LXXI) 1(7) '>""=7Î^4V
(8) dnu^/k' y^^'
307. Ces formules mettent en évidence ce fait que les pôles des fonctions snii, cnu, dn;^, qui sont tous simples, sont les zéros de
la fonction ^4 ( — ï? ) > c'est-à-dire les points
u = eK'-+- 9.mK -h iniK\
nij n étant des nombres entiers; on voit de même que les zéros de snii, en 21, dnu sont respectivement congrus aux nombres o, K, m -^ iK! (modulis 2K, a/K'). Elles sont d^ailleurs aussi propres que les premières définitions à fournir le Tableau de formules que nous avions en vue, et qui résultent alors des formules (XXXIV);
l84 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
on parvient ainsi aux résultats suivants :
isn(— M, A:) = — sn( w, A:), cn(— w, A)— cn(M. A:), cln( — Ufk)= dn{M, A:).
(sn (m -H aK) = — snw, v^^*.-.*.j; cn(w-K2K) = — cm/,
( cln(M-H2K) - dna.
I sn(M -i- 2tK') = snw, (LXXHs) I en (m -f- 2tK') = — cnw,
( dn (w -r- 2fK') = — dnw.
isn(a-4-aK-4-2fK')= — sîîm, ^ ,, en (a 4- aK -f- 2tK') = enw,
f dn (w -h 2K-^ 2tK') = — dnw.
sn(M-4- K) = j 9
^ ' dn M
(LXXHs) J <m(M-hK)=-A:'^,
^ dnw
dn(a-4-K) = A-'
dnu
sn ( w -+- iK') = -7- )
(LXXII,;) i cn(M-f-«K') = — 7 ~,
^ k snu
A / . -i/'x .ena
dn(a-r-iK ) = — i •
sua
sn(w -4- K-h *K')= 7- ,
A- en M
(LXXIIt) / en(a-+-K-4-eK') = -i V -^'
\ A: enw
dn(a-r-K-i-/K')=tA''î^.
en w ,
Il résulte de là que snw, en m, dnu sont des fonctions doublement périodiques admettant comme périodes primitives les nombres 4K., 2iKJ] 4K., aK + ai'K'; 2K, 4'K.' respectivement. Les carrés de ces fonctions admettent comme périodes primitives
2K, 2tK'.
LIS QUOTIENTS DES FONCTIONS ^ ET DES PONCTIONS ^. l85
308. Eq posant u = o dans les formules précédentes, on a /mmédiatement
50 0 = 0, sdK = i, sn(K -f- f K') = j , sntK'=3o,
k' ooo=i, cnK = o, cn(K-f-«K') = — i-r, cniK' = oo,
<lno = i, clnK = A-', dn(K-r- «K') = o, dnfK'=x),
sn2K=-= o, sn(2K -h 2£K') = o, sn2iK'= o, CD2K= — I, cn(2K -f-a«K') = i, cn2iK'= — i, dDaK= I, dn(2K-h 2iK') = — I, dn2eK' = — i.
C^es formules montrent immédiatement que, dans le parallélogirsàmme primitif o, 4K., at'K.', 41^ + at'K', les zéros de la fonctions. %nu sont o, 2K, et que ses pôles sont i¥J, 2K-+-fK'; ces xéiroset ces pôles sont simples. Ce fait est mis en évidence sur la ^/£^. 1 du Tableau de formules, où Ton a noté les valeurs de la fortclion 5 = sn(M, A*) aux points dont Taffixe u est mK-f-/itR', /wx =0, i,a,3,4\ \«- =0,1, a /
X^s fig, 2 et 3 du Tableau de formules mettent de même en évi- «eirice les deux zéros et les deux pôles, tous simples, des foncée» ns cnw, ànu dans leurs premiers parallélogrammes (*).
