La formule (LXXIe) donne ensuite

2o4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

En appliquant les formules de transformation (XLVIIs), on a donc

mais, en vertu de la valeur trouvée plus haut pour L et des formules (LXXIfl.g), on a

u en

dn r?

donc

sn 7-, en

, ,. A: iH-A:' i-h A:' sn(a, /) = -p

Comme nous venons de voir (LXXXIi) que — est égal à i 4-Xr',

on a donc enfin

sn j7en

(LXXXÏI,) sn(w, /) = (i ■+- k') '"^^' !-±-^

dn

i-hk'

On est amené ainsi à cette conclusion : si la fonction y (</) vérifie Féquation différentielle

g=(f-u«)(i-A:«i/*), la fonction

<--'')/(7^)t/-/-(rgr) i/-'v(t^)

LES QUOTIENTS DES PONCTIONS ^ ET DES FONCTIONS ^. 2o5

vérifiera Téqualion difTérentiellc

elc^eslce que le lecteur constatera en eOet sans peine.

On trouve de mêmei en tenant compte des formules qui donnent y//, ^ en fonction de A* et de A*',

dn«— ^ - A-' i - (I -+- A) sn« --£-p

(a) cn(w, /)= — ,

u u (i — A')(ln y, dn r-,

(LXXXÏI) /

dn«— ^-f-A' ,-(,-X:')sn«— ^

(3) dii(a, /; = —

La transformation que nous venons de considérer est dite t transformation de Landen,

329. Le cas où l'on remplace w,, (03 par (0|, -^y ou t par -> se

traite de la même façon au moyen des formules (XLVIII); nous nous contenterons d'iuscrire les résultats.

Si Ton désigne ici par yO. el \^ les quantités cp*-* l^y A^f-) et parE',, e, les quantités (XXIV5); si enfin l'on pose

(LXXXIII

(3) A = a,»v/Ei-Ei = ^H75(o|j)

(LXXXIII,) M

\/ex — t'a

on aura

(^ LXXXIII

/n- A tr.\ /v V^'— ^' A' I — A

et

(LXXXIIÏ,)

d'où

(LXXXÏÏI)