IX. — Sur un théorème de M. Hermite
Relations entre les fonctions ^. Théorèmes d'addition.
272. C'est à la théorie des fonctions d que nous avons rattaché la définition et les propriétés des fonctions Sr. Toutefois, nous avons vu comment, dans bien des cas, il était tout aussi facile d'établir ces propriétés en partant de l'expression même de ces fonctions et, en particulier, de celle de la fonction
qui est très simple.
M. Hermile a montré comment on pouvait prendre pour point de départ des séries analogues à celle qui précède pour engendrer des fonctions plus générales, en un certain sens, que les fonctions Sr, qui toutefois, au moins dans le cas que nous considérons spécialement dans ce paragraphe, ne sont pas autre chose que
(*) Dans un Mémoire inséré au Tome XLIII des Mathematisclie Annalen, M. Krazer a résolu cette question et môme une question plus générale. La méthode suivie par M. Krazer, où interviennent les séries trigonométriques et ces sommes de Gauss qui avaient déjà permis à M. Hermite de traiter le cas de la transformation linéaire, n'est pas de nature à être développée ici : nous nous
LES FONCTIONS 3r. l5l
des combinaisons très simples de fonctions exponentielles et de fonctions 2f prises avec des arguments convenables. L'illustre auteur a en outre établi, relativement à ces fonctions ainsi formées, une proposition très importante qui peut servir de principe dans
conteateroBS d'indiquer les notations dont se sert M. Krazer (notations qui sont aussi celles employées par MM. Prym et Krazer dans leur Ouvrage : Nette Grundlagen einer Théorie der allgemeinen Théta/unctionen), et la nature du problème qu'il traite.
Il désigne par le symbole
[il -'•
la somme de la série
OÙ m prend toutes les valeurs entières; a est la même quantité que nous désignons par Tici; u est la variable que nous désignons par vici; g, h sont des con. stantes réelles quelconques. Pour nous rapprocher de nos notations, nous consi- <^érerons, en lui donnant le sens précédemment défini, le symbole
attribuant à j? et à A, dans ce symbole, les valeurs o, o; o, -: -> o; -> -* on
uve les quatre fonctions &,(p| t), &^(v| t), &,(v | t), i&, ( v| t). Oci posé, en désignant par a, b, c, d des nombres entiers dont le déterminant — bc est positif, et en posant
V c -h dx
a -h àx a-h bx
peut exprimer la fonction
moyen d'un nombre /ini de fonctions
X«a méthode suivie par M. Krazer consiste à décomposer la transformation
Ce -hdx\ ^^ r— ) en transformations de types déterminés à coefGcients rationnels, et à
X «* H- ox/
^^^blir la formule de transformation pour ces transformations particulières. En
^^^tnbinant ces formules, il parvient à la formule générale, qui appartient bien au
^pe que nous avons décrit dans le texte; mais cette formule, d'ailleurs assez
Compliquée, est explicite, et n'implique pas un calcul arithmétique auxiliaire
Comme celui des nombres X, (x.
l52 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
la théorie des fonctions doublement périodiques; nous allons donner, d'après lui, quelques indications sur ce sujet.
273. Soit A un entier positif et considérons la fonction 9{u) définie par Tégalité
(LVi) ^(u)=z\A„q^ c««''t»'=V A„e*«
où les A;, sont des constantes qui se reproduisent périodiquement de h en h. Puisque la valeur absolue de q est plus petite que i , il est clair que la série qui figure dans le second membre est absolument convergente et définit une fonction transcendante entière de la variable u; cette fonction admet manifestement la période 2C0| . D'ailleurs, en décomposant en carrés l'exposant de e regardé comme un trinôme du second degré en /i, on obtient
-T — n«H n = -7 — - (nH ) — »
d'où Ton conclut
Si Ton change u en w -{- 2(03, le second membre ne change évidemment pas, à cause de l'hjpothèse
il en résulte que le premier membre admet la période 20)3, et l'on en conclut immédiatement
/lit/,
(m 4- Ci>|)
C'est là une propriété analogue à l'une de celles qui ont été établies pour les fonctions 2r.
274. Le théorème de M, Hermite consiste en ce que la fonction ^(m), formée comme on vient de l'expliquer, est la fonction transcendante entière la plus générale qui jouisse des deux pro-
LES FONCTIONS 3r. i53
*(M-h awi) = *(m),
Alt/, .
