Méthode de Cauchy. I. Posons

F =a ao -+- a?74 = ai -•- x^/z =«««-*- xy^,

f^ (3o -^ xSt = (3i -♦- x^Si = (3î -^ x%,

«i> (3i, 7i, 5, désignant des polynômes de degré i en a?, dont les deux premiers a,, (3» sont formés respectivement par les (i -*- 1) premiers termes de F et de/. Soient ensuite

C, = FJ, - fy, = olJ, — [3,7, = Coo -^ Co.a? -h c,,a?« -t- c,^x^ h- c,,a?^ C. = Fd, -/y, == cc,d, - [5,7, = 0,0 H- c,,x + c,,x* -^ e,^x' -*- c,,x*,

le nombre des polynômes auxiliaires C étant égal au degré de celle des équations F «= 0,/== 0, qui a le degré le moins élevé. La loi de formation des coefficients 'ci> est simple ; si dik = (tiik^i — tf*+A» on a Cij. = Ckh Cik = dik -+- Cl i, A+i> pour des valeurs convenables de i et de k,

mais nous ne démontrerons pas ces relations dont nous ne ferons aucun usage.

Si F «= 0, /= ont une racine commune r, r vérifie les 5 équations (««équations, si F est de degré i«> «, n degré de/) :

Co=0, C,==0, C, «=0, /=0, a/=0.

Regardant dans ces équations a?, «*, «*, «* comme des inconnues distinctes, on trouve, par élimination de ces puissances de la racine commune, R = 0, R étant un certain déterminant, appelé Aiminant de Cauchy, et défini par la relation suivante :

Co4

Ct.

Ct4

Ss

La relation R = est donc une condition nécessaire pour que les équations F = 0,/=0 aient une racine commune. On prouve, comme au n* 33, qu'elle est suffisante.