LVI
= - &,(c) &,(c)2r,(t-)^j('') + 2rj(c) at(c) &,(f ) 2rt(p).
(LVIO
l60 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
2r,(o)2r,(o)3ri((;-f.c)2r3(c»-c) = + 2r,(c)2r,(c)3rj(i;)2r,(i;)4-3rj(c)3r,(c)&,(i;)3r4(p),
2r,(o)2r,(o)3r,(ç,-f.c)2r,(i;-c) = -3ri(c)3r3(c)3r,(p)&3(p)4-2r,(c)3r4(c)3r,(i;)3r,(i;).
2r,(o)3r,(o)3ri(i; + c)2r,(i;-c)
= + 3r,(c)&3(c)2ri(ç;)3r,(i;)-f.3r,(c)2r,(c)3r,(,;)3r,(p),
= -3r,(c)&ac)3ri(i;)2r,(p)-H2r,(c)3r,(c)3r,(p)3r,(i;).
(LVIs)
281. Au reste, toutes ces relations, que nous avons tenu à écrire, à cause de Pusage qu'on peut avoir à en faire, sont des cas particuliers d'une identité générale, de même que les relations équivalentes entre les fonctions d (XVi.s) sont des conséquences de l'identité ( Vlla), établie au n° 96. Pour déduire de cette identité ridentité correspondante entre les fonctions &, il suffira de remplacer la fonction d par son expression au moyen de la fonction S^i et de remarquer que Ton a
= (m -h c)«-4- (a — c)* -f- (a -f- 6)«4-(a — 6)« = 2(u*-4- a«-f- 6» H- c«). On obtiendra ainsi la relation
(LVII,) I -f-2ri(p-h*)2ri((; — ^)3rj(c4-a)2ri(c — a)
{ -f.2r,((; + c)2ri((; — c)âri(a-i-^)2ri(a — *) = o,
où il est à peine utile de prévenir que les quantités a, 6, c représentent celles que Ton désignait de cette façon dans le n^ 96, divisées par 2(0|.
282. De cette identité, on en déduit plusieurs autres analogues, soit en augmentant Tune ou l'autre des quantités Uj a, &, c de
-> -> 7 ou en attribuant quelque valeur particulière à ces
variables. Nous ne voulons pas ici faire cette étude, que l'on trouvera tout au long dans la Théorie des fonctions elliptiques
LES FONCTIONS &. l6l
de Brîot et Bouquet (*); nous nous bornerons aux remarques suivantes^ tirées, pour la plupart, d'un beau Mémoire de Kronecker sur le même sujet (2).
Remplaçons les lettres c, //, 6, c par <7, b, c, d et posons en général pour p = i , 2, 3, 4,
ITp = 3rp(a ^b)'^^{a-b) 2rp( c -4- d) ?:^{c — d), Tp = 2rp(a -^ c ) 2rp(« - c) 27p(r/ -~ b) ?Jp{d -b), Tp = &p(a -T- rf) &p(« - d) ?Jç.(b-'^ c) &p(/> - c),
011 les trois expressions T, T', T'^ se déduisent les unes des autres par permutation circulaire des leLlres 6, c, d. L'identité fondamentale (LVII2) pourra s'écrire
Ti -f- T; -f- T'I =. o.
Observons que, par les vingt-quatre permutations des lettres a^ b, c, rf, les quantités Tp, Tp, Tp se reproduisent, rangées dans un ordre quelconque, si p n'est pas égal à 1, et que les quantités Tf. T,, T' sont remplacées par une de leurs permutations circulaires ou par une des permutations circulaires des quantités — T^,
On voit, en particulier, que l'identité fondamentale*
t,-+-t;-^tï^o
se reproduit pour toutes les permutations des quatre lettres a^ 6, c, d.
Si maintenant on ajoute aux. quantités a, c, successivement
- » y -> on trouve
(LVII3) \ Ta- T'i-TJ-<»,
( T4 — T', — Tr^o.
Sans nous arrêter aux équations que l'on peut déduire de celles-là par les permutations des lettres a, />, c, rf, observons qu'on en
(*) Deuiiéme édition, liv. VII, p. 4^6 et suiv. (•) Journal de C relie, t. 102, p. a6o.
T. et M.— H« II
(ire, en ajoutant
<LVIU) t-^t-t' t"
d'où, en permutant circulairement 6, c, rf,
^'^^''^^ It;-.tUt.^t:
283. Ces identités ont été données par Jacobi sous une forme à peine différente. Considérons, par exemple, la relation
T,-4-T3=T; + Ti.
Si Ton pose
a-{-b=iVf a — b = Xy c -hd =}^y c — d = z^ on voit de suite que cette identité peut s'écrire
en regardant les variables x, y^ z. cp, x', y', z\ w' comme liées •entre elles par les systèmes équivalents d'équations
w' =z - {w -\- X -i- y -^ z\ «• = -(tv'-4-jr'-+-^'-f- z')y
y = (^w — x-^-y-^z), y = l(w'—x'-hy—z'), z z=. - i^w — X — y -\- z)^ z ~ - {w' — ^' — y -^ -s').
