IJ(I-+-I«P

étant convergent par hypothèse, il en sera de même, en vertu de ce qui a été établi plus haut, du produit infini

IJ(n-B^):

la convergence de la série

qui résulte de la convergence du produit infini précédent, entraîne la convergence de la série

p=t on voit donc d'abord que le produit infini

est absolument convergent. Mais il est manifeste que le produit des p premiers facteurs de ce produit infini, qui est formé des rip premiers facteurs du produit infini

SÉRIES ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS. l3

ne peut avoir d'autre limite que la valeur de ce dernier produit infini; on peut donc, dans ce produit infini, grouper les facteurs comme il a été expliqué. D'ailleurs, puisque, dans un produit infini absolument convergent, on peut changer Tordre des facteurs, on voit que le groupement des facteurs peut être fait d'une façon arbitraire, pourvu que chaque groupe ne contienne qu'un nombre limité de facteurs.

10. Ainsi les propriétés essentielles des produits d'un nombre limité de facteurs se conservent dans les produits infinis absolument convergents. Il n'en est pas de même des produits infinis qui ne sont pas absolument convergents. C'est pourquoi nous ne considérerons ici que des produits infinis absolument convergents et c'est là la restriction que nous avons annoncée.

Nous adopterons pour les produits infinis absolument convergents des notations analogues à celles que nous avons adoptées pour les séries. Ainsi, si les deux séries

ao-f-«i -H Oi -H... -4- a» H-..., sont absolument convergentes, nous représenterons par le symbole

le produit des valeurs des deux produits infinis

llc=ao ' n = 00

JJ(i-H«rt), JJ(i -+"«-«);

on aura d'ailleurs

JJ (l -4- «/») =(!-+" «o) JJ [(l -+- ««) (l -+- a-n )] n n = l

et Ton pourrait adopter une infinité d'autres modes de groupement des facteurs.

l4 INTRODUCTION.