I. Les formules d'addition résultent immédiatement des forncàules établies pour les fonctions $. Nous nous contenions de les écrire :
sn i£ en a d 11 a -T- sn a en i£ dn i^ (i) sn(a-+-a)= ,.,^o„, -7- '
<U>CJII) {(2) en(M-+-a) =
I — A** sn*w sn*a
cwu(^na — sn u dn u sna dna I — A* sn*asn*a
,^^ , , , dïïuàwa — A' sn/£ cnM sna cna
I — A*sn'asn'a
' ^ lAjig. 4 du Tableau de formules se rapporte à la fonction p{u\ u),,o),); * -»i"*«-» gQ évidence le fait que la somme des deux zéros de celte fonction si-
^ans le parallélogramme primitif : o, iu),, — au,, au,, est égale à — au,, et qu& le point o est un pôle double de cette fonction.
CALCUL DIFFÉRENTIBL.
(LXXIV) { (2 (3
(LXXIII
sn*M — sn*a
sn(aH- a) sn(M — a) = j-r — r— ^
cn(a -4-
ân(u-{- a)ân{u — a) =
cn'a — ân^asn^u a) en (m — a) = 7- — ; ; — ,
sn(M -f- a) -h sn(M — a) =
sn(wH-a) — sn(w — a) =
cn(a-+-a)-f-cn(w — a) =
cn(M-+-a) — cn(w — a) =
dn(a -H a)-+- cln(w — a) =
dn(w-f-a) — dn(M — a) =
I — X:' sn* a sn« u
a snu cna dna I — A:* sn*M sn*a
2 sna cnu dnzf I — A:* sn*tt sn*a
2 en u en a I — X:* sn*wsn*a
— 2 sn a dn a sn a dn a I -- A:' sn*Msn*a
2dnudna I — A:* sn'i* sn*a
— 2 A:* sn w en M sn a cna
1 — k> sn'asn^a
310. Considérons, par exemple, la formule (LXXIII5) : le premier membre est nul si la quantité sna est nulle ou infinie, c'està-dire si l'on a
en désignant par m et m! des entiers quelconques, ou si l'une des quantités cna, dnw est nulle, c'est-à-dire si l'on a
Ce premier membre d*ailleurs ne peut être nul que dans l'un ou l'autre de ces cas.
On conclut de là que toutes les solutions de l'équation
sna? = sna
sont données par les formules
X— a -+- 4''*K -h 2m'iK', ar=— a-h(4/n -h 2)Kh- 2m'tK'.
On trouve de même que toutes les solutions de l'équation
enar = ena
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS (^ ET DES FONCTIONS 2r« 187
sont données par les formules
a: = zfca-+-4'wK-+- 4/w'iK',
x= ih a-+-(4/n -f- 2)K -f- (4/w'-4- 2)iK',
et que toutes les solutions de l'équation
dnâ? = dna
sont données par la formule
X = it aH-2/wK-h ^m!iK',
En particulier, les solutions des équations
8na7 = dii, sna: = it:7> cna7 = ±i, dna? = =b i
sont égales deux à deux.
3H. Supposons (o< et ~ réels et positifs. Si Ton se reporte aax formules qui définissent A: et A*', en se rappelant (n° 121) que
\/e2 — e% est un nombre négatif tandis que y^i — ^2^ y/^i — ^3 sont des nombres positifs, on voit que k et k' sont positifs, plus petits que i; K et K' exprimés au moyen de A*^, k'^ par les
formules
dx
/' dx
sont réels et positifs.
Si a est une variable réelle, les formules qui donnent snu, cnw, dnw, sous forme de quotients de 3 montrent que ces fonctions sont réelles. Si u reste compris entre o et K, aucune des dérivées ne peut changer de signe : les fonctions varient donc toujours dans le même sens; snu croît de o à i, cnii décroît de I à o, dnu de i à k'. Il convient de remarquer que la fonction dnu, qui ne s'annule et ne devient infinie pour aucune valeur réelle de u, reste positive pour toutes les valeurs réelles de w. De même, quand u croît de K à 2K, les dérivées ne peuvent encore
l88 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
changer de signe; sn u décroît de i à o, en 2/ décroît de o à — i, dn^^ croît de A/ à i.
Ensuite les formules relatives à Taddition de aK montrent comment les choses se passent dans Tintervalle (2K, 4K-)-