284. C'est d'ailleurs par une voie tout autre que Jacobi parvient à celte identité : cette voie est directe; elle consiste à effectuer la multiplication des séries qui représentent 2^2 (^v)? 2F2(j:), 2^2(^)7 2^2 (^), 33((v), .... Outre son intérêt propre, elle oflre un grand intérêt théorique; elle équivaut, en effet, à \xx)} principe dans la théorie qui nous occupe. Le lecteur n'aura aucune peine à reconnaître que de cette identité et de celle qu'on en déduit en ajou-
itanl à une ou plusieurs des variables i , t, i -h t, -> -> , on
l64 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
veut. Nous supposerons d'abord qu'on effectue la somme
on aura ensuite à effectuer la somme ^\ A^.
Il est clair que, |jl restant fixe, lorsque v prend toutes les valeurs entières de — oo à 4- oo, il en est de même de v — [x et inversement. On peut donc remplacer, dans l'expression de Ajt, V par [JL+ p, et faire prendre à p, comme à v, toutes les valeurs enrières de — 00 à + 00. D'un autre côté, si l'on désigne par s un nombre entier quelconque, et par r un des nombres o, i, 2, .. ., a 4- p — 1 , il est clair qu'un nombre entier p peut, et d'une seule façon, être mis sous la forme
Réciproquement, quand on donne à s toutes les valeurs entières de — 00 à + 00, et à r toutes les valeurs o, 1 , 2, . . . , a -f- ^ — i , l'expression (a -f- P)s + r représente successivement, et chacun une fois seulement, les différents nombres entiers de — oo à +00. On peut donc, finalement, remplacer, dans Aj^, l'indice v par
|JL -^ ( a -4- p ) 5 -4i /•,
et donner ensuite à s les valeurs entières de — oc à -|- x; à r les valeurs entières de o à a 4- [3 — i .
Par cette substitution, on trouve, après des réductions immédiates,
afi2-+-Pv2 = Ca-h-p)(a-+-fi5)*-h2pr(fi4-p5)-+-ap(a-h P)5«H- ';>.apr* -+- ^r»,
Si donc, dans A^,, on groupe les termes où r est le même, et si l'on remarque que dans tous ces termes on peut mettre en facteur r/^''* et e-'^^-^j on voit que l'on peut écrire
LES FONCTIONS 2r. l65
OÙ Ton a posé, pour abréger,
Cn^ étant le produit de
par
Le produit des deux fonctions &3(x|aT), ^i{y\ ^t) peut donc être mis sous la forme
ou
(Jlr= — «0 jJl= — «0 s=z—to i = — «0 (Jl = — «
Séparons, dans l'expression de C^j, les facteurs qui ne dépen- ^ dent que de (x + ^5 et ceux qui dépendent de s seul; nous aurons
— ^(a-Hp) (|A+pj)«g2«ii(jjL-Hpf) (x+r-f-rpT) <y ap{a-»-P)*'gi/7w(a>'-px-+-rapT).
En tenant compte de cette dernière forme pour évaluer
51 ^|A.* ®^ ^"^ observant que, s restant fixe et jjl prenant toutes
les valeurs entières de — oo à +oo, 5'= ui 4- p^ prend aussi toutes
les valeurs entières de — 00 à -+-00, on voit que la somme ^ Cj^,., est le produit de
q aP(a-f-P)^« gî/7i5(ay— px-t-ra^t)
par
l'=-+-oo
^ g(a-»-p)*'' eî/lw'U-»->--4-rpT) j
or cette dernière somme n'est autre chose que
l66 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
on a donc,
{1=4-00 S=-hto (Jl=-4-«o
*=H-ao
et, par suite, enfîn
3r3(:r|aT)2r3(7|Px)
= 2 ^?'''62"i^r3r3[a?-4-7-i-rp'c|(a4-P)T]
(LVIIIi) { x3r3[a^— pa?-f-rapxla?(a-+-P)'c]
X 3r3[pa7 — «^ -f- rapT | a3<a -4- P)t),
la dernière égalité .ayant lieu en vertu de ce que le premier membre ne change pas quand on change a en ^ et :r en j^, simultanément. C'est la formule annoncée.
286. Pour a = I , p = I , Tégalité précédente, en tenant compte des formules (XXXI Vo), devient
(iviii ) ! 3^j(^)^3{r) = ^3(^-+-rh'c)&3(^-rh'c)
En changeant dans cette formule :r , y en ^ -+- - , j^ + - > on ob-
tient encore
Observons en passant que, en faisant :r = j^, on retrouve deux des formules relatives à la transformation de Landen.
Ce sont les formules (LVIIl2 3) qui vont nous conduire à l'identité de Jacobi. Si l'on désigne par x, y^ -3, w quatre variables indépendantes, on en déduit, en appliquant ces formules d'une
part aux variables x^ y^ d'autre part aux variables ^, vv, et en formant la fonction
2r,(x)3r,(^)&3r5)3r3(iv)-+-2r,(:r)&,(^)2r,(5)&,(«').
que celte fonction s'exprime très simplement au mojen des quatre quantités
2^3(^-^-7 I 2'c)3r3(5 -h w I ax) ^- Jit{x -^y \ 2t)&2(5 -\- w I o.t),
^a(^— 7 I 2*^)2^3 (5— lp|2T)-+-3r5(j'— k|2T)&j(5 — tv| 2X),
Après une transformation algébrique facile, on voit qu'elle est égale au produit des deux premières augmenté du produit des deux dernières. Mais, en vertu des équations (LVIll2 3) ellesmêmes, les quatre quantités que nous venons d'écrire sont respectivement égales à
-. /-h a?-+- V -h s -H tp\ -. I — X -\- y -^ z — w\
On obtient donc bien ainsi l'identité de Jacobi.
l68 CALCUL DIFFÉBBNTIEL.
