LIV

l4B CALCUL DIFFÉRENTIEL.

lions 2r(/i(^ I /it), Sr^i' -j comportent chacune un produit de

n fonctions âr d'arguments diflférents; Texpression de chacune des fonctions 2r(/i(^ | t) comportera ainsi un produit de ri^ fonctions 2f ; on trouve, en effet,

en supposant

fX = O, Tt, /*!, . . ., rn-u V = O, Ti, r,, . . ., T;,-!,

et en ayant posé, pour abréger,

271. Il est bon de jeter maintenant un coup d'œil d'ensemble sur les résultats obtenus dans les précédents numéros.

Que n soit impair ou pair, les fonctions &(/iç' | /it), Sf i' — )

sont des polynômes entiers homogènes, du degré n par rapport aux fonctions 2r((^ |t), choisies convenablement. On peut dès lors regarder comme résolu le problème suivant :

Étant donnés quatre nombres entiers, a, 6, c, rf, dont le déterminant (Q = ad — bc est positif, exprimer les fonctions 5({?\x) au moyen des fonctions S(v | t), en supposant

V c -\- dz

a -f- b-z a-h àz

Reportons-nous, en effet, aux résultats obtenus dans les n^' 130-

LES PONCTIONS 3r. l49

^ 3^3; reprenons les notations employées alors et rappelons-nous e nous ne considérons plus que des transformations à détermi- :iit positif; on pourra énoncer le théorème suivant. 11 existe, d'une part, deux nombres entiers positifs X, [jl, assu-

i ^^ ^lis seulement à vérifier la condition

Xfx = ad — bc,

^^ ^ à avoir pour plus grand commun diviseur le plus grand comun diviseur des nombres a, 6, c, éf; d'autre part, deux sjsa, p, Y, 8; a', P', y» 8' de nombres entiers, vérifiant les cond.itions

et tels que Ton ait

(a -h 6t) (a'-+- P't) = X (a -f- p-u), (a-^6x)(y-h8'T)= fJL(Y-f-8T:),

il suffit, pour s'en convaincre, de supposer, dans les n'^' 130-133,

Ci>3 ûs

0)1 ûi

mais, en vertu de la théorie de la transformation linéaire, les fonctions 2r(i'|T) ne difi^èrent que par un facteur exponentiel et par des facteurs constants des fonctions

ces fonctions sont des polynômes homogènes et du degré X par rapport aux fonctions

LX(a-i-pT) X(a-hfiT)J

qui, en vertu des égalités précédentes, sont identiques aux fonctions

''La'-hp'T [i(a'-Hp'T)J'

et ces dernières sont des polynômes homogènes et du degré a par rapport aux fonctions

Và'+p'T a'H-P'T/

l50 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

qui ne diffèrent que par un facteur exponentiel et par des facteurs constants des fonctions 2r(v | t).

Finalement, les fonctions 2r((^|T), à part un facteur exponentiel qu'il serait bien facile de calculer, sont des polynômes homogènes, de degré Xjjl = ad — bc par rapport aux fonctions 2f(v | t). Le théorème du n° 130 conduit donc bien à l'expression des fonctions 2r((' I t) au moyen des fonctions 2r(v | t), et l'on voit clairement le rôle des nombres X, jjl et l'avantage que présente leur introduction. C'est toutefois par des opérations arithmétiques exécutées sur les entiers a, 6, c, d qu'on obtient ces nombres \^ [x, el il serait évidemment très intéressant d'avoir l'expression explicite, au moyen de ces nombres et des données, des polynômes en 2f(v I t), expression dont nous venons d'établir l'existence. C'est, toutefois, un problème que nous n'aborderons pas ici (* ).