VIII

maidtCi •+- mbiCiaz -4- mdath \

= wR.

BzsBCiCBS. 7. Démontrer que

^1 *| Cj

«1 -*i c, ai 'bi Cl

en multipliant une ligne et une colonne de R par ( — 1).

bc { a

ca 1 b

ab 1 c

tfi -1

abc a^c aby

A JE. ^ abc

»/*, ai

8. Propruîté II. 0» peut changer les colonnes en lignes et les lignes en colonnes dans un déterminant de quatre ou de neuf éléments. En effet,

aibtCz -4- atb^Ci dibiCi — aibiC% •

azbiCt ) • aJfiCs )

Application. Le déterminant suivant, dit symétrique gauche^

est nul, car il ne change pas de valeur quand on multiplie chacune de ses lignes par (— 1), ou quand il est lui-même multiplié par (— 1)' = — 1. 9. Propriété III. Un déterminant de quatre ou de neuf éléments change de signe, si Von échange entre elles deux lignes ou deux colonnes. Ainsi

Cl li ai

!4- CiOids + Oia^Cs -4- aiCjfi \ — aiOfCi — daiOs — Oïdaz ) Cs ài ai

et de même pour les six échanges possibles de lignes ou de colonnes.

Corollaire. La valeur d'un déterminant de neuf éléments ne change pas si l'on échange à la fois deux lignes et deux colonnes; ou si Von met la première ligne ou la première colonne la dernière^ ce qui revient à échanger d*abord la première ligne avec la seconde, puis avec la troisième. En effet, chacune de ces modifications produit deux changements de signes qui se détruisent. On a ainsi

Cï

ti Cs at iz Cs az

64 Ci tti

10. Propriété IV. Un déterminant de quatre ou de neuf éléments est nul quand il a deux lignes ou deux colonnes identiques. Première démonstration. 11 suffit de vérifier le théorème dans tous les cas possibles.

Deuxième démonstration. Soit un déterminant r ou R ayant deux lignes ou deux colonnes identiques. Échangeons ces deux lignes ou ces deux colonnes. D'après la seconde propriété, le déterminant ainsi obtenu est égal à ( — r) ou à ( — R). Mais, d'autre part, les deux lignes ou les deux colonnes échangées étant identiques, le nouveau déterminant est le même que l'ancien. Donc r = ( — r) ou R = ( — R); c'est-à-dire 2r ou 2R = 0, ou enfin r — 0, R = 0. Ainsi :

ai hi Ci ai 1% Ci tti bi Ci

— dhai — aiCibi — JiflîCi )

Autre énoncé. Si dans un déterminant de quatre ou de neuf éléments^ on remplace les éléments d'une ligne ou d'une colonne par ceux d'une ligne ou d'uhe colonne parallèle, le déterminant s'annule.