En vertu de la définition même des fonctions snuj cnu
dna, on a
sno = o, cno = i, dno = i, et par suite
sn'o = i, cn'o = o, dn'o = o.
On peut donc définir sn(M,A) comme une fonction univoque de u qui s'annule pour w = o, dont la dérivée pour u:= o est positive et qui vérifie l'équation différentielle
On verra plus tard que, réciproquement, quand on se donne k, il existe une fonction univoque sn(w, k) vérifiant cette équation différentielle et satisfaisant aux conditions précédentes; puis des
quantités^ (i)i , CO3 dont le rapport seul t= — est déterminé, le
coefficient de i dans ce rapport étant positif, telles enfin que, en construisant avec ces quantités les fonctions dy ^, la fonction 8n(ujk) définie par l'équation différentielle soit précisément celle que définit de son côté Téquation
sa
a = v/ei — 63 Joi I -7== wi, 0)3 )
305. On connaît les valeurs de Ços'^j 5i3") Sas" pour u-^^^^ u = coa, 1/ = (Os et Ton sait ce que deviennent ces fonctions quand on augmente u de C0|, (02, (O3. Il est donc aisé d'avoir les valeurs des fonctions sna, cnw, dna, pour les valeurs de u égales à
^\\j^\ — ^3j W2v/^i — ^3) <*>sv/^i — ^3 et ce qu'elles deviennent quand on augmente u de l'une ou de l'autre de ces quantités.
l8a CALCUL DIPFÉRBIfTIKL.
Il convient, pour nous rapprocher encore des notations de Jacobi, de poser
(LXXI) 1^') -,v/aT=]I=K,
on en conclut, à cause des formules (XXXVI4),
(LXXI) j(3) K=^&i(olT),
(4) K'=-:^'&î(oiT),
de sorte que l'on peut envisager R et K' comme étant des fonctions de t; on voit d'ailleurs, sur ces formules, que la partie réelle
du rapport ^ = - est toujours positive et que l'on a
k; (LXXI5) g = c ''''.
Nous n'emploierons pas de notation spéciale pour
(DjV^ei— es = — (K-+- ÎK').
Observons de suite que, si (0| et -? sont réels et positifs, on a
dx
en donnant aux radicaux le sens arithmétique.
306. Avant d'écrire le Tableau qui donne les valeurs de sn w, cnw, dnu pour les valeurs K, /K.', K-h/K.', ou les formes que prennent ces fonctions quand on y remplace u par 1/ + K> M4-«K', wH-K-4-iK', u-h2K, u-^ii¥J, w + aK-ha/K', remarquons que les fonctions snu^ cnw, dna peuvent être définies au moyen des fonctions S; il suffit, pour cela, de se reporter aux formules (X.XXIIl5 o),
^i(o) :joih.i(o)
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS ^ ET DES PONCTIONS 2r. l83
^m:aï donnent immédiatement
2f»(0) ' \2t0,v'«l— Cj/
sn« = awiv'ei — «jsT
^iW
cni* =
dnu =
OU, en se reportant aux formules (XXXVI5 , XXXVIIi.j, LXXI,.,),
(6) sni* = -—