Considérons, en effet, une fonction transcendante entière ^{u) 1 jouisse de ces propriétés. Puisqu'elle admet 2ti)< pour pé- ^>de, c'est une fonction univoque de
met X ^ e
Cl),
cette dernière équation fait correspondre à chaque valeur de x ^ne infinité de valeurs de u en progression arithmétique de raison 2(i>4 pour lesquelles la fonction ^{u) doit reprendre la même valeur; en d'autres termes, la fonction
n'a qu'une seule valeur, quelle que soit la détermination choisie pourlogj?; d'ailleurs aux environs de toute valeur x^ différente de zéro, l'une quelconque des déterminations de la fonction logo; est régulière; il en est donc de même de la fonction de x précédemment définie, puisque ^{u) est, par hypothèse, une fonction (transcendante) entière. Mais alors, en vertu du théorème du commandant Laurent, cette fonction de x peut êlre mise sous la forme
les quantités A/i étant des coefficients indépendants de x. En modifiant un peu ces coefficients, on peut donc écrire
«• nwKi __ iT>Ci>,7t/ nu%i
4>(a)=V An^A c "• =VA„e A<^« "*"
hu*'Ki ^^^ Ci),ir/ / hu\*
et, puisque la fonction
doit, par hypothèse, admettre la période 2(03, il doit en être de
l54 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
même de la fonction
on en conclut, en changeant m en m -j- 2(03 et /i en /i — h,
OU
n> ni
or le développement, suivant les puissances entières positives et négatives de Xj d'une fonction univoque de x, régulière aux environs de chaque point x, sauf le point ^ = o, ne peut être effectué que d'une seule façon; on a donc
c'est ce qu'il fallait démontrer.
^(ll)-=2à^"^^^ "^^ (A«+;i=A„),
dans la théorie des fonctions doublement périodiques, résulte de la remarque suivante : Une telle fonction, outre les données (04, (03, hj contient h constantes arbitraires A©, A|, . . ., Aa|. Considérons une autre fonction ^{u) formée de la même manière avec d'autres constantes B©, B<, . . ., Ba-i ; on voit de suite, en se reportant aux propriétés fondamentales de la fonction 4», que
l'expression
où a désigne encore une constante arbitraire, admet les deux périodes 2W|, 20)3. Voici donc une manière de former, par le quotient de deux fonctions transcendantes entières, une fonction dou-
LES FONCTIONS ^. l55
blement périodique, contenant 2 A constantes arbitraires, savoir ;
Ao Al A^-i Bi B/i-i
60 Bq Bq Bo Bq
On verra plus tard que c'est l'expression la plus générale des fonctions doublement périodiques univoques n'admettant pas d'autre singularité que des pôles et ajant h pôles dans le parallélogramme des périodes.
276. Revenons à la fonction ^{u). On peut, en réunissant dans la série qui la définit les termes qui ont un même coefficient, l'exprimer comme il suit
*(m) = Ao*o-i- Ai*,-h...-^AA-j*/,i,
en posant
{nh ■+■ r) -— —
^ / X V^ r~-^ (/lA-i-r)--
= > g Aci), L
Cl), J
hn^iti Wiiri/ ... hn \*
•7t/ ^^ Ci),iri/ , Am \a
►,ci), X gAo), \ ««i)i/ ,
Dans ces formules, r est l'un quelconque des nombres o, i, 12, . . ., A — 1 ; on peut même lui donner telle valeur entière que Ton voudra, pourvu que Ton convienne que le symbole ^r{u) représente toujours la même fonction quand on remplace le nombre entier r par un autre qui lui soit congru suivant le module h.
Sur la première définition de la fonction $r(^)> ou voit immédiatement que l'on a
Sur la dernière, au contraire, en désignant par s un entier quelconque et en remplaçant m' par M-f-5-T^> on aperçoit de suite la propriété qu'exprime l'égalité
l56 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
OU
Si Ton prend en particulier r = o, et que l'on écrive ensuite r au lieu de s^ on a
/ -, \ rtti f (i>t\
on a d'ailleurs
^..^ nhu TZ f ^^
et, par suite,
(LV,) 4>r(M) = ^A e«'-«''t03(Ap-l-rT|AT:).
Remarquons en passant que, puisque l'on connaît les zéros de la fonction 2f^, on a par cela même les zéros de la fonction 4»r(u).
277. De ce que ^ (u) est la fonction la plus générale vériGant les équations (LV2) on déduit, entre autres conséquences, en remarquant que, pour A = i, on a
*P(u) = Ao *o(m) = Ao2r,(p),
où Aq est une constante arbitraire, que Ao5z{v) est la fonction entière la plus générale /(v^) qui vérifie les deux équations fonctionnelles
et cette propriété peut servir de définition à la fonction ^zi^) si l'on y joint la valeur de ^3(0).
