X : — Y = Ji : fli = Sa : a

D'après ce qui précède, Véliminant de deux équations linéaires (1), (2) est donc le déterminant des coefficients des inconnues et des termes tout connus, ou des coefficients des inconnues si les équations sont mises sous forme homogènes (1'), (2'). On obtient la résultante, en égalant Véliminant à zéro.

Remarque, On peut résumer les résultats précédents comme il suit : Si les équations (1) (2) sont compatibles ou peuvent être vérifiées par une même valeur de a?, elles ont entre elles une relation linéaire, savoir (3), Réciproquement, si elles sont liées par une relation linéaire,

aix — S« = w {aiX — 5i),

c'est-à-dire, si a% = m4iK, b% = mb\, toute solution de Pune vérifie l'autre, et l'on a aib% — a%bi = m {athi — aibi) ■= 0.

8. Résolution de deux équations linéaires dans le cas où le déterminant des coefflcients des inconnus n'est pas nul. Considérons les équations

aiX 4- Siy =» Ciy a%x -♦- l^y = (?«. (1)

Multiplions-les respectivement, d'abord par Jj et — Si, puis par — at et aa, et ajoutons les résultats. Il viendra

(a^h — a^bi) a? = CiSi — Ctit , («i J» — atit) y == a{C% — atd ;

d'où

Ci bi

ai Ci

c% bi

as Ci

ai bi

ai bï

Ai (s

a% bi

Le dénominatet^ de xet de j est le déterminant ayant pour éléments les coefficients des inconnues; le numérateur est le déterminant obtenu, en remplaçant, dans le dénominateur, les coefficients de x par les seconds membres des équations données.

Comme Gauss Ta remarqué, il reste à vérifier les valeurs trouvées pour X et pour y. Pour cela, substituons les valeurs de x et de y, dans les équations données, elles deviennent

ûi {Cibi — cj^i) 4- bi {aiCt — ttiCi) aibi — a^bi

g« (Cibi — Cibi) -^ bt (fltCi — OtCi) aibi — a^bi

c'est-à-dire, en ordonnant par rapport à d et Cj, Cl (aibi — ttibi) 4- c% (aibi — ûi Ji)

•Ci,

ttibt — a^bi Ci {atbi — fltJt) -f- Ci {ttibi — util)

Cu

= Ci,

ou

ou

ai Jî — atbi

Les expressions (2) vérifient donc les équations (1). Exemple III. Résoudre les équations

9x 4- lly = 5, Sx '¥'lOy = 4.

On trouve immédiatement

Ci = Ci,

Ci = Ci.

4. Équations homogènes. l^'A deux inconnues. Si d — (?i = 0, les équa-

lions sont homogènes, et on trouve a? = 0, y ==s 0, comme seule solution, dans le cas actuel où ait% — a%bi est différent de zéro.

2° A trois inconnues. Posons Za? -♦- X = 0, Zy -♦- Y « 0, Z étant une quantité quelconque différente de zéro, par laquelle ou multiplie les équations (1). Elles prendront la forme homogène

aiX -^ JiY -4- CiZ = 0, a%X -^ J«Y h- dZ = 0. On aura, au lieu des équations (2), après quelques transformations, X —Y Z

ax Ci

ai Ji

as Ci

at it

Donc X, — Y, Z sont proportionnels aux déterminants obtenus en supprimant la 1", la 2® ou la 3« colonne du tableau

ai ti Ci

ai ii Ci des coefficients des équations homogènes.

IL Déterminants à trois lignes.