II. — Séries à double entrée
H. Nous avons considéré jusqu'ici des suites
^If ^1) * * * ? ^Ily ■ • • •
de nombres qui dépendent uniquement d'un indice, chaque indice indiquant le rang que le nombre qui en dépend occupe dans la suite : nous allons maintenant considérer des ensembles infinis de nombres dont chacun dépend de deux indices; un quelconque de ces nombres sera représenté, par exemple, par le sj^mbole aa,p? a, P étant des nombres entiers. Donner un pareil ensemble, c'est donner la loi qui détermine un terme quelconque lorsque Ton connaît ses deux indices et leur ordre. On peut d'ailleurs supposer, sur les indices a, p, qu'ils peuvent prendre indépendamment toutes les valeurs entières et positives, ou loules les valeurs entières positives, nulles ou négatives; on peut aussi supposer que l'un d'eux ne prend qu'un nombre fini de valeurs, ou encore convenir d'exclure telles combinaisons d'indices que l'on voudra, d'après une loi arbitraire.
Si l'on imagine un plan indéfini décomposé en carrés par des parallèles à deux axes rectangulaires, distantes de l'unité de longueur, de telle façon, par exemple, que le centre de l'un des carrés soit à l'origine et que les coordonnées de tous les autres centres soient deux quelconques des nombres o, ±1, =t: 2, ±3, ... ; on peut inscrire chaque nombre aa^p dans celui des carrés dont le centre a pour abscisse a et pour ordonnée P; on aura ainsi constitué un tableau à double entrée; des cases en nombre fini ou infini peuvent d'ailleurs rester vides.
12. Il convient tout d'abord de remarquer qu'un tableau à double entrée ne constitue pas quelque chose d'essentiellement distinct d'une suite indéfinie de nombres rangés linéairement, ou dont chacun ne dépend que d'un indice (*). En d'autres termes, étant donné un tableau à double entrée de nombres aa^p, on peut en ranger les éléments dans une suite linéaire 61, 62, ... , b„, . . .
(•) C'est là un cas particulier de propositions générales développées par M. Cantor.
SÉRIES ET PRODUITS mPINIS A TERMES CONSTANTS. l5
de telle façon qu'on puisse trouver pour chaque élément «a^p du tableau le terme bn qui lui est égal et réciproquement.
Considérons, en effet, les divers systèmes (*) non exclus de. deux nombres entiers (a, ^); nous allons montrer qu^on peut établir entre ces systèmes et les nombres entiers positifs 1,2,..., 71, ... une correspondance telle que, à chaque système, corresponde un entier positif et un seul et que, à chaque nombre entier positif, corresponde un système non exclu et un seul; une correspondance satisfaisant à ces conditions est dite univoque et réciproque. Cette correspondance établie, il suffira de convenir que Ton a
toutes les fois que le système (a, ^) et l'entier positif n se correspondent, pour avoir transformé le tableau à double entrée en une suite linéaire, ou la suite linéaire en un tableau à double entrée.
Quant à la possibilité d'établir une telle correspondance, on la mettra en évidence, si l'on veut, comme il suit.
Essayant de ranger sur une même ligne tous les systèmes différents non exclus, on conviendra, par exemple, de placer sur cette ligne le système (a? P) avant le système (a', P') si la somme des valeurs absolues des nombres a, ^ est inférieure à la somme des valeurs absolues des nombres a', P'; il ne restera plus alors qu'à indiquer comment on range sur cette ligne ceux des systèmes non exclus pour lesquels la somme des valeurs absolues des nombres qui les composent est égale à un nombre entier positif donné N. Or ces systèmes sont en nombre évidemment fini, et Ton pourra adopter pour les ranger telle loi que l'on voudra; en supposant, par exemple, que l'on ait
on pourra convenir de placer le système (a, p) avant le système (a', P') si la première des différences a' — a, p' — ^ qui n'est pas nulle est positive. Dès lors tous les systèmes possibles sont rangés
(*) Nous entendons par système de deux nombres l'ensemble de ces deux nombres, ensemble dans lequel il faut tenir compte de l'ordre de ces nombres. Deux systèmes de deux nombres sont identiques si les éléments de ces systèmes sont les mêmes et sont rangés dans le même ordre.
d'une façon déterminée; d'abord vient le système (o, o) s'il n'est pas exclu, puis les systèmes ( — i, o), (o, — i), (o, i), (i, o), puis ceux pour lesquels la somme des valeurs absolues des éléments est égale à deux, puis les systèmes pour lesquels cette somme est égale à trois, etc. ; il suffit maintenant de faire correspondre chaque système à son rang dans la suite linéaire ainsi formée pour réaliser la correspondance univoque et réciproque dont il a été parlé plus haut.
On voit tout ce qu'il y a d'arbitraire dans la façon dont on a établi cette correspondance et il est manifeste qu'elle aurait pu être établie d'une infinité d'autres façons. En particulier, la représentation géométrique qui a été décrite précédemment fournit aisément des moyens de réaliser celte correspondance ou, ce qui revient au même, de désigner sans ambiguïté chaque case du tableau par un seul entier positif au lieu de la désigner par les deux entiers a, p qui sont les coordonnées de son centre; on donnera, par exemple, le n** I à la case (o, o) qui contient l'origine; puis, tournant une première fois autour de cette case à partir du carré qui a son centre sur la partie positive de l'axe des x^ on affectera des n"* 2, 3, 4* '^, 6, 7» 8, 9 les huit cases (i, o), (i, 1), (o, 1), (—1, i), (—1, o), ( — 1, — 1), (o, — 0> ('> — Oî puis, tournant une seconde fois autour des cases précédentes, on donnera les n^Mo, 11, . . ., 25 aux seize cases (2, o), (2, i), . . ., (2, — 1). On continuera de la même façon ; au r**^°** tour on affectera des n***
(ar — i)*-hi, (ar — i)*-i-2, ..., (ar-+-i)*,
les Sr cases que l'on rencontre.
Dans tous les ensembles de nombres a^^^^ que nous considérons, nous supposerons toujours, pour simplifier le langage, que les indices a, ^ puissent prendre toutes les valeurs entières positives, nulles et négatives, sans exclusion. On devra alors poser aa,p= o quand le système particulier (a, P) est exclu, ou bien, si l'on préfère ne pas introduire ces termes nuls, on supprimera, dans les sommations dont il va être question, les termes a^^^ qui correspondent aux systèmes d'indices (a, p) exclus.
13. Soit donc un ensemble de nombres ^a,p. Supposons qu'on ait adopté entre les divers systèmes (a, P) formés avec deux nombres
SfiRIES ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS. 17
entiers positifs, nuls ou négatifs et les nombres entiers positifs i, 2, . . ., riy ... une correspondance univoque et réciproque telle que l'une de celles qui ont été décrites plus haut, puis que Ton fasse
toutes les fois que le système (a, P) et le nombre n se correspondent; alors la suite linéaire
contiendra une fois chacun des nombres a^^^ et ne contiendra pas d'autres nombres.
Inversement, étant donnée une pareille suite linéaire, on peut en disposer les éléments dans un tableau à double entrée.
Supposons d'abord que tous les nombres «a,p et, par suite, tous les nombres bn soient positifs ou nuls.
On dira que ces nombres «a^p sont les termes d'une série convergente à double entrée, si la somme d'autant de termes que l'on veut pris parmi ces nombres, chacun n*étant pris qu'une fois, reste toujours inférieure à un nombre fixe A^ dès lors il est clair que la série à termes positifs ou nuls
est convergente et que sa somme S est au plus égale à A.
Réciproquement, si cette dernière série est convergente et a pour somme S, la série à double entrée est aussi convergente, d'après la définition précédente, puisque la somme d'autant de termes que l'on veut pris dans le tableau à double entrée est inférieure à S. On peut d'ailleurs prendre, dans la suite 6< , 62, •••» biif •••) ou dans le tableau, assez de termes pour que leur somme dépasse tel nombre que l'on voudra, inférieur à S. Il en résulte que la somme S est indépendante du mode spécial de correspondance que l'on a adopté entre les systèmes (a, P) et les entiers positifs n. C'est le même raisonnement que l'on emploie pour prouver que, dans une série convergente à termes positifs ou nuls, on peut intervertir l'ordre des termes; c'est, au fond, le même théorème.
Nous dirons parfois que S est la somme de la série à double entrée.
