II. Les équations

c,=o, c,=o, c4=o,/==6, a?/=o, xV=o, a?y=o, a?y=»o. (3)

ont un élimiTUitU M, égal à JJR, comme on le voit immédiatement quand on écrit cet éliminant. Si Ton met les trois premières équations (3) sous la forme

F(^, ^ *,^ -+- M*) —/(<*! -^a^-^ a^œ^ -*- a.jB^ -♦- «jâ?*) = 0,

F (ô, -^ * s a?) —f{a^ -+- a j^ -+- a^a?* -♦- a'çfl?*) = 0,

FJ, —f{a^ -¥■ a^x -♦- a^a?*) = 0,

on voit que le système (1) peut se déduire du système (3) par des opérations très simples. En faisant des opérations analogues sur le déterminant M, on le transforme en ôJS. On a donc M «« b\K = JJS; d*où R = S. La démonstration de cette relation entraîne du même coup celle des suivantes : Ri = Si, Rj = Sj, R5=S>, Ri, Ra, R» se déduisant de R, Ri, Ri, en effaçant la première ligne et la première colonne. On peut donc remplacer, dans le n'* 33, IV, S, Si, Si, Sj parR, Ri, Rj, R,. On peut encore établir les égalités R = S, Ri =» Si, etc , en mettant le produit d= R* sous la première forme indiquée dans Texercice ^, où

— Tôles éléments de la dernière moitié des lignes sont tous changés de signe et remarquant que le déterminant ainsi obtenu est le produit de d: S, où les éléments des lignes de rang pair sont changés de signe, par db S écrit sous une forme un peu différente (Le Paige).

Exercice. 99. Trouver, dans la méthode de Cauchy, les théorèmes équivalents à ceux qui sont donnés n«> 34 et exercices 96-98.

36. Théorème de Béxout sur V élimination. Supposons que les lettres a, l désignent des polynômes en y de degré tel que a-, soit de degré 5 — f, hi de degré 3 — t, et, par suite, aiX' de degré 5, en x et y, liX' de degré 3, en x et y. Dans cette hypothèse, je dis que S(ou R)sera, auplm, rie degré 5 X 3 en y {au plus de degré mn^ si F est de degré wi, / de degré w). Pour le démontrer, remplaçons, dans S, a^ par aj^^ tfj par «,/*, «j par a^t'\ a, par aj^^ a^ par aj, a^ par «,, h^ par l^t^, l^ par l^i^y h^ par hj, l^ par h.. Chaque lettre a ou J, et, par suite, chaque terme de S, est ainsi multiplié par une puissance de t égale à son degré en y, et le déterminant S est transformé en un certain déterminant T. Multiplions les colonnes de ce déterminant T par 1, ^, <•, ^', ^*, t^^ <•, V, et divisons ensuite les lignes par T, t^, /*, 1, t, ^', /', ^*. Après ces deux opérations, T^ dont la valeur n'a pas changé, aura ses trois premières lignes identiques à celles de S, et les cinq dernières seront les cinq dernières de S, multipliées chacune par /'; par suite, Ts=S/''. Donc, chaque terme de S, ayant été multiplié par ^*^, est de degré 15, ce qu'il fallait démontrer (Janni).

Les deux courbes représentées par F = 0,/ = ont donc, au plus, 5 X 3 points d'intersection. Ce nombre ne peut être moindre, dans le cas général ; car, si F = 0, / «= représentent respectivement 5 et 3 droites, le nombre des points d'intersection, ou le degré de S, est 5 X 3 (ou mn^ si F est de degré m, / de degré n) (Cremona). Donc, la résultante été deux équations â^ ordre metn est, en général , d'ordre mn et les courbes correspondantes ont mn poitUs communs (réels ou imaginaires, distincts ou non).

Exercice. 100. Si une courbe algébrique a une équation K=0, en x, y, d'ordre p, ((ui ne contient pas de terme en â?, ^, de degré inférieur à y, on dit qu'elle a, & Torigine, un point multiple d'ordre p\ Cela posé, par quelle puissance de p peut-on diviser Téquation S = 0, résultante de F = U, /■=0, slF=0 représente une courbe d'ordre m, ayant à l'origine un point multiple d'ordre tn',/=0 une courbe d'ordre n, ayant àl'oriiflne 1» un point simple; 2» un point multiple d'ordre n\