LXXX

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sn({/, /).

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A* sn-7

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dn-rr lA*

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u en -T

dn -77 £A:

u ik'

U Jk

dn 77 ik

On observera que dans les deux cas i" et 3°, c'est-à-dire lorsque c est pair, la fonction snu se transforme en une fonction de même nature.

333. Lorsque c est un nombre pair, on voit sur le Tableau (XXa) que v est égal à 3 et sur le Tableau (XLIIg) que m'" = d et que, par suite (XLII7), on a

On a donc, en divisant membre à membre la première et la

quatrième des formules (XLII),

Sr,(v|T) ^ Sr,(i;|T) .î^-r-rf4-i

Dans les notalions de Kronecker, cette relation se présente sous la forme

El ( — ^1-=-. -^i^I-") = El ('-, i)rr^-'^\

En posant

a = a, a6 = p, c = ay, rf = 8,

et en remplaçant t' et t par 21^ et ax, on a donc

OÙ a, ^, Y) ^ ^^^^ quatre entiers dont le second ^ est pair et qui sont liés par la relation aS — ^y = * • Cette formule est d'ailleurs équivalente à la suivante :

(LXXX7) El [(8— Pt)p, t] = El (V, T)t-ÔT^-»Y-^8-»,

OÙ Ton a posé

c^est la formule de transformation linéaire de la fonction elliptique El, pour ^ pair, sous la forme dont Kronecker a fait usage.

rv. — Transformation quadratique des fonctions elliptiques*

324. La substitution aux deux demi-périodes coi, (03 des deux demi-périodes

lorsque a, 6, c, d sont des entiers et que le déterminant ad — bc = n est positif, dépend de la multiplication d'une période par n et de substitutions à déterminant -f- i. fl nous reste donc à faire pour les fonctions Ç, sn, ... ce que nous avons fait pour les fonctions rf et 3 (n°* 130 à 145 et 242 à 270). Les résul-

LES QUOTIBXTS DES FONCTIONS ^ ET DES FONCTIONS d. 201

tais se déduisent, par de simples divisions, de ceux qui ont été établis dans ces mêmes numéros. Comme alors, nous traiterons d'abord du cas où /t = 2, puis de celui où n est impair.

Dans le premier cas, pour ce qui est des fonctions \^ nous nous dispenserons d'écrire les formules qui résultent immédiatement des Tableaux (XXII) à (XXV); nous nous contenterons de considérer les transformations des fonctions sn, en, dn et nous nous servirons pour cela des formules relatives aux fonctions ^ qui sont un peu plus avantageuses.

325. Rappelons d'abord, parmi les formules (XLIX), les suivantes

^ \2/ J-f-'f*(x) • \2/ IH-^p^T)

et observons, en passant, que les deux dernières se déduiraient

des deux premières en changeant t en — -• On en déduit très aisément

^'i -^ ^^-z) = y/i^ A' = yT^ ~l

(XLIXio)

si, dans les derniers membres, on regarde y/2 comme un nombre

positif, ces formules définissent les radicaux y/ 1 + A-', y/i--^',

y/i 4- A*, y/i — k comme des fonctions univoquesde t; en d'autres termes, ces formules yîxe/i^ le signe de ces radicaux qui apparaissent dans diverses questions de la théorie des fonctions elliptiques, et que nous prendrons désormais avec cette signification

précise. Il est bien clair que, si - est réel et positif, les radicaux

doivent être pris avec leur sens arithmétique, puisque les derniers membres sont alors manifestement positifs.

Il convient d'observer que Ton a, en adoptant cette détermination des radicaux,

la première de ces relations, en effet, si Ton se reporte aux définitions, équivaut à Fégalité

qui résulte très facilement des formules (XLlXs.o). On a aussi

puisque les carrés des deux membres sont manifestement égaux et que chacun des deux membres définit une fonction analytique de T ayant une valeur réelle et positive dans le cas particulier où

r est réel et positif.

Les formules qui déGnissent y/i -f- Xr', y/i — /r', . . . donnent, inversement.

326. Plaçons-nous dans le cas où aux demi-périodes o),, <•>( on substitue les demi-périodes — > (1)3 ; t est alors remplacé par 2t el

si Ton désigne par y// et y/? les quantités ^^(21), <J^*(2t) qui

remplacent y/A' = 'f*(i:) et y/Â'= 'Î'^Ct), on aura, d'après ce qu'on Nient de dire,

(LXXXI) {

où les signes des radicaux, fixés comme on Ta expliqué, sont assurément tels que les valeurs de ^, y/? coïncident respective-

LBS QUOTIENTS DES FONCTIONS O* ET DES FONCTIONS ^. ao3

ment avec celles de

57(ôTâT)' iJr,(o|2x)'

327. Si l'on désigne maintenant par E|, Ej, y/K| — E3, les quantités qui remplacent Ci, ^3, \/^i — ^3 et par L, U les quantités qui remplacent K, K', savoir :

(0)1 I COf \ / I Wi \

— — > Ci>s j. Ej = J.» ( 0)3 -— , lUs I , Ei-+-Et4- Es=o,

(3) L=^v^E7=n^=r^î(o|2x), (LXXXI)

et, si Ton pose

JTTir

aXXXI.) M rrr \^' ^\ .

/e, — Ej

on aura

K 2M "" âr|(o|T) ' et, par suite, en appliquant la formule (XLYII4),

aî(0|2x)=i[&î(0|T)-f.&î(0h)]=i±^&î(0lT),

il viendra

«LXXXI)

(4) L' = (i-hA-')K'=~