III. — Transformation linéaire des fonctions elliptiques

320. Si l'on suppose û| et û, liés à coi , cos par les formules

où a, 6, c, d sont des entiers liés par la relation ad — 6c = i, les fonctions $oa(<^ | û|, ûj), Çpy(a |û|, Uj) s'expriment immédiatement au moyen des fonctions $oa'(w | Wi> ^3), ip'y<(£/ 1 (Oi, 0)3), où a', P', y désignent comme a, p, y les trois nombres 1, 2, 3, rangés dans un ordre quelconque. Reportons-nous, en effet, au Tableau (XKa); ce Tableau permettra de déterminer, suivant les valeurs de a, 6, c, dj les valeurs des indices X, [x, v tels que Ton

ait(XX5)

a* (w I ûi. Û3) = 3'(w| u),, (03),

o'iCa I ût^ ûs) = o'a^" I wi, W3), a'i(tt I ûi, Û3) = 3'p( u I 0)1, C03), a'3(a| ûi, Û3) = <3'y(u| 0)1,(1)3),

et il est clair que les douze fonctions ^ formées avec les demipériodes Q|, Û3 ne seront autres, dans leur ensemble, que les douze fonctions ^ formées avec coi, (03; mais les indices des fonctions égales ne seront pas les mêmes, sauf dans le cas 1® du Tableau (XXa).

321. La substitution d'un couple de périodes équivalentes affecte un peu plus profondément les fonctions snu, cnu, dn/i, ù

cause du facteur ^Ci — e^ qu'affecte aussi cette substitution. Reprenons les notations du n° 187, et désignons encore par

(■) Comparez la lettre d'IIcrmite à Jacobi, IVer/e, t. H, p. 97 et 98, où l'on trbitfMpour la première fois les symboles 6, et H^.

/, /' les quantités A'(t), Ar'(T), de sorte que l'on ait

Posons aussi

(LXXX) i^^> L = û.A;3i;,

((4) n/= Q3 /ei — Ea-

On saity dans chacun des six: cas du Tableau (XXa), exprimer

v/ei — E3 au moyen de s/e^—el^ s/e^ — e^ , ^e^ — c^ ; on pourra donc exprimer L et L'au moyen de R, K', A*, A'. Le Tableau (XLVIf) donne, d'autre part, les valeurs de ç(t), ^(t) au moyen de ç(t), ^(t), et, par suile, les valeurs de /=o*(t), /'=^*(t) au moyen de A- = ç^(t), A-'=A*(t).

Plaçons-nous dans un cas particulier, par exemple dans le cas a"* du Tableau (XX^), où X=3, (x = 2, v = i ; a^o, 6^1, c ^ i, d^o (mod. 2). On a alors (XX7)

/kî— E3 = i(— i) * ^ci — et,

v/e, - Es = tX— 0 * /«l— ^3,

rt-t-/»— 1

\/ei— E, = i(— 0 * s/ci—ei, et, en consultant le Tableau du n° 187 ou le Tableau (XLVfi ),

cri nb

/ = (-!)" «X-\ /'=(-i)"^A-; on a donc aussi

b-hl

L = i(-i) * [aK-hbiK'],

D'après la formule (LXVIIi) et en tenant compte du Ta-

LBS QUOTIENTS DBS FONCTIONS O* ET DBS FONCTIONS &. 1 9;

bleau (XX?), on a d'ailleurs

o'j -, |Qi,Q3

L/Ei—Ks J

/- IVEI— E3 /«i— 63 I

LvEi— E3 v^ei — «3 J

d*où finalement en distinguant deux cas, suivant que Ton a 6 ^ 4- 1 ou que l'on a 6 ^ — i (mod. 4)> et en faisaiit usage des formules (LXVII,2, LXXII,),

sn -.

sn(a, /) = « —

en -:

On trouve de même, dans ce cas 5® du Tableau (XX^),

cn(a, /)

en —.

an-:

dn(M, /) =

en -7

Ce cas 5^ présente un intérêt particulier. Il donne les formules qui permettent de passer du cas où l'argument u est purement imaginaire au cas où l'argument u est réel ; k est alors remplacé par ± k .

On observera que les fonctions sn(w, Xr), sn(i/, /) vérifient respectivement les équations différentielles

$:!=(,~jî)(,-A-tjî\

du'^

= (i-r*)[i-(i-^*)rn-

On est ainsi amené à cette proposition, que le lecteur vérifiera sans peine : Si une fonction <f(u) satisfait à la première de ces équations, la fonction

vMï)

satisfait à la seconde.

322. Les calculs se font, dans chaque cas, avec la même facilité. Les résultats sont consignés dans les deuK Tableaux qui suivent, que nous avons séparés pour la commodité de Timpression :

le premier donne les valeurs de /, /' et du facteur -rj

___ /Et — Ea

par lequel il faut multiplier aR -f- 6iR', cK -f- rf/K', pour obtenir L et ih' ; le second donne les expressions de sn (a, /), en ( a, / ), dn{u,l)] chacun des six cas des deux Tableaux correspond aux six cas du Tableau (XXc).

CLXXXj)

ab tj

ab

ft+1 «■(-•) '

et 1 f

nh

LES QUOTIENTS DBS FONCTIONS 0* ET DES FONCTIONS 3r.