LXVIII

(0 sn'a=ro3f7=^) = ?uf^=^V,//=^^

\/«l— W \/<5l — «3/ \/ei — <?3/

(2) cn'M= ' ^u ( --p=^=)

= — /gi— g3 ^03 ( -7= ) g., 1 -7— ) =— snwdnw.

(3) àn'u=-^=\',J~^=\

V«i — «'s XV^i— ^3/

= — / $03 ( —. ) 5i3 ( • . ) = — A:* sn M en M.

D'ailleurs deux des relations (LIXo), savoir

l8o GU.CUL DIFFÉRENTIEL.

donnent immédiatement

sn*M I — cn'w I — dn*M

on a donc

( (i) sn'a -h cn*M = i, (LXIX) ,

f (2) dn*M-h A* sn*M = I,

et Ton voit, à cause de ces relations et de l'expression de la dérivée de sna, que sna vérifie l'équation différentielle

(LXX,) sn'«M = (i — sn«M)(i — A:«sn«w).

On voit aussi que en 2/, dn;^ vérifient les équations différentielles

Dans toutes ces relations ne figure que l'argument u et la quantité k qui ne dépend que de t, comme on le voit sur la formule

(XXXVII,)

Nous entendrons toujours par module et module complémentaire des fonctions elliptiques sn(M,A"), en (a, A), dn(a,A*) les quantités k et k'.