X -rXt^ y --ya

= 0, ou

x—Xu y — yi x-^Xi, y-^yt

S. Élimination d*une inconnue entre deux Équations linéaires. Soient aiX = hi ou «la? — 8i = 0, (1)

afX^=tt ou Oifl? — S« = 0, (2)

où, par hypothèse, les coefficients ai et a^ des înconnuesne sont pas nuls. Cherchons la condition nécessaire et suffisante pour qu'une même valeur de a les vérifie toutes deux. Multiplions la première par — 0%, la seconde par ai et ajoutons les résultats. Nous trouvons

— Ci (flxx — h) -»- ai {a^x — h) = 0, (3)

c'est-à-dire, en changeant les signes et réduisant,

a% li

r ou a{bt — ajbi ou

ai bi

Les équations (1) et (2) ont donc pour conséquence (3) ou (3'), qui est, par suite, une condition nécessaire pour que (l)et(2) soient compatibles. Cette condition est suffisante : car, de (1) et (3), on déduit (2), et de (2) et (3) on déduit (1).

Le déterminant r est dit r^/wi;efl»^, et r=0, Ib. résultante d\i système des équations (1) (2), ou du système équivalent d'équations linéaires homogènes

aiX + biY = 0, a,X -»- JjY = (1'), (2')

obtenu en multipliant le précédent par Y, quantité quelconque diflEerente de zéro et posant â?Y-»-X = Ooua?^ — — • On a d'ailleurs