T et M. — î. 2
l8 INTRODUCTION.
H, Ceci posé, on va prouver les propositions suivantes : 1° Les séries à termes positifs ou nuls
sont convergentes.
Nous rappelons, une fois pour toutes, ce qui a été dit au n** 1, (|:i'un pareil symbole désigne le nombre obtenu en ajoutant les sommes des deux séries
i aa,o-^«a,i +«a,i +•.•-+- «a.B -4-...,
a« Soit
/«r 5er/e à termes positifs ou nuls
est convergente et sa somme est égale à S.
Les séries (i) sont convergentes, comme toutes celles dont les termes figurent, chacun une fois au plus, dans la suite 6|, 62, . . ., 6,1, . . ., et leurs sommes sont, au plus, égales à S. L'emploi des
symboles 2^a,p? ^a est donc légitime : il est commode de dire
P que 5a représente la somme de tous les termes du tableau à
double entrée qui figurent dans une même ligne horizontale.
Soient p et q deux entiers positifs. Désignons par le symbole Sa^q la somme
il est clair que les nombres s^^qt tous inférieurs à S, vont en augmentant quand a reste fixe et que le nombre positif q va en aug-
mentant; quand ce nombre augmente indéfiniment, Sa,ç a pour limite Sa»
Désignons par le symbole dp^ç la somme
^p^q peut aussi être regardé comme la somme de tous les nombres ûfa,p» dans lesquels le premier indice est, en valeur absolue, inférieur ou égal k p et dont le second indice est, en valeur absolue, inférieur ou égal à q. Ce nombre, positif ou nul, dp^q, est donc aussi au plus égal à S, quels que soient p et q. D'ailleurs, dp^q ne peut qu'aller en augmentant quand Tun des indices augmente ; lorsque,/? restant fixe, q augmente indéfiniment, dp^q tend donc vers une limite au plus égale à S. Cette limite n'est autre chose que la somme
par conséquent, la somme d'autant de termes que l'on voudra, pris, chacun une fois, parmi les nombres 5», est au plus égale à S. Il en résulte que la série
est convergente, et que sa somme est au plus égale à S. Il est aisé de voir qu'elle est précisément égale à S, car elle dépasse tour nombre B inférieur à S. On peut prendre, en efiet, dans le tableau, assez de termes pour que leur somme dépasse B, ce qui revient à dire qu'on peut prendre p et q assez grands pour que ^Pi9 d^P^sse B; mais la limite, pour/> infini, de c^^, ne peut pas être inférieure à <^/>,^; cette limite est donc supérieure à B. On a donc, en résumé,
a=4-oo «=+• /p=-»-oo \
n est clair que, au lieu de faire la somme Sa des termes conte-
nus dans chaque ligne horizontale, puis la somme
a=— ao
de toutes ces sommes partielles, on aurait pu aussi bien faire la somme de tous les termes contenus dans chaque ligne verticale, puis la somme de toutes les sommes partielles ainsi obtenues. En d'autres termes, on a aussi
p =-f- 00 / Ot = •+• 00 \
On écrit souvent, d*une façon plus abrégée,
en n'indiquant pas l'ordre dans lequel s'effectuent les sommations.
Réciproquement, si, étant donné le tableau de termes positifs
ou nuls «a, p, les séries 5a=2^a,p sont convergentes, ainsi que la série ^ ^a» ^^ ^^^ ^'^^ désigne encore par S la somme de cette
dernière série, on voit de suite que la série à double entrée est convergente, parce que la somme d'autant de termes que Ton veut, pris dans le tableau, ne peut dépasser S; alors la série
est forcément convergente. Sa somme est donc égale à S, d'après le théorème qui vient d'être démontré.
15. Plaçons-nous maintenant dans le cas général où les nombres aa,p sont quelconques, réels ou imaginaires.
On dira que la série à double entrée, dont les termes sont a^, p, est absolument convergente, si la série à termes positifs ou nuls, dont les termes sont | aa^p|, est convergente.
Supposons qu'il en soit ainsi ; la série
dont les termes sont toujours les nombres aa^^ rangés dans une suite linéaire, est alors absolument convergente. Désignons-en encore la somme par S, et soit S' la somme de la série à termes
positifs ou nuls
On a alors les théorèmes suivants :
1° Les séries
sont absolument convergentes.
