Si l'on a identiquement m + «1 = p et
oUî* -^ at«*~' -h atO?*^ -f- ... = OoJ?" -4- ^li»""* -♦- — ) X (vofl^ -4- Via?*^* -H •••) ou ]}eut déterminer les 7, au moyen des a et des ^, par des équations linéaires. Résoudre ces équations.
*S0. 1. !•' CAS PARTICULIER. Zes déterminants des eoefflcients des inconnues \ abcd | =0, mais Vun au moins de ses mineurs^ D4=»(a4b«C3), n'est pas nul. Écrivons (l*) (1«) (U) sous la forme
a^X'¥ b^y -*- c^z=^et —d^t, {l\)
a^x -y- \y -*- 0^% = «, — rf,^ (1*,)
On en tire, par le procédé du n« précédent,
' t-di,ho\ \eU\ I rffe I j
9 I /rA/. i I /yA/. I ' I />Ai> I \ ahc \ ^
Ces valeurs, d'après 29, I, vérifient (lî)(l',)(li), quel que soit i. D'après 29, II, pour qu'elles vérifient (1^) : a^x -¥- b^y -♦- c^z 4- ij — e^ as 0, il faut et il sufSt que
I a, i, c, « — rf^ I = 0,
e est-à-dire, successivement,
\abce\ — \ àbcd M «- 0, R^ -- R^ :;= 0.
Puisque R = 0, par hypothèse, (1^) n'est vérifié par aucune valeur finie de ^, si R^ est différent de zéro. Au contraire, si R^ = 0, (1 ), comme les autres équations (1), est vérifiée quel que soit L D'ailleurs, d'après le procédé de résolution, qui est celui du n^ 29, U nCy a pas d'autres solutions que celles qui sont données far les formules (3).
Si R = I ahcd I « 0, R4 = I àbce \ = 0, («iJ^Cs) n'étant pas nul, on sait (n» 28, II) que F4 == m¥i -1- n¥t -*- jjFs. L'équation F* = est donc une suite des équations Fi=0, F4 = 0, F3 = 0. On a, en outre, R, == I ehcd 1=0, R« = I aecd | = 0, R3 = | dbce | = et , par suite, == Il ahcde || (lignes 1234). Donc, les formules (2) du n" 29 dondent X, y, Zy t sous forme indéterminée. Néanmoins, / seul a^ dans tous les cas, une valeur arbitraire, car les valeurs (3) de a?, y, z peuvent être déterminées, ou ne pas dépendre de t^ si j dhc \ , | a4c \ ou | abd \ sont nuls. Ce fait singulier s^explique sans peine, si l'on remarque que, dans le cas actuel, le procédé de résolution du n** 29 n'est plus applicable qu*à l'inconnue t, parce que les multiplicateurs A, B ou C des équations (1) peuvent être nuls, quand j abcd | = 0, | àbce \ =» 0.
L'expression symbolique || àbcde || (lignes 1234) qui, égalée à zéro, donne les conditions pour que (h) (Ij) (I5) (I4) soient compatibles, quand (aibiCs) n'est pas nuly ou t quelconque^ peut être appelée Yéliminant de ces équations.
Cas des équations homogènes. Si ^,=^,=3^5 = ^^ = 0, l'on a toujours R^= \ abce \ =0; les équations homogènes linéaires, dans le cas où I abcd I == 0, (aibtCs) n'étant pas nul, sont donc toujours compatibles. On trouve, d'ailleurs,
\dbc\ ^ A* ^ B* ^
abc\' Di" ' D4" ■'^Di'
ou
a? : y : ip : / = A4 : 84 : C4 : D4 ;
t est arbitraire; *, y, z dépendent de /, sauf si A^, B^ ou C^ =2 0, auquel
casa?, y ou zest nul. D'après le n^' 20, on. peut écrire les relations précédentes :
• etc.,
ÂiAi -+- AjAj •+■ AsAs -H AiA* AiBi -+- ^jBj -♦- AsBs -i- Jt4B4 ki, Aty As, ^4 étant des constantes quelconques (Hesse).
II. 2" CAS PARTICULIER. Zcf premiers mineurs du déterminant des coefficients des inconnues sont nuls, mais Vun des seconds, (ai b*), est différent de zéro. Des équations (li) (I2) :
a%x '\'h%y = ei—CiZ — dit^ atx -♦- S^ == ^^ — ciz — dtt^ on tire
\ah\ \al\ \aJ>\' ^' \ ah \ \ àb \ \ah\'^^
valeurs qui yérifient (1.) (It), quels que soient z, t (29, I). Pour qu'elles vérifient (ls)i il faut et il sufiit que
I a, S, e-^cz—dt \ = \ abe \ -^ \ abc \ z '- \ abd | ^ = 0,
ou, puisque | aJc | = 0, | abd | == 0, il faut et il suffit que | abe \ = (fliJsCs) = ; des relations | abc\ === 0' , | abd | = , | aJd | «= , (aibi) n*étant pas nul, on déduit d'ailleurs (28, II), F5 = mFi -+- nF^y =a II abcde \\ (lignes 123) et H abcde \\ (lignes 123) peut être appelé Véliminant de (Ii) (I2) (I3), dans le cas où z, t sont quelconques. Pour vérifier si F3 =? est une conséquence de Fi = 0, Fj = 0, on remarquera qu'il ne faut pas examiner si toî^ les déterminants contenus dans || abcde \\ (lignes 123) sont nuls, mais seulement trois. On peut faire une remarque analogue dans les cas suivants (Comparez 20, IV).
De même, pour que les valeurs (4) vérifient (1^), il faut et il suffit que {a^b^c^)=^0, ce qui entraîne F^='pF^ -¥- qF^, 0^})^ abcde \\ (lignes 124).
Cas des équations homogènes. Si ^ , = e, = «5 =^ ^^ «= 0, les équations (l) sont toujours compatibles, et l'on a, pour déterminer Xy y, les relations suivantes où z^ t sont indéterminés :
III. 3« CAS PARTICULIER. Les ssconds mineurs du déterminant des coefficients des inconnues sont tous nuls , mais l'un des troisièmes, s.^ n'est pas nul. Les équations seront compatibles seulement si {a^e^) -^ 0,
{a^e^) = 0, (fl/4) = 0. Toutes les solutions sont données par la formule
ât bi Cl di ^
Ui Ui ai ai
"où y, z^ t sont arbitraires. Les conditions de compatibilité sont toujours vérifiées si les équations sont homogènes .
IV. Conclusions sur les équations homogènes. Si le déterminant des coefficients des inconnues d'un système de n équations linéaires homogènes est nul, ainsi que tous ses mineurs jusqu^à ceux d'ordre h exclusivement, ce système est vérifié par des valeurs de ces inconnues dont h sont arbitraires.
Y. Remarque. Un procédé de résolution analogue à celui qui est exposé n*" 29 et 30, peut être employé en analyse indéterminée du premier degré.
Exercices. 84. 1<» Si an déterminant est nul, ainsi que tous ses mineurs jusqu'à ceux d'ordre h exclusivement, il existe une même relation linéaire homogène entre les éléments de chaque ligne ou colonne, et h des coefficients des éléments sont arbitraires (Théorème équivalent à 30, IV, ou généralisation de 20, V). 2^ En général, établir les théorèmes du n^ 20, en s^appuyant sur la théorie des équations linéaires.
85. Ënoncer la conclusion générale analogue à 90, lY pour les équations linéaires non homogènes .
86. Dans le cas considéré, n« 30, IV, on peut donner à (A — 1) inconnues quelconques une valeur nulle ; réciproquement, chaque fois que cette circonstance se présente, on se trouve dans le cas du n^ 30, IV (Darboux).
87. Un système de m équations homogènes linéaires entre n inconnues, n > «», peut toi^oui s, par l'introduction de h = n — m équations auxiliaires, se ramener à un système qui se trouve dans le cas considéré, n» 30, IV.
IL Élimination. Cas où les équations sont linéaires.