278. Nous allons maintenant, en l'appliquant à quelques exemples, montrer la portée du théorème de M. Hermite.
Considérons d'abord les carrés des quatre fonctions 2r f )•
En désignant par ^(u) l'un quelconque de ces carrés et en se reportant aux formules (XXXIV3^5), on voit de suite que la
LES PONCTIONS &. 167
fonction 9{u) jouit des propriétés
Ces équations ne sont autres que les équations fonctionnelles fondamentales dans le cas de A = 2. Il résulte de là que les quatre fonctions Sr^(^) sont, d'après le théorème de M. Hermite, des fonctions linéaires des deux fonctions ^o(")j ^i(w)« Or, deux de ces équations linéaires qui expriment 2rj(^)» ^2(^)5 ^«(^O' ^l{v) linéairement en $09 ^« peuvent être résolues par rapport à 4>0) ^1 f <^^^ autrement il faudrait que les carrés des fonctions ^ correspondantes fussent dans un rapport constant, ce qui est impossible, puisque ces fonctions n'ont pas les mêmes zéros. En portant les valeurs trouvées pour ^q, <I>i dans les équations qui n'ont pas été utilisées, on voit que les carrés de deux quelconques des fonctions 2f doivent pouvoir s'exprimer linéairement au mojen des carrés des deux autres fonctions 2f. On doit donc avoir des relations telles que
où A, A', B, B' sont des constantes que l'on déterminera en faisant successivement (^ = 0, v = ; on obtiendra ainsi, en
Ma
tenant comple des formules (XXXIV», XXXVI1,2),
Sî(0) R,^î(0).,
* T^r^r- Sl(o)-~*'
On a donc (LVI.)
l58 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
En posant, dans la dernière relation, p = i et faisant usage des formules (XXXIV4), on trouve
2r;(o) = A-2r}(o)-f.^'2rî(o),
et Ton obtient ainsi une seconde démonstration des égalités
Au surplus, les relations si simples que nous venons de déduire du théorème de M. Hermite ne diffèrent pas, au fond, des relations
ainsi qu41 résulte des formules de passage des fonctions d aux fonctions Sr.
Observons aussi qu'en faisant usage des relations (LVI|), on transforme aisément l'une dans l'autre les trois expressions données au n° 260 pour chacune des fonctions 2r(/iç^| wz) au moyen des fonctions 2f(ç' |t).
279. Nous avons dit plus haut que les carrés des fonctions ^ s'expriment linéairement au moyen des fonctions
Nous laissons au lecteur le soin de déterminer les coefficients et de parvenir par cette nouvelle voie aux formules (XLVII3) qui expriment 2^3 (2 1> I 2 t), ^<i(7.v\i'z) au moyen des carrés des fonctions 2f(^).
Par le même procédé on reconnaîtra encore que les quatre
fonctions
où c est une constante, sont des fonctions linéaires des carrés de deux quelconques des fonctions 2f(^). Les constantes se détermineront comme tout à l'heure et l'on obtiendra ainsi des formules qui ne diffèrent pas, au fond, des relations (XV|3) entre les fonctions d. Parmi ces formules, nous nous contenterons
LES FONCTIONS 2r. iSq
d'écrire les suivantes :
(LVIO
2râ^i(o)3r,(i^-t.c)&,(p-c)= 2r5^,(c)aî(0~&î(c)2rj^,(i;), 3rî(o)3r,(i;-f.c)&,(p-c) =-— &J(c)2r}(p) -h&î(c)&î(i;), 2rî(o)&3(ï'-Hc)2r,(i;-c) = ^\{c)^\(ç) -f-&J(c)&|(p), 2rJ(o)2r,(p+c)3r,(p-c) = 3rî(c)2rî(p) +&î(c)2r|(p).
S80. Il convient de joindre à ces relations des relations analogues, mais où figurent des fonctions Sr avec des indices différents. On pourra les obtenir par une voie analogue, si l'on observe que l'analyse du n** 274 permet de trouver les fonctions transcendantes entières les plus générales qui satisfont aux équations fonctionnelles
où les symboles e, e' désignent soit +i, soit — i. Dans chacun des quatre cas possibles, comme dans le cas e = i, e'=i, les fonctions cherchées se composent linéairement avec h fonctions transcendantes entières parfaitement déterminées. Cette remarque suffit, pour le problème qui nous occupe, à prouver l'existence de relations de la forme
2rx(i;-^c)&p,(i;-c) = A&x(ï')3rt,(i^) + B2r,(p)3rp(p),
où X, [X, V, p sont les nombres i, 2, 3, 4? rangés dans un certain ordre, et où A, B, A', B' sont des quantités indépendantes de ç^
qu^on détermine en supposant t> = o, -> -• Le lecteur pourra
appliquer cette méthode, ou encore déduire les résultats des formules (XV4) el (XV5) en passant des d au 2r; nous nous contenterons de transcrire les résultats.
=-HS,(c)a»(c)2r,(P)a,(P)H-a,(c)a,(c)aa(o2r*(o,