Cela résulte immédiatement de ce que l'on a démontré, dans le numéro précédent, que les séries
sont convergentes, 7? Soit
la série
est absolument convergente, et sa somme est égale à S.
Si Ton pose, en effet, p ei q désignant toujours des nombres entiers positifs quelconques,
ass—p a=^p
il est clair que Ton aura, pour chaque entier positif/? et chaque entier positif^,
d'ailleurs Sa est la limite, pour q infini, de Sa.ç» Si donc on désigne par s'a la limite, pour q infini, de s^^^y on aura nécessairement
Mais, d'après le paragraphe précédent, la série à termes positifs ou nuls
oc
est convergente; donc la série
est absolument convergente. Il reste à prouver que sa somme est égale à S.
Or si, après avoir choisi les entiers positifs p et gr, on choisit l'entier positif m, supérieur à tous les entiers positifs qui correspondent à ceux des systèmes (a, P) pour lesquels on a
il est clair que la différence
ne sera autre chose que la somme d'un certain nombre de termes du tableau ^oi,^; on aura donc
le second membre étant, de lui-même, positif ou nul. Faisons
croître m indéfiniment; celte inégalité ayant toujours lieu, on en
déduira
\S-cfp,,\iS'-cf'j,,^;
si l'on fait ensuite croître q indéGniment, rfy,,^ et rfl „ tendront
respectivement vers leurs limites
ass-t-p a=-4-p
et Ton aura donc
|S-Cp|lS'-a';.
Mais, lorsque/? augmente indéfiniment, d* a pour limite S'; il faut donc que dp ait pour limite S. En d'autres termes, on a
a a=-.oo\p=-oo / a,p
11 est à peine utile de faire observer que l'on pourrait effectuer les sommations partielles par lignes verticales, au lieu de les effectuer par lignes horizontales, et encore d'une infinité d'autres manières, en raison de ce que la correspondance entre les systèmes (a, P) et les entiers positifs i, 2, . . ., /i, ... est arbitraire, ou encore, en raison de ce que les termes de la série
peuvent être rangés arbitrairement. Au fond, on est parvenu à une généralisation complète du théorème sur la possibilité de grouper arbitrairement les termes d'une série absolument convergente, la restriction que le nombre de termes contenus dans chaque groupe est fini étant supprimée : il peut y avoir un, plusieurs, une infinie é de groupes qui soient eux-mêmes des séries.
16. Il peut être utile de faire observer que si, étant donné le tableau à double entrée (Xoi,^, on savait que les séries
sont absolument convergentes, ainsi que la série
on ne devrait pas en conclure que la série à double entrée dont les éléments sont | aa,p | est convergente.
17. Comme application du théorème général qui vient d'être démontré, signalons ce fait que, si deux séries
Ml -h Ml -4- . . . -h Ma-*-- • •>
sont absolument convergentes, il en est de même de la série à double entrée dont le terme général est Wa^p> les indices a, ^ ne pouvant prendre ici que des valeurs positives. En rangeant ensuite les termes de celte série à double entrée en une série linéaire, de façon que les termes, dans lesquels la somme des indices est la même, se suivent, on retrouve la règle ordinaire de la multiplication des séries.
18. Voici une autre application très importante dans la théorie des fonctions elliptiques.
Soit
Xa?*-!- ^[ixjr ~{->fy^
une forme du second degré dont les coefficients X, |x, v soient réels ; supposons, de plus, que cette forme soit positivée, c'està-dire que Ton ait
X > O, Xv — [A« > o,
en sorte que, quelles que soient les valeurs réelles que Ton mette dans la forme à la place de x, y, on trouve un résultat positif, sauf dans le cas où l'on ferait x =: o, y = o.
Nous supposerons qu'on remplace x^ y par les divers systèmes de deux nombres entiers positifs, négatifs ou nuls (a, P), en excluant toutefois la combinaison a == o, ^ = o, et nous considérerons la série à double entrée dont le terme général est
(Xaï4-2jxa[i-+-vp«)P'
cherchons pour quelles valeurs du nombre positif/? cette série est convergente.
Pour faire correspondre les systèmes de nombres entiers (a, P)
* aux nombres i, 2, . . . , n, . . . , nous adopterons l'un des procédés
expliqués au n° 12, et qui consiste essentiellement à ranger,
sur une même ligne horizontale, les systèmes (x, p) pour lesquels
OD a
ni étant un entier positif. Uéquation
admet m -\- i solutions distinctes où x^ y sont des nombres entiers, positifs ou nuls : en tenant compte de ce que les systèmes (a, P), ( — a, ,8) ne sont distincts que si a est différent de zéro, on en déduit que l'équation (i) admet ^m solutions distinctes. Ceci posé, la suite linéaire des quantités (a, P) sera formée en plaçant d'abord les quatre systèmes pour lesquels |a| + |^| est égal à un, puis les huit systèmes pour lesquels la même quantité est égale à deux, ... ; de cette façon, le tableau à double entrée est remplacé par une série linéaire à termes positifs ; cette dernière série sera convergente ou divergente en même temps que la série dont on obtient le m**™* terme Cm en réunissant dans un même groupe les 4 m termes de la série primitive pour lesquels | a | -f- | p | est égal à m. Nous allons évaluer des limites supérieures et inférieures de Cn,. On a
désignons par g le plus petit des nombres positifs
AV JJl' Xv {JL*
et par h le plus grand des nombres )v, | [jl |, v ; on aura, en supposant
|a| + Ip| = /n,
et en remarquant que Tun des nombres a, ^ est en valeur absolue
au moins égal à — >
Am* ^ Xa» 4- 2 jjLap -h v^» > gm}' ;
par suite
4/n /im
<Cm<
gPm^P ^ "* ^ hPrn^P
Or la série
2d rf
est convergente quand on a r > i , divergente quand on a r^ i •, la série dont le terme général est Cm sera donc convergente quand on aura 2p — i > i ^ ou/> > i , divergente quand on aura /? ^ i . Il en sera de même de la série à double entrée.
On arriverait à la même conclusion en utilisant la représentation géométrique décrite au n° 12 et le mode de correspondance obtenu en tournant successivement autour des cases ; on réunirait alors les termes qui se suivent dans un même tour.
Ceci' posé, désignons par a, a', fe, b' des nombres réels quelconques, tels cependant que ab' — a'b soit différent de zéro, de sorte que, si l'on pose
k = a-ha'ij B = b-\- b'i,
A et B soient deux nombres quelconques soumis à cette seule restriction que leur rapport ne soit pas réel, et envisageons la série à double entrée dont le terme général est
(aA-4-pB)«'
n étant un entier positif fixe ; a et p peuvent prendre toutes les valeurs entières positives, négatives ou nulles à l'exclusion de la combinaison a = o, ^ = o.
La valeur absolue de la quantité précédente sera
(Xa2-f-2[JLap-+-vP»)* où l'on a posé, pour abréger,
X = a«-4-a'», iL = ab-{-a'b', v = 6»4-6'»;
mais alors la forme
est positive, car la quantité
Xv — [jL» = (a6'— a'6)«
est positive, puisque ab' — a^b est supposé différent de zéro; nous sommes donc, pour la série des valeurs absolues des termes de la série à double entrée considérée, dans le cas précédent ; la série des valeurs absolues est convergente si Ton a
divergente dans le cas contraire.
Ainsi, sous les hjpothèses précédentes, la série à double entrée dont le terme général est
(aA-+-pB)«
est absolument convergente quand M entier n est égal ou supérieur à trois ; elle n'est pas absolument convergente pour les valeurs de n égales k un o\i k deux,
19. On pourrait encore considérer des séries à entrée /?"p^* dont les termes
dépendraient de p indices a, p, . . . , X. On montrerait qu'il est possible d'élablir enlre les sjst(^mes de p nombres entiers
et la suite des entiers positifs i, 2, ..., ai, . . . une correspondance univoque et réciproque, fondée par exemple sur le fait que Téquation
où m est un entier positif, n'a qu'un nombre limité de solutions ; le reste de la théorie de ces séries s'établirait comme pour les séries à double entrée. Le lecteur pourra, par exemple, s'exercer à généraliser la première partie du théorème établi dans le paragraphe précédent, en considérant à la place d'une forme quadratique positive à deux variables une forme quadratique positive à p variables.
