Il reste enfin à prouver que, si la série

est convergente, le produit infini

ne peut être nul que si l'un de ses facteurs est nul. Supposons d'abord que l'on ait, quel que soit ai,

nous allons montrer que P ne peut être nul. On a, en effet, en conservant toujours les mêmes notations,

P« \ n-ai/\ i-t-oj/ \ i-Ha„/'

d^ailleurs le produit infini

est absolument convergent : en effet, les séries à termes positifs

sont convergentes en même temps, puisque le rapport des termes de rang n dans ces deux séries est | i-f- a/i |, quantité qui a pour limite Tunité quand n augmente indéfiniment. Il résulte de là que le produit des n premiers facteurs de ce produit infini tend vers une limite; par conséquent, P/j tend vers une limite qui rCest pas nulle; c'est ce qu'il fallait établir.

Ne faisons maintenant aucune restriction sur les facteurs i-}-a,i, en supposant toujours convergente la série

n = ao

Si l'on suppose /w > /?, on a évidemment d'où, en faisant grandir m indéfiniment,

V = oo

P = (i 4- ai) (i -+- a,) . . . (i -H «/») JJ (ï + ««+v) ;

or, puisque l'on a

lim. au = o,

on peut prendre n assez grand pour que l'on ail, quel que soit v,

dès lors le produit infini

V = ae

JJ(i-t-a«+v)

SÉRIES ET PRODUITS IlfFINIS A TERMES GOI^STÀNTS. II

aura une valeur différente de zéro ; P ne pourra donc être nul que

si le produit

est nul, et, par conséquent, si Tun des facteurs

est nul. C^est ce qu*il fallait démontrer.

9. Nous ajouterons encore la remarque suivante, relative à la possibilité de grouper les facteurs d^un produit infini absolument convergent.

Tout d'abord, si ai, aj, . . . , a/i, . . . sont des nombres positifs ou nuls, on aperçoit immédiatement la vérité de la proposition suivante :

Soient aI|, ai2, ..., rip, ... des entiers positifs croissants; posons

( I 4- «1 ) ( I -+- aj ) . . . ( i -+- a„, ) = 1 4- ^1 ,

(i4-a„,-Hi)(i-+-a«,4-i) ... (n-aii,) = i-+-^î,

(i -t- a„^,+i) (i -4- anj,^^^t) . . . (i 4- «ii^) = I -h Ôp,

Si le produit infini

IJ(i-+-«/.)

est convergent, il en sera de même du produit infini

et les deux produits infinis auront la même valeur. C'est une conséquence immédiate des définitions.

Supposons ensuite que le produit infini

JJ(l-t-«/»)

soit absolument convergent, les nombres a^, a^t •••7 ci/ty •••

étant d'ailleurs réels ou imaginaires, et désignons par i + B|,

1 -h B2, . . . , I -f- B^, ... ce que deviennent les premiers membres

des égalités qui définissent i -h 6| , i -f- 62, . . . , 1 -j- bp^ . . . quand

on y remplace a\ , a^, . . . , anpi • - • par leurs valeurs absolues.

L'égalité

6i = ai + aj + ... -+- O/i, -4- «1 ai -h ...

et les égalités analogues montrent que Ton a

Baillai (a = i,a, ...).

Le produit infini