la valeur des inconnues directement par les formules générales, ou en ajoutant ces équations multipliées par des facteurs convenables. La comparaison des résultats obtenus conduit à un théorème trouvé précédemment (n«25, ex. 67, II).

*80. Démontrer la règle de la multiplication des déterminants, par la considération des deux systèmes d'équations

On résout le système en y, puis celui en â?; on élimine les y, on résout le système résultant, et Ton compare les valeurs trouvées pour les Xy dans ces deux cas en s'aidant des résultats de l'exercice précédent (Cauchy).