III. Soient F = (a?—r)cp,/==(i»—r>|, de sorte que
rc.
«i =- c„ — rc.
Pour que les équations (p = 0, ^^ =» 0, aient une racine commune *, il faut et il suffit que Ton ait S' = 0, S' étant donné par la relation
Co
Cu
Cô
do
do
do
dt d,
Retranchons les colonnes 2, 3, 4, 5, 6 de S', multipliées par r, respec tiTement des colonnes 1, 2, 3, 4, 5; nous trouverons S' « S^ . La condition nécessaire et suffisante pour que 9 <=» 0, ^ = aient une racine commune, est donc Si = 0.
De même, si nous posons 9 = (ar — «) 5^, ^==(x — «)ot, la condition nécessaire et suffisante pour que jf == 0, w = aient une racine commune, est S* = (M. Falk).
IV. On peut résumer les résultats précédents dans la proposition suivante : < La condition nécessaire et suffisante pour que F = 0, /=
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aiefU une seule racine commune est S -» 0, Si différent de zéro; pour qu'elles en aient deux seulement, S = 0, S^ =0, Sj différent de ^ro; pour qu^ elles en aient trois y S = 0, Si = 0, S, = 0, S, diféreni de zéro (ce qui e«t toujours réalisé dans le cas actuel, puisque S,, = i*)* »
ExBRCiCB. 95. Si les quantités «, b sont des polynômes en y, la résultante S = a pour racines les valeurs Uy 9,... de y vérifiant F = 0, /= 0, en même temps que certaines valeurs de œ. Déduire de la proposition 33, IV, le moyen de voir si, à une valeur tf dejr, en correspondent plusieurs de x, sans déterminer celles-ci.
34. Équation aux racines communes. I. D'après la théorie générale de rélimination, dans le cas où S=0, Si n'étant pas nul, les valeurade 1, a?, a?*, fl?», a?*, a?*, a^ sont proportionnelles aux mineurs de S, qui correspondent aux éléments d'une ligne quelconque, par exemple, de la première. En supprimant le facteur commun h^ dans les termes du second rapport de la proportion qui donne, d'après cette remarque, le rapport (x \ 1) on trouve :
ào
Exprimons que le produit des moyens est égal à celui des extrêmes, puis réunissons les deux produits eii un seul, dans un même membre, par la propriété VI; il viendra ;
On déduit la seconde forme de la première, en ajoutant à la première colonne du premier déterminant les colonnes 2, 3, 4, 5, multipliées respectivement par a?', «', a?*, x^^ ûS*.
II. A posteriori, il est facile de prouver que l'équation {e) a, pour racine, la racine unique r commune aux équations FsO, /=sO. En effet: 1» si Ton considère cette équation «ous sa première forme, on voit
qu el'e n'est pas une identité, car le coefiScient de x est le premier mineur principal Si, qui est supposé non nul, et elle est du premier degré. 2* Sous la seconde forme Ui = 0, on reconnaît que le premier membre est divisible par (a? — r), car [x — r) divise tous les éléments a?F, F,/, xfy a?*/, a?y de la première colonne du déterminant Ui. On remarquera que Ton obtient le déterminant Uj en remplaçant, dans Si, les éléments de la première colonne par [a;F, F, /, xf^ a?*/, x^f\.
Exercices. 96. Si F = 0, /=0 ont seulement deux racines communes, ces racine!) sont données par l'équation du second degré Us = 0, Ua étant le déterminant obtenu en remplaçant les éléments de la première colonne de S| par F,/, 0?/, a?*/. Théorème analogue dans le cas de trois racines communes.
97. Quand F = 0, /= 0, ont une seule rac'ne commune r, les équations y == 0, «f;=0dun"33, III, sont évidemment équivalentes à /*© -»-/ji|a?-t-/*4a?*-h/tsa?'-»- -♦- /x^a?« z= 0, Xq -*- ^1^ -*- 'î^* = 0> d'après l'équation (2) du n» 33, I. Si l'on détermine les quantités /x, >, par les équations du n^ 33, qui les déânissent, on trouve que l'on peut écrire, au lieu de ces deux équations aux racines non communes, V = 0, W = 0, V étant le déterminant S, où les éléments de la première colonne sont remplacés par [0, 0, 0, 1, a?, ji?*, aï', a?*], W, le déterminant S, où les éléments de la première colonne sont remplacés par [a^, a?, 1, 0, 0, 0, 0, 0]. Théorème analogue dans le cas de deux ou trois racines communes.
98. Si F = 0,y = ont deux racines communes, Uj, qui est du premier degré, est identiquement nul comme étant divisible par un facteur du second degré. Par suite, tous les iblneurs de S représentés par le tableau S, privé de sa première et de sa dernière ligne, sont nuls. Théorème analogue dans le cas de trois racines communes.