81 . Résultante et éliminant de n équations lifiéàires. On peut exposer, comme il suit, sous forme générale, les résultats relatifs à l'élimination contenus dans le § précédent. I. Considérons les n équations suivantes, où w =» « — 1,
Fi =» 0, ou auXi + aiiXi -¥- ... -+- flimT« =âJ|n, (11)
Fn = 0, ou aniXi -+- aniOSi -4- ... -♦- anmXm, = ^«1,. (1«)
Soient R =3 [an att ... ann) et Au, A^s, ..., A»» =» [a^ a%t ... a»») les mineurs de R. Supposons Knn différent de zéro, de manière que les
Wî = (n — 1) premières équations (1) aient un seul système de solutions. Multiplions (1|) par Ai„, {U) par Af,, ..., (1») par A„», et ajoutons. Il Tiendra, d'après les propriétés des mineurs,
A.^Pi -4- A«,P« + .. • -4- A^* = R = 0. (2)
Si (1») est compatible avec les autres équations (1), on a donc R = 0. Rédproqtcementj des équations (li), (Ij), ..., (U) et (2), on déduit A,«Fn = 0, ou, puisque A«n est différent de zéro, Fn = 0. Donc, R = 0, Ann différent de zéro, sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que (1,) soit compatible avec les autres équations (1), celles-ci ayant un seul système de solutions.
Le déterminant R est dit Véliminant et R=aO^ la résultante du système, ou du système équivalent
aayi -4- ai^yi -4- •• • -«- a^yn = 0, (3i)
flniyi -4- an%y<i -^ ••• -+- annyn = 0. (3,)
obtenu en multipliant le précédent par y«, quantité non nulle quelconque et posant yi + çoiyn = 0. Donc la résultante de n équationê linéaires est le déterminant égalé à zéro, des coefficients des inconnues et des termes tout connus, ou des coefficients des inconnues seuls, si les équations sont homogènes.
D'après les propriétés des mineurs (n" 20), on a
yi \y% : ... :yn = AH : A^: ... : Ai« = Aîi : Aîj : ... : A8» = etc.
A<i Ait Ai«
a?i : a?j : .,, : a?m ■= — ■?— : — 7 — =...==— — = etc.
Ain Ain A\n
et les équations ne sont vérifiées que de cette manière. On peut encore écrire, sous une forme plus symétrique,
^' - ^* -etc..
kiKii -4- AiAji -4- ••• -4- hnAni AiAiî •♦- ktA<i<t -4- ••• -4- hnAn h\, As, ..., hn étant quelconques (Hesse).
II. Soit r = (aH «M ...a^jp) différent de zéro, de manière que Ton puisse déduire des p premières équations (1) les valeurs des p premières inconnues Xi,,,.,Xp en fonction des autres, qui restent arbitraires. Éliminons ces p premières inconnues entre ces p premières équations
et une quelconque (1 4) des autres. Il viendra, en posant ji -h 1
Opt, ...jOpp, Op^^ -h ••• -4- aj^wi — a^
Pour que cette relation se vérifie quels que soient of^^ ..., â?,., il faut que les coefficients
(«H ... apf,akq)y ..., (au ... appakm), {an ... appakn)y
des inconnues Xq, . . . , â?», et le terme tout connu soient nuls. Ces conditions, nécessaires pour que (U) soit compatible avec (li), ..., (1^), quels que soient â;,, ..., x^» sont suffisantes. En effet, dans le déterminant (4), ajoutons à la dernière colonne, la V" multipliée par Xt, la 2* multipliée para;,, ..., la p'^'»' multipliée par Xp, les quantités Xi, X9, ..., â;^ étant quelconques. La dernière colonne deviendra
Fi, Fi, ..., F,, F*.
Ordonnons (4) par rapport aux éléments de cette colonne. Nous obtiendrons, après division par r, une relation de la forme
F* = ^«Fi H- ffiFi -^ .. . -^ffpFp, (6)
vraie quels que soient Xi, Xt, ..., Xp, Xqy ..,, Xm» L équation Fik =» est donc une conséquence de Fi = 0, ..., F^ = 0, et, par suite, est compatible avec ces équations, quels que soient â?,, ..., â;*». Cette conclusion s*étend aux équations (3).
La relation (5) est équivalente aux suivantes :
«*2 =^ifl4« -^ ff%att -4- • •• H- gpap9, etc.
On déduit de celles-ci (par le n» 20, II, ou par 31, 1), que tous les déterminants contenus dans le tableau
au
aiq^
ain
api, aki*
*pp,
*pqj
M'y» Il
akn
, akp^ auti,
sont nuls. Cette expression peut être dite Véliminant des équations (li), ..., (Ip), (U) ou (34), ..., (3p), (3ib), dans le cas où r n'étant pas nul, toutes les inconnues autres que les 'p premières sont arbitraires.
Exemples. I. Pour que la conique ayant pour équation
C = M?' -I- *y« -+- c -♦- 2/y H- 2^4? -^ 2hxjf =
se réduise à deux droites, il faut et il suffit que son centre soit sur ce lieu. Le centre est donné par les relations
ax-^ hy-^-ff^O, hx -^ by -^f=^0, (1)(2)
Retranchons de C =» les équations (1) et (2), multipliées respectivement par X et par y ; il Tiendra
L'élimination de Xy y^ entre les équations (1), (2), (3). donne
■■ àbc -^ 2fgh -^aP — Ig^ — ch* = 0.
Réciproquement, si le discriminant D de C est nul, on a les équations (1), (2), (3) (n».20 ou n« 30, IV).
II. Pour que la droite représentée par P = iw?-4-t?y -4-1=0 soit tangente à la conique C, le coefficient angulaire de P doit être égal à celui de la tangente, et le point de contact doit être sur P et sur C. Ces conditions donnent, X étant une auxiliaire,
ax
hy -^ g hx -\-by -»-/ gx-\-/y
Eliminant x, y, A, entre ces équations et P = 0, on trouve
Cette relation est Véquation tangerUielle de la conique.
ABC **III. Une conique K ayant pour équation — •" S "*" 7 "= ^ ®^* ^'^"
consente au triangle de référence DEF. Si
ABC^ABC^AB — -4-^-4-— =0, — -f.---^- = 0, — -4-/r
K passe par les points M, N, P, ayant pour coordonnées (a, (3,y,),(«j(35y,), {"^i^i/ù- Éliminant A, B, C entre ces relations, il vient 1 1 1
yi
Pi
=s 0, ou
yr/.
ha dernière équation ne peut subsister que si Ton a (n<* 20)
a, ft, Cy étant des constantes. Ces équations expriment que la conique représentée par aa} + ^p* -♦- cy* «= 0, qui est conjuguée à DEF, Test aussi à MNP. La réciproque est vraie, car les équations (1) peuvent se déduire de (2). De plus, ce qui précède peut être interprété en coordonnées tangentielles. Donc, si deux triangles sont inscrits ou circonscrits à une conique, ils sont conjugués par rapport à une autre et réciproquement; par suite, si deux triangles sont inscrits à une conique, ils sont circonscrits à une autre et réciproquement (Démonstration de M. J. Neuberg).
ExERCiCBS. 88. Trouver l'équatioa d'une droite passant par deux points; d'un cercle passant par trois points ; d'une parabole passant par trois points et dont l'axe a une direction donnée ; d'une conique passant par cinq points ; ou par trois points et ayant un foyer ou un centre donné; d'une cubique passant par neuf points; etc.
89. Trouver la condition : 1® pour qu'une surface du second degré se réduise à un cône; 2» pour qu'elle soit touchée par un pian ayant pour équation «a?-Hi?yH-n«p-H 1=0; 3» pour qu'un cercle déterminé par trois points soit tangent à une droite donnée.
90. Chercher : 1* la relation entre les trois angles d'un triangle, en éliminant 0, d, e entre
a = ô 008 C -I- c cos B, ô = c cos A -4- « cos C, c = « cos B -h ô cos A ; 2* la relation analogue entre les angles dièdres d'un tétraèdre.
91. Généraliser les théorèmes suivants : Soit ^+l=a;, y =ix—'\, on aura
Pour 07 = ■- 1, on trouve une belle formule. On déduit encore de ce qui précède (Comp. n» 19, ex. 37, !•)
(J. W. L. Glaisher).
%%, Application à des équations non linéaires. I. Résultante d'un système de (n •— 1) équations linéaires et d'une équation du second degré. Il suffira de considérer trois équations, que, pour plus de symétrie, nous supposons homogènes ;
05?' -+- Jy* -♦- cz* H- ^fyz -k- 2gxz
2hwy = 0,
aiX -♦- {3iy •+- yiZ ■-= 0, «fâ? h- j3sy -h yj^ L*équation (1) peut s'écrire
x{ax-^hy -\' gz) '^y(hx -¥- hy '^fz)'^z {gx -^/y -4- cz) On peut remplacer l'équation {!') par les trois suivantes :
ax ■*- hp -t- (ft ==■ ajÀ -4- a»ù,
Ax -t-hy -\-fa = (3ii -4- (3»fx,
gx ■^- fy -^ cz = yà -+- yip.
En effet, si Ton multiplie ces trois équations respectivement par «, y, z, et si Ton ajoute les résultats, on trouve une identité, d'après les équations (1), (2), (3), et des équations (1), (2), (3), (4), (5), on peut déduire (t)j. L'élimination est donc ramenée à celle des cinq quantités x^ y,Zf /, {i-, entre les équations (2) à (6), qui sont linéaires.
Le même procédé peut servir à trouver les solutions du système des équations (1), (2) : on ajoute à ce système l'équation arbitraire (3) et l'on tire X, y, z, /, ^u des équations (2), (3), (4), (5), (6), entre les coefficients desquelles il existe une relation identique.
II. Résoudre le système ax^ -i- 2bxy -4- cy*=my ax* -+- 2^y -♦- yy*=^i^. On peut écrire ces équations de la manière suivante :
x{ax H- If) -H y{bx -^^ cy) = m^ x{oiX -♦- |3y) -h y(j3â? -*- yy) = p.
En les résolvant comme des équations linéaires, on obtient
^ \ m Itr -^ cy „ I «û? -+- by
Ra? == . -^ I , Ry == /
\ ax '\'hy hx -^ cy
I OLX -+- p?/ [tx -f- yy
Des deux premières de ces équations, on tire, par élimination de x et dey, qui y entrent linéairement, une équation qui donne R*; R connu, l'une d'elles donne y, exprimé linéairement en a? ; ce qui suffit, pour trouver y et fl?, par le mojen de Tune des équations données. Ce procédé, qui consiste à résoudre, comme des équations linéaires, des équations non linéaires, réussit dans un grand nombre de cas(Di£KMANN).
On peut se servir d'un procédé analogue pour effectuer certaines éliminations. Ainsi, dans l'alinéa I, poser ol% =s= ax -^ hy -^ gz, (3^ =s hœ -\-hy '\' fz, yv^ ^ gx -¥• fy -v- cz, l'équation (1') deviendra a^x -h %y -♦- 7*25 ==• (7). Éliminant x. y, z entre (2), (3), (7), ^on trouve («4(3«7s) «»0, relation qui, développée, prend la forme a4â? -*- jSiy -+y42=s0 (8), «4, (34, 74 étant des constantes. De (2), (3), (8), on déduit ensuite (ai|3f74) = 0.
^'^III. Soit à éliminer x entre les deux équations
a?' -^ jpx^ -+- ja? -♦- r = 0, y = ai-\-liX-^ dx^. (1)
Multiplions la seconde par ar, et substituons-y la valeur de a?', tirée de la première, puis opérons de même sur l'équation trouvée. Il viendra
xy = — Cir-+- [ai — Ciq)x h- (J* — Ci/?)a?' = «t -4- JîA? ^- Ctfl?% (2) /p*y = — c«r -4- (at — Ctq)x -\- (h — c%p) a?* = «s -h Izx -4- (?5a?*. (3) L'élimination de a?, a?*, entre les équations (1), (2), (3), donne la résultante
i\—yh\CK a« • It — y Cl =- — (y3-+.Py»H.Qy-4-R) = 0. (4) «3 ^3 cs— -y
Cette méthode de transformation est applicable à une équation de degré quelconque. L'équation donnée. en a;, d'ailleurs, se déduit, en général, de la transformée (4) et de la relation (1) qui définit la substitution, comme on peut s'en assurer. Dans le cas particulier traité ici, on peut disposer de a, J, c, de manière à avoir P = 0, Q = 0, ce qui permet de trouver y (Tchjrnhausen). On en tire a?, en remarquant que 1, a?, a?*, sont propor-
tionnels aux mineurs correspondants aux éléments des diverses lignes du déterminant (4).
Exercices. 92. l» Exercice 12 de V Introduction, 2« Résoudre, par ]e procédé indiqué ci-dessus (11), le système
a^x-k- b^y -+- c,y = «y, «sa? -h b^y -¥- c^% = ut.
On trouve un résultat remarquable, et qui peut être généralisé, en comparant la valeur de u donnée par la résolution du système des quatre équations, à celle que Ton obtient par élimination de œ, y, ^, entre les trois dernières.
^^93. Résoudre l'équation du 4* degré en la ramenant à une équation bicarrée, au moyen d'une substitution cubique.
'^'^94. Éliminer x entre une équation de degré n en a; et la relation y as Fâ? :/Xy ¥xetfx étant des polynômes entiers en x de degré quelconque. Le degré de la résultante en y est n, 11 importe que Téquation de degré n en x n'ait pas de racine commune avec fx = (Cayley).
^^IIL Élimination. Cas de deux équations de degré quelconque.
SS. Méthode dialytique, L Soient, pour plus de facilité, deux équations respectivement du 5« et du 3" degré, savoir :
F = a^ -+- a^œ -h a^x^ -+- a^x^ -4- a^x^ -♦- a^x^ = 0, / = ft^ -h l^x -4- h^x'^ -+- h^x^ =* 0.
Si une même valeur de x vérifie à la fois ces deux équations, elle vérifiera aussi les suivantes :
a?*F=0, a?F=0, F=0,/=0, xf=0, a?y=0, a?V=0, ^*/«=0, (1)
c'est-à-dire,
Jo^« -+- b^x"" ^ b^x' -4- ô^a?^ — 0,
b^x^ -+- *,a?* -♦- b^x^ -h JjiT^^O,
Jo^* -+- &,a?* -♦- ^4^?® -♦- ^5^?' = 0.
Regardant, dans ces (3 h- 5) équations, x, a?', i»', x\ x^, a?*, a?', comme
des inconnues distinctes, noas obtenons, far élimination, S = 0, en posant
Dans ce déterminant, pour abréger, nous n*ayons pas écrit les éléments nuls. S est dit l'éliminant de Sylvester des équations P«0,/=0; S = est la résultante de F = 0, / = 0; cette relation exprime la condition nécessaire pour que F = 0,/=0 aient, au moins, une racine commune r, ou pour que F. /aient, au moins, un facteur commun du premier degré (a? — r).
Cette condition est suffisante. En effet, S étant nul, il existe une même relation linéaire entre les éléments de chaque colonne de S (n® 20 ou 30), et Ton peut poser
A.fln
^o«4 H- ^^«3 -+- ).,a, ^ p^ j^ ^ fi^J, -^ Pj^}^ ^- u^t^ = 0,
-♦- Xlds -H >ta4 -♦- PjJj -I- fA^Jj == 0,
^0' ^1' ^9' f^o) 1^4' 1^9' f's) f^4« é^i^^ <^6s constantes qui ne sont pas toutes nulles. Multi^ions ces relations respectivement par 1, x, x*^ a^, x*, x^y ,t^, x\ X étant quelconque, et ajoutons ; il viendra :
(\^\X'i'\x*)F -i-iu^-^ ix^x + tx^x* -i- u^x^ -i- ix^x^)f=0. (2)
Si Tun des X n'est pas nul, Tun au moins des fx aussi n*est pas nul, car autrement, on aurait pour toute valeur de â?, F = 0. Aucun des 4 polynômes de la relation (2) n'étant identiquement nul, on déduit de cette identité que/, qui est du troisième degré, divise (Ào -*->ia? -+• hx*)F, et a, par suite, avec F, au moins un facteur commun du premier degré
(a? — r). Donc F»0,/ = 0, ont, au moins, une racine commune r. II. Posons :
Si, Sî, S-, sont dits le !•■', le 2«, le 3* mineur principal de S. On déduit Si de S, St de Si ou Ss deSj« en supprimant, dans S, Si ou Ss, la première et la dernière Ifgne, la première et la dernière colonne